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段因血解三角形第1课时余弦定理、正弦定理［考试要求］掌握正弦定理、余弦定理，并能解决一些简单的三角形度量问题.［走进教材•夯实基础］€＞梳理•必备知识.正弦、余弦定理在△ABC中，若角AB所对的边分别是abcR为△ABC的外接圆半径，则
2.三角形常用面积公式⑴S=［a・ha®表示边a上的高）;2S=2^sinC=g〃csin5=gbcsinA；3S=；«〃+b+cr为内切圆半径..三角形内角和定理.三角形中的三角函数关系lsinA+B=sinC;2cosA+B=—cosC;CA+Bc=cose；4cos-2-=sing..三角形中的射影定理在△ABC中，6Z=ZcosC+ccosB;b=acosC+ccosA;c=bcosA+acosB..三角形中的大角对大边在ZXABC中ABabsinAsmB.》激活•基本技能
一、易错易误辨析正确的打“J”，错误的打“义”1三角形中三边之比等于相应的三个内角之比.2在△ABC中若sinA〉sinb则4艮a4+♦—csinAsinA+sinB—sinC4当庐+，一次＞o时，△ABC为锐角三角形；当庐+/一屋=时，ZVIBC为直角三角形；当/十°2—/〈o时，/XABC为钝角三角形.［答案］1X2V3V4X
二、教材习题衍生JFJT.已知△MC中，角4B所对的边分别为mbC，若人=了人不『1，贝股=A.2B.1C.^3D.^
2.工abasin8‘m4迫sinA-sin-sinA-.兀-2sin
6.在△ABC中，若〃=2c=43=60°则匕等于A.25B.12C.2市D.28A[由余弦定理b1=cr+c2—26/ccosB得/2=4+16—8=12所以Z=2a/
3.].ZkABC的内角AB的对边分别为mbc已知C=60°b=#c=3则4=75°［由正弦定理，得sin”地工册s60普所以8=45°或135°因为Xc所CJ乙以BvC故3=45°所以A=75°.］.在△ABC中，角AB的对边分别为mbc且〃=4b=5c=6则cosA=，ZVIBC的面积为.315s「京叼工产Ab2+c2—a234［依通意付cosA=-赤一=不Is所以sinA=qi-cos2/l=4所以TXABC的面积为1csinA=15y.］l［细研考点-突破题型］［重难解惑，直击高考□考点一利用正余弦定理解三角形“硅共研［典例1］1已知△ABC的内角AB所对的边分别为abc若加in2A=asin且c=2b则好于A.2B.3C.a/2D.小2在
①=――乎C—
②cosA=M§sinAT；
③、5cos曰=sinA这三个条件中任选一c—bsinA—sinBv2个，补充在下面的横线上，并加以解答.问题已知△A5C的内角ABC所对的边分别是abcb~c=4△ABC的外接圆半径为2仍，且求角A及△ABC的边5c上的高瓦1D［由正弦定理及Zsin2A=osinB得2sinB-sinAcosA=sinAsinB又sinAWOsinBWO则cosA=£又c=2b所以由余弦定理得〃2=/2+/—2bccosA=Z2+4〃—3加，得.故选D.］⑵［解］选择
①.a-\~bsinC
2.由~::~仔Q+Z7sinA—sinB=sinCc—b9c—bsinA—sinB由正弦定理，得a+bQ—b=cc—b整理得a2=b2+c2—bcH、，4一+02—q2be1所以cosA=一诋一=2bc=VJI又OvAv兀，所以A=由正弦定理得=4小sin/=6由余弦定理得a1=b2+c2—bc=b—c2+bc=16+Zc=36所以bc=20所以△ABC的面积S=^bcsinA=^ah9令反思领悟利用正、余弦定理解三角形的策略1正弦定理、余弦定理的作用是在已知三角形部分元素的情况下求解其余元素，基本思想是方程思想，即根据正弦定理、余弦定理列出关于未知元素的方程，通过解方程求得未知元素.2正弦定理、余弦定理的另一个作用是实现三角形边角关系的互化，解题时可以把已知条件化为角的三角函数关系，也可以把已知条件化为三角形边的关系.
1.
2021.福建莆田二模在△AEC中，角BC所对的边分别为°寸，c』=2Acos2ffB=1CACB=
88.dJ⑴求cosC的值；2求△ABC的周长.[解]1由之・无=88得ahcosC=8891e.A=2BAcosA=cos2B=2cos2B—1=—g故cosC=cos[ti—/1+B]=—cos/4+B=—cosAcosB+sinAsinB则cosC=《x+芈X坐=券.y3yJz/222・「aZ7cosc=88A6z/X—=88解得^=108/Labpaba2sin3cosB4由sinA=sin5付:sin23=sin夕故了=—sinB—=2cosB=3由由余弦定理得c1=a2+b—2abcosC22贝i]c2=i44+81—2X12X9X57=49故c=7故△ABC的周长是a+b+c=12+9+7=
1.•••△ABC是等腰三角形或直角三角形，J选项B错误；由bcosC+ccosB=h及正弦定理，可知sinBcosC+sinCeosB=sinBsinA=sinB.A=B9•••选项C正确；由已知和正弦定理，易知tanA=tanB=tanC，选项D正确.]□考点三与三角形面积有关的问题〈师生共研[典例3]如图，在△ABC中，为8C的中点，AB=4AD=9AC=
6.A⑴求△ABC的面积；兀、2求cos2C+］J的值.［解］1BD=CD=x在△A3和△AC中，利用余弦定理『+10—42x2+10-62cosZA™=2x^Xx，cosZ^DC=2xVI5xx，又cosNAZ8=—cosNAOC令反思领悟求三角形面积的方法1若三角形中已知一个角角的大小或该角的正、余弦值，结合题意求解这个角的两边或该角的两边之积，代入公式求面积.2若已知三角形的三边，可先求其一个角的余弦值，再求其正弦值，代入公式求面积.总之，结合图形恰当选择面积公式是解题的关键.层十人2-c、
23.1ZkABC的内角ABC的对边分别为qbc若△ABC的面积为，则2在△ABC中，ABC所对的边分别为qbc已知/+尻一，=班H，且〃csinB=2于sinC则△ABC的面积为.1-er11C2V[1因为ABC=N》sinC所以——t——=^absinC.由余弦定理q2+o2/乙4N—c2=2q/cosC得2abcosC=2〃0sinC即cosC=sinC所以tanC=
1.又因为£0兀7T所以在△ABC中，=不故选C.2因为a2-\-b2—c2=y[3ab9所以由余弦定理得cos=安户=擎=当2ab2ab2=2，§sinC所以结合正弦定理可得Zc=2，§c所以故戾inVI定理正弦定理余弦定理内容abcsinAsinBsinC〃2=〃+2-2〃CCOSA；/m^+^—ZcccosB；变形l〃=27sinAh—2RsinBc=2RsinC；2a:b:c=sinA:sin8sinC；〃+〃+c_a_⑶sinA+sinB+sinCsinA廿十一一〃cosA一侬；.2+〃2一/cosB—2ac；4+廿一HcosC—lab。
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