5-7 对数平均不等式的应用

专题8对数平均不等式的应用两个正数和力的对数平均定义LaO=.ln—小，对数平均与算术平均几何平均的大小关系:aa=h.友4Lab4史士此式记为对数平均不等式取等条件当且仅当二8时，等号成立.2只证当aw》时，Labb，可设》.1先证4ahLah

①不等式

①olnQ-ln/^=^oIn—口一归o21nxx-1其中x=、口1Tabb\b\axNb构造函数fx=21nx-x--9xl贝lJrx=2_1__L=-l-l

2.XXXX因为xl时，rx0所以函数/%在1+O上单调递减，故/xv/⑴=0从而不等式

①成立；2再证的与占

②不等式

②22--1i〃b1oIn—^lnxb4+1b因为xl时，gx0所以函数gx在1+8上单调递增，故gxvg⑴=0从而不等式

②成立;综合⑴2知对…丁都有对数平均不等式疝如加审成立当且仅当〜时等号成立.M秒杀卒将第二讲利用定积分秒杀对数平均不等式证明11A1A如右图1所示，在反比例函数/x=L上任取两点Aa-\Bb\xIa1b点C巴也，2]为AB在双曲线上的中点，轴交其于AI2a+bj轴交其于耳，过C作双曲线切线交AA和3用于，石两点，根据SACBBA〉Sdera=/匕伙

2.0一，即…AC阴Ademjaxa+bV\nb-\na2如右图2所示，在/、=，上任取两点4耳3]x口aI4bM1轴交其于4BB}Lx轴交其于根据Sa网4为质网片Jx{y/hy/a222y[ab\nb-\nci考点1指数换对数的证明极值偏移问题【例1】2010•天津卷已知函数/X=泥一，如果X］W工2且/七=/九2，证明%1+x

22.【例2】已知用工2是函数/x=e--QX的两个零点，且不巧，其极值点为与.1求的取值范围；2求证2+工22曲；3求证司+巧2；4求证X］・工2v

1.例

3.2022•甲卷理科已知函数fx=J—lnx+x—Q.1若/x..0求的取值范围；2证明若/x有两个零点七x2则西工21考点2符号反向用加法原理若出现玉+々〉或者为・々〈人时，属于正常的作差代换，构造出禽七一2=/〈幺由模In%1-\nx22型一即可秒杀，遇到玉+%〃或者玉时，属于对数平均不等式反向，这就需要将两式相减先构造对数平均不等式，再相加实现和积互换，从而达到证明反向不等式.【例4】已知函数人%=处，如果为且f~=f%，求证否・^〉/.x【例5】已知lnx+m-m¥=0m1有两个根玉，x2求证x1+x

20.考点3中点导数问题点差法题目给到4=±±卫〉玉，涉及证明/%0或者/%0时，利用分析法执果索因，将式子证明最后转交给对数平均不等式，方法类似圆锥曲线点差法作差，同除〜-%，取中点；当出现尸9乜］

0、13J/空士@二辿］之类题型时，要转化为，么±三］/，［±±歪］0也属于对数点差I3U7I3J7I2J法系列.【例6】2011•辽宁卷已知函数/%=lnx-ax2+Q-1讨论/x的单调性；2若函数y=/x的图像与X轴交于A3两点，线段AB的中点的横坐标为后证明rx

00.【例7】2018•全国卷I已知函数/x47+〃lnx.X1讨论“X的单调性；2若“X存在两个极值点斗々，证明“小一“々〃—

2.考点4作差求和取对数三板斧非一次函数的形式，由/与二次函数依2+乐+混合的函数，先作差得出〃玉_%\+々+2］，再两边\a取对数，构造对数平均不等式，在证明西+%或者xl+x2-2往往用反证法减少运算；对于xlnx这a~a类不好分离的式子，又要和差齐下必要时要考虑换元法解决_L+_L之类的问题.X］x2【例8】2016•新课标I卷已知函数/%=%-2e*+ax-12有两个零点4马・1求的取值范围；2证明%+/

2.［例9］已知函数/%=x\nx与直线y=m交于4%/5均必两点.1求证0cxi/4；22证明一%+工

21.e【例10】已知/=%」不加，若/幻=有两个不等实根々/2求证-+2X1工26例

9.2022•南通一模已知函数/%=@+ln%.若/国=/巧=2龙产巧证明:a2xxx2ae.x例

10.2022•贵州一模理科已知函数/工=」-+工一

2.若/项=/芍=々，求证0七+巧2〃+

2.ex例

11.2022•深圳一模已知函数/x=21nx-a+l%2_2qx+1〃£R.若函数/X有两个零点七，巧；1求函数/X的单调区间；例

12.2022•临沂模拟已知函数/%=-2小60其中〃

0.若/瓯=/巧=0西工电，证明:1x］+x22Inq+In

2.例

13.（2022•潍坊模拟）已知函数/（工）=々（』/+1）+，+31+3）二（£/）.43，且%不，证明1H2尤3〉

0.■x}x2例

14.2022•连云港模拟已知函数/x=lnx+%若函数/⑴有两个不相等的零点内，々，证明X+%24〃.例

15.2022•厦门二诊已知函数gx=□-咳2_依

0.若gx有两个极值点％1%2石〈巧，证明:X]+巧ln（4〃2）.例

16.2021•广州一模已知函数/x=xlnx-加+xa£R.若.fx有两个零点%/，且％22%，证达标训练•已知函数/（X）=2+InX，若X]W，且/（X]）=/（工2）9证明X]+々＞

4..已知函数/（司=欣-奴2其中4£尺.

（1）若函数“X）有两个零点，求的取值范围；

（2）若函数/（X）有极大值为-L且方程〃力=根的两根为和々，且玉＜%，证明:.已知函数/（x）=lnx-以，为常数，若函数/（x）有两个零点%工2，求证石工

2.已知函数fx=-x2+l-ax-alnx9a£R有两个不同的零点%%求证x1+x

22..已知acR函数/（工）=%一/+1有两个零点七/2，（工1工2）・

（1）求实数Q的取值范围；

（2）证明4+*

2..函数/（%）=%2一2%+1+ae”有两极值点匹，元2且王马•证明xx+x

24..设函数/x=ex-cix+aa£R的图像与上轴交于Ax0Bx20西々两点・1求证fylx}x202求证XjX2Xj+x

2..已知函数〃6=龙上aeR曲线y=/x在点I1⑴处的切线与直线x+y+l=垂直・x+a1试比较2016237与2017236的大小并说明理由；2若函数gx=/x-z有两个不同的零点内々，证明%・工2/..已知函数/=言.1若在点［2，/

①处的切线与直线4%+y=0垂直，求函数/%的单调递增区间;2若方程/力=1有两个不相等的实数解石々，证明%+%2e・.设函数/x=〃lnx-法2其图像在点p2J2处切线的斜率为-

3.当=2时，令gx=/x-，设%%石%2是方程gX=0的两个根，％是和尤2的等差中项，求证:g%oOg%为函数g%的导函数..已知函数〃x=lnx.1证明当xl时，x+1一2，0；2若函数gX=/X+X-Qf有两个零点M，/0，证明g]1一〃.\JJ.已知函数/x=动吠-若函数gQ=/x-x有两极值点求证J-+J—〉2ae2lnx{lnx

2.2019•蓉城名校联盟已知函数fx=丁+1-2ax-〃lnxa有两个零点e、x2求证力

91.。