鸡兔同笼问题解析

鸡鸭同笼问题解析“鸡鸭同笼”是一类有名的中国古算题.许多小学算术应用题都可以转化成这类问题，或者用解它的典型解法--“假设法”来求解.因此很有必要学会它的解法和思路.例1有若干只鸡和鸭子，它们共有88个头，244只脚，鸡和鸭各有多少只？解我们设想，每只鸡都是“金鸡独立”，一只脚站着；而每只鸭子都用两条后腿，像人一样用两只脚站着现在，地面上出现脚的总数的一半，•也就是244+2=122（只）.在122这个数里，鸡的头数算了一次，鸭子的头数相当于算了两次.因此从122减去总头数88剩下的就是鸭子头数122-88=34有34只鸭子.当然鸡就有54只.答有鸭子34只，鸡54只.上面的计算，可以归结为下面算式总脚数十2-总头数二鸭子数.上面的解法是《孙子算经》中记载的.做一次除法和一次减法，马上能求出鸭子数，多简单！能够这样算，主要利用了鸭和鸡的脚数分别是4和24又是2的2倍.可是，当其他问题转化成这类问题时，“脚数”就不一定是4和2上面的计算方法就行不通•因此，我们对这类问题给出一种一般解法.还说例

1.如果设想88只都是鸭子那么就有4X88只脚比244只脚多了88X4-244=108（只）.每只鸡比鸭子少（4-2）只脚，所以共有鸡（88X4-244）+（4-2）=54（只）.说明我们设想的88只“鸭子”中，有54只不是鸭子.而是鸡.因此可以列出公式鸡数=（鸭脚数X总头数-总脚数）+（鸭脚数-鸡脚数）当然我们也可以设想88只都是“鸡”那么共有脚2X88=176（只）比244只脚少T244-176=68（只）.每只鸡比每只鸭子少（4-2）只脚，68+2=34（只）.说明设想中的“鸡”，有34只是鸭子，也可以列出公式鸭数=（总脚数-鸡脚数义总头数）小（鸭脚数-鸡脚数）.上面两个公式不必都用，用其中一个算出鸭数或鸡数，再用总头数去减，就知道另一个数.假设全是鸡，或者全是鸭，通常用这样的思路求解，有人称为“假设法”.现在，拿一个具体问题来试试上面的公式.例2红铅笔每支

0.19元，蓝铅笔每支

0.11元，两种铅笔共买了16支，花了

2.80元.问红、蓝铅笔各买几支？解以“分”作为钱的单位.我们设想，一种“鸡”有11只脚，一种“鸭子”有19只脚，它们共有16个头，280只脚现在已经把买铅笔问题，转化成“鸡鸭同笼”问题了.利用上面算鸭数公式，就有蓝笔数=（19X16-280）+（19-11）=24+8=3（支）.红笔数=16-3=13（支）.答买了13支红铅笔和3支蓝铅笔.对于这类问题的计算，常常可以利用已知脚数的特殊性例2中的“脚数”19与11之和是

30.我们也可以设想16只中，8只是“鸭子”，8只是“鸡根据这一设想，脚数是8X（11+19）=

240.比280少

40.40+（19-11）=

5.就知道设想中的8只“鸡”应少5只也就是“鸡”（蓝铅笔）数是330X8比19X16或11X16要容易计算些.利用己知数的特殊性，靠心算来完成计算.实际上，可以任意设想一个方便的鸭数或鸡数.例如，设想16只中，“鸭数”为10“鸡数”为6就有脚数19X10+11X6=

256.比280少

24.24+（19-11）=3就知道设想6只“鸡要少3只.要使设想的数，能给计算带来方便，常常取决于你的心算本领.下面再举四个稍有难度的例子.例3一份稿件，甲单独打字需6小时完成.乙单独打字需10小时完成，现在甲单独打若干小时后，因有事由乙接着打完，共用了7小时.甲打字用了多少小时？解我们把这份稿件平均分成30份（30是6和10的最小公倍数），甲每小时打甲每小时打30+6=5（份），乙每小时打30+10=3（份）.现在把甲打字的时间看成“鸭”头数，乙打字的时间看成“鸡”头数，总头数是

7.“鸭”的脚数是5“鸡”的脚数是3总脚数是30就把问题转化成“鸡鸭同笼”问题了.根据前面的公式“鸭”数=（30-3X7）+（5-3）=

4.5“鸡”数=745=

2.5也就是甲打字用了

4.5小时，乙打字用了

2.5小时答甲打字用了4小时30分.例4今年是1998年，父母年龄（整数）和是78岁，兄弟的年龄和是17岁.四年后（2002年）父的年龄是弟的年龄的4倍，母的年龄是兄的年龄的3倍那么当父的年龄是兄的年龄的3倍时，是公元哪一年？解4年后，两人年龄和都要加

8.此时兄弟年龄之和是17+8=25父母年龄之和是78+8=

86.我们可以把兄的年龄看作“鸡”头数，弟的年龄看作“鸭”头数.25是“总头数”.86是“总脚数”.根据公式，兄的年龄是（25X4-86）4-（4-3）=14（岁）.1998年，兄年龄是14-4=10（岁）.父年龄是（25-14）X4-4=40（岁）.因此，当父的年龄是兄的年龄的3倍时，兄的年龄是（40-10）+（3-1）=15（岁）.这是2003年.答公元2003年时，父年龄是兄年龄的3倍.例5蜘蛛有8条腿，蜻蜓有6条腿和2对翅膀，蝉有6条腿和1对翅膀现在这三种小虫共18只，有118条腿和20对翅膀.每种小虫各几只？解因为蜻蜓和蝉都有6条腿，所以从腿的数目来考虑，可以把小虫分成“8条腿”与“6条腿”两种利用公式就可以算出8条腿的蜘蛛数二（118-6X18）+（8-6）=5（只）.因此就知道6条腿的小虫共18-5=13（只）也就是蜻蜓和蝉共有13只，它们共有20对翅膀.再利用一次公式蝉数=（13X2-20）4-（2-1）=6（只）.因此蜻蜓数是13-6=7（只）.答有5只蜘蛛，7只蜻蜓，6只蝉.例6某次数学考试考五道题，全班52人参加，共做对181道题，己知每人至少做对1道题，做对1道的有7人，5道全对的有6人，做对2道和3道的人数一样多，那么做对4道的人数有多少人？解对2道、3道、4道题的人共有52-7-6=39（人）.他们共做对181直义7-5X6=144（道）.由于对2道和3道题的人数一样多，我们就可以把他们看作是对

2.5道题的人（（2+3）-2=

2.5）.这样鸭脚数二4鸡脚数=

2.5总脚数=144总头数=

39.对4道题的有（14425X39）+（4-

1.5）=31（人）.答做对4道题的有31人.习题一龟鹤共有100个头，350只脚.龟、鹤各多少只？.学校有象棋、跳棋共26副，恰好可供120个学生同时进行活动.象棋2人下一副棋，跳棋6人下一副.象棋和跳棋各有几副？.一些2分和5分的硬币，共值

2.99元，其中2分硬币个数是5分硬币个数的4倍，问5分硬币有多少个？.某人领得工资240元，有2元、5元、10元三种人民币，共50张，其中2元与5元的张数一样多.那么2元、5元、10元各有多少张？.一件工程，甲单独做12天完成，乙单独做18天完成，现在甲做了若干天后，再由乙接着单独做完余下的部分，这样前后共用了16天.甲先做了多少天？.摩托车赛全程长281千米，全程被划分成若干个阶段，每一阶段中，有的是由一段上坡路（3千米）、一段平路（4千米）、一段下坡路（2千米）和一段平路（4千米）组成的；有的是由一段上坡路（3千米）、一段下坡路（2千米）和一段平路（4千米）组成的.已知摩托车跑完全程后，共跑了25段上坡路.全程中包含这两种阶段各儿段？.用1元钱买4分、8分、1角的邮票共15张，问最多可以买1角的邮票多少张？。