新教材一轮复习人教A版第1章第5节基本不等式学案

第五节基本不等式—\必备知识•回顾教材重“四基”

二一、教材概念・结论•性质重现.基本不等式丽W中1基本不等式成立的条件＞0b＞Q.2等号成立的条件当且仅当时取等号.3其中，华称为正数向8的算术平均数，强称为正数a8的几何平均数..两个重要的不等式1q2+0212qZqZ£R当且仅当a=b时取等号.QabW二一aZ£R当且仅当〃=Z时取等号.\

27.利用基本不等式求最值已知x20yNO1如果积犯等于定值尸，那么当％=y时和％+y有最小值2g简记积定和最小.2如果和x+y等于定值S那么当q=y时积肛有最大值了简记和定积最大.微提醒■■■二h011+1》24＞0当且仅当a=b时取等号.W-5-〃，8£R.2/—.〃+b3^~W_+t-ab4连续使用基本不等式求最值要求每次等号成立的条件一致.

二、基本技能•思想・活动体验ii44于是次+而%=层+而而京=+两拓、+了24*sin22a=1即〃=啦，仁？时等号成立•故〃+就而的最小值是

4.「思维升华」.利用基本不等式，通过恒等变形及配凑，使“和”或“积”为定值，是求解最值问题的常用方法.其中常见的变形手段有拆项、并项、配式及配系数等..基于新课程标准，求最值问题一般要熟练掌握对代数式的变形能力、推理能力和表达能力，体现了逻辑推理、数学运算的核心素养.「类题试练」19已知x0y0且一+二=1则x+y的最小值为%y1Q16解析（方法一1的代换）因为一+二=1xy所以x+y=（x+y）C+§=1+/多.、人y/人y因为x0y0当且仅当］=/即y=3x时，取等号.19又［+7=1所以x=4y=12所以x+y

216.所以当x=4y=12时，x+y取最小值

16.、19v（方法二消元法）由1+—=1得x=）.因为x0y09所以y

9.vy—9+999x+尸占+产y+厂9=）+—+1=（厂9）+户+

10.因为y9所以y—909当且仅当y—9=不与，即y=12时取等号，此时，x=4所以当x=4y=12时，x+y取最小值

16.1Q方法三配凑法由一+-=1得y+9x=xy“y所以一1一9=

9.所以x+y=10+x—l+y—9三10+2，x—ly—9=

16.当且仅当%—1=y~9时取等号.1Q又因为1+‘=1所以x=4y=

12.所以当x=4y=12时，x+y取最小值

16..判断下列说法的正误，对的打“，错的打“X”.1不等式/+/22〃匕与》旃成立的条件是相同的.X2函数y=x+；的最小值是

2.X43函数/x=sinx+Kq的最小值为

4.Xoil1人40且y0”是“+22”的充要条件.义y“.若x0y0且x+y=18则的最大值为A.9B.18C.36D.81A解析因为x+y=18所以斗工=9当且仅当x=y=9时，等号成立..已知则％3—3x取得最大值时％的值为a1「1》3-2A.qB./C.aD.wx1—x23B解析因为04l所以x3—3x=3xl—xW3—、-L=不当且仅当X=l—X即x=g时，等号成立.乙

4.若用总长为20m的篱笆围成一个矩形场地，则矩形场地的最大面积是m

2.25解析设矩形的一■边长为％m矩形场地的面积为yn1X+10—X2则矩形另一边长为5X20—2x=10—xm所以y=x10—xW5=25m2当且仅当x=10—x即x=5时，max=

25.考点1利用基本不等式求最值——综合性「典例引领」考向1拼凑法求最值『+2例D/1函数y=^x〉l的最小值为—XJ.2#+2解析因为心1所以x—f+2x2—2x4-1+2x-2+3y=^lx—12+2x—1+3x—1=尤—1+.+22y[3+

2.XJL当且仅当X—1=工7，即x=#5+l时，取等号.X—1+2所以函数y==7xl的最小值为2小+

2.XJ.2若函数/x=x+—^犬〉2在x=a处取最小值，则a=X乙3解析因为x2所以x—20所以/x=x+J「=x—2+J0+22x即x—2=1时等号成立，解得x=l或

3.又因为x2所以x=3即a=3时，函数/x在x=3处取得最小值.解题通法拼凑法求最值的实质及关键点拼凑法就是将相关代数式进行适当的变形，通过添项、拆项等方法凑成和为定值或积为定值的形式，然后利用基本不等式求解最值的方法.拼凑法的实质是代数式的灵活变形，拼系数、凑常数是关键.~~考向2常值代换求最值例❷/已知a0b0a+b=L则1的最小值为.4解析因为+〃=1所以鸿=七+协+=2+《+需2+2出|“=1时’取等号.同源异考/

1.将条件“+沙=1”改为“a+2力=3，则5+、的最小值为.解析因为+2=3ic।1——2x.1l2x12小所以x+2y=x+M=^+豆三2y于五=3，当且仅当年=]即1=号，y=兴时取等号.D乙JL乙故x+2y的最小值为解题通法消元法求最值的策略当所求最值的代数式中的变量比较多时，通常是考虑利用已知条件消去部分变量，凑出“和为常数”或“积为常数”，最后利用基本不等式求最值.考向4两次应用基本不等式求最值例0*设实数%，y满足2%+yx0y0求证--\---y]2xy^^-.xy乙证明因为x0y02x+y=l所以=Hg+y=4+牡詈4+4=8当且仅当]=华，即2%=y=g时取等号.又一爽H与一在=一口，当且仅当2x=y=J时取等号，乙乙乙所以」+一爽当且仅当2x=y=J时取等号.解题通法两次利用基本不等式求最值的注意点当连续多次使用基本不等式时，一定要注意每次是否能保证等号成立，并且注意取等号的条件的一致性.「多维训练」

3.设045，则函数y=4x3—2x的最大值为.—2x即户q时，等号成立.因为为0|j所以函数y=4%3—2x0V%〈|的.2019・天津卷设x0y0x+2y=5则0+1衿+1的最小值为V孙■4小解析因为x0y0所以y[xyQ.㈤当工_«圻囚x+l2y+l2孙+-+2y+l2xy+6厂6因为x+2y—5所以/=-/=-―-j=——2\ixy+-j=yjxyyjxy\]xyyjxy》2也=4，§.当且仅当2而=竿=即x=3y=l时取等号.所以0+1a+1yjxyyxy的最小值为

473.

13.已知x0y0且提+7=1贝I]孙+x+y的最小值为.7+4^3解析因为，+=1所以盯=y+2xxy+x+y=3x+2y=3x+xy2y・R+1]=7+W+乎三7+44，当且仅当即x=1丁=2+小时取等号.所以盯+x+y的最小值为7+4，

5.1Q2020-天津卷已知0b09且ab=\则五+五十丁时的最小值为4解析因为〃〉0/0且〃=1ah.ah._S_五十五十不吃81+^8=~2~+^+h^2\~2~9^+b=4t的最小值为

4.考点2利用基本不等式解决实际问题——应用性「典例引领」例日*某厂家拟在2021年“双十一”举行大型的促销活动，经测算某产品当2促销费用为x万元时，销售量，万件满足-5一七（其中0QW上为正常数）.现人I1假定产量与销售量相等，已知生产该产品，万件还需投入成本（10+2万元（不含促销费用），产品的销售价格定为（4+斗）元/件.

（1）将该产品的利润y万元表示为促销费用x万元的函数；

（2）促销费用投入多少万元时，厂家的利润最大？门0+2A八0+2A解

（1）由题意知，该产品售价为元/件，所以y=2X^^X.IT/\7—10—2f—x2代入，=5—化简x+14A得y=20—Q+]+xOWxWk.4\42尸20-E+xJ=21-E+x+l^21-2^/^Xx+l=174当且仅当F=x+1即x=l时，上式取等号.人IJL当上》1时，促销费用投入1万元时，厂家的利润最大;（4A故y=2\—仁百+工+1）在OWxWk上单调递增.所以，在工=左时，函数有最大值，即促销费用投入2万元时，厂家的利润最大.综上，当女11时，促销费用投入1万元时，厂家的利润最大；当0＜攵＜1时，促销费用投入攵万元时，厂家的利润最大.解题通法基本不等式的实际应用问题的解题技巧⑴根据实际问题抽象出函数的解析式，再利用基本不等式求得函数的最值.2解应用题时，一定要注意变量的实际意义及其取值范围.3在应用基本不等式求函数最值时，若等号取不到，可利用函数的单调性求解.「多维训练」某学校为了支持生物课程基地研究植物生长，计划利用学校空地建造一间室内面积为900n的矩形温室.在温室内划出三块全等的矩形区域，分别种植三种植物.相邻矩形区域之间间隔1m三块矩形区域的前、后与内墙各保留1m宽的通道，左、右两块矩形区域分别与相邻的左右内墙保留3m宽的通道，如图.设矩形温室的室内长为x单位m三块种植植物的矩形区域的总面积为S单位m

2.⑴求S关于犬的函数关系式;2求S的最大值.

900、7900解1由题设得S=x—8下一2=—2x-+

9168450.⑵因为8x45072002x・^^=24故当矩形温室的室内长为60m时，三块种植植物的矩形区域的总面积最大最大为676m

2.——、一题N解•深化综合提“素养”厂「试题呈现」已知ah0贝I」己十/12的最小值是.ba—b［四字程序］一题多解」解法⑪思路参考消儿转化为含〃的式子求最值.这样就消去变量，因此2+1三次+

424.当且44b{a—ba仅当b=a—b时等号成立，即=蛆，匕=半时等号成立.故居+1azba-b的最小值是

4.解法尚思路参考用/和a-b表达a后求最值.解析注意到b+a—b=a9则［》+〃-ZF=〃2a-/OF+1^4/6Z—h+1ba—Zba—b当且仅当4Z2q—82=］即匕=当时等号成立.故♦+1的最y2ba—b小值是

4.思路参考利用三角换元求最值.4解析由/+〃-Z=，联想到三角换元，令a-b=6zcos2ab=读想算思/+最ba—b小值求最小值的方法？构造定积转化与化归ab

0.构造定积；.三角换元.f定积求和；

2.变形b+a—b=a构造定积；定积求和和最小；。