层次分析模型

层次分析模型层次分析法AnalyticHicrachyprocess简记为AHP是美国运筹家T.L.Saaty在70年代初提出来的，它是将半定性、半定量的问题转化为定量计算的一种行之有效的方法把复杂的决策系统层次化通过逐层比较各种关联因素的重要性来为分析、决策提供定量的依据它特别适用于那些难于完全用定量进行分析的复杂问题因此在资源分配、选优排序、政策分析、冲突求解以及决策预报等领域得到广泛的应用

一、成对比较矩阵和正互反矩阵层次分析的一个基本步骤是要比较若干因素对同一目标的影响，从而确定它们在目标中占的比重比如在旅游问题中要比较景色、费用等因素对地点选择的影响，当然这里所指的影响可以是诸因素在目标中的地位、实现目标所需费用或所得的利润等等，这些因素有的有相同的量纲，在数量上是可比的，如费用问题，但更多的是难以定量且不易比较的，如景色问题有些受到相当大的主观因素的影响，并且许多因素放在一起进行比较时，那就更加困难和难以确定层次分析法采用成对比较法，用它来提高诸因素比较的准确程度♦••CCC设要比较n个因素对目标的影响，从而确定它们在0中所占的比重，12nCaCCC每次取两个因素和，用表示与对0的影响程度之比，按1到9的比例标度ijijija来度量n个元素彼此两两比较，全部结果可用如下的成对比较矩阵表示••1J1Aa1a0aa1ij12nijnnijjiiiaija关于的确定T.L.Saaty引用了数字1〜9及其倒数作为标度ij表1成队矩阵标度及其含义标度含义1表示两个因素相比，具有同样的重要性7表示两个因素相比，一个因素比另一个因素强烈重要2468上述两相邻判断的中值11/21/9相应两因素交换次序比较的重要性选择1〜9的标度方法是基于下述的一些事实和乘法根据:1在估计事物质区别性时，人们常用五种判断来表示即相等、较强、强、很强、绝对强，当需要更高精度时，还可以在相邻判断之间作出比较，这样，总共有九个数据，既保持了连贯性，又便于在实践中应用2心理学家认为，人们在同时比较若干对象时，能够区别差异的心理学极限为72个对象，这样它们之间的差异正好可以用九个数字表示出来3Saaty还将1〜9的标度方法同另外26种标度方法进行过比较，结果表明「9标度是可行的，并且能较好地将思维判断数量化TwwwwSatty等人建议采用A的最大特征根对应的特征向量作为权向12maxn量即满足wn且wlii1aa直观地看，因为矩阵A的特征根和特征向量连续地依赖与矩阵的元素，所以当离ijij，一致性的要求不远时，A的特征根和特征向量也与一致阵的相差不大当比大得越nmax多，A的不一致程度就越大，用特征向量作为权向量引起的误差就会越大因而可以用，，n的大小来衡量A的不一致程度Satty将下式作为一致性指标:maxnmax

（3）CIn1对一致性正互反阵来说，一致性指标CI等于零n（最大特征根，除外）由于，实际上CI相当于n-1个特征根的平均值n2nmaxili显然，仅依靠CI值来作为判断矩阵A是否具有满意一致性的标准是不够的，因为人们对客观事物的复杂性和认识的多样性，以及可能产生的片面性跟问题的因素多少、规模大小有关，即随着n值（「9）的增大，为此Saaty又提出了平均随机一致性指标RI平均随机一致性指标RI是这样得到的:对于固定的n随机构造正互反矩阵A中其中a是从A12…，91/21/3…，1/9中随机抽取的，这样的是最不一致的ijA取充分大的子样（500个样本）得到的最大特征根的平均值，定义maxnmaxRI

（4）.n1对于「9阶的判断矩阵，Satty给出RI值，见表

6.2表2平均随机一致性指标RInl234567891011RI

000.

580.

901.

121.

241.

321.

411.

451.

491.51n表中=12时RI=0是因为12阶的正互反阵总是一致阵例1某工厂有一笔企业留成利润，要由厂领导和职代会决定如何利用，可供选择的方案有:发奖金、扩建福利设施、引用新设备，为进一步促进企业发展，如何合理使用这笔利润，合理利用企业利润目标层0提高企业改善职工调动职工准则层技术水平C生活C积极性C123C措施层发奖金扩建福利引进新PP设施P设备P123图

6.2企业措施方案选择层次图1）对于这个问题我们采用层次分析法进行分析，所有措施的目的都是为了更好地调动职工积极性，提高企业技术水平和改善职工生活，当然最终目的是为了促进企业的发展，因此，建立的递阶层次结构如图22）构造判断矩阵，并求最大特征根、特征向量、一致性指标和随机一致性比率.判断矩阵A:ACCCW12311/51/

30.105Cl

5130.637C231/

310.258C

33.0385计算得，CI=

0.019maxCCC一致性比率CR=O.

0330.1因此通过一致性检验，该权重可作为3个因素的123权值判断矩阵c—P:1CPPW11213075P11/31025P22CI=0max判断矩阵C—P:2CPPW223P11/501672P51086332CI=0max判断矩阵C—P3CPPW312Pl

20.6671Pl/

210.33322CI=0max3各方案对总目标的层次总排序见表

6.

5.表

6.5P层对目标的总排序CCCCy

1230.

1050.

6370.258PP

0.

7500.

6670.25081P

0.

250.

1670.

3330.21852P

00.

86300.54973从计算结果来看，措施3的总权重最大，为

0.5497因此采用新设备P才更能合理3利用企业利润其组合一致性比率显然也通过一致性检验。