期末试卷汇编10：计数原理解析版

广东省2022-2023年高三数学期末试卷分类汇编专题10计数原理解析版

一、单选.（广东省五校期末试题）有5人参加某会议，现将参会人安排到酒店住宿，要在a、b、c三家酒店选择一家，且每家酒店至少有一个参会人入住，则这样的安排方法共有（）A.96种B.124种C.150种D.130种【答案】C【解析】【详解】根据题意分2步进行□5人在a、b、c三家酒店选择一家，且每家酒店至少有一个参会人入住，可以把5人分成三组，一种是按照113；另一种是按照122；当按照113来分时共有C；=10种分组方法；C2c2当按照122来分时共有T/=15种分组方法；则一共有10+15=25种分组方法；口将分好的三组对应三家酒店，有A；=6种对应方法；则安排方法共有25x6=150种，故选C..（深圳市南山区期末试题）若（x-a）（l-3x）3的展开式的各项系数和为8则=（）A.1B.-1C.2D.-2【答案】C【解析】【分析】直接令计算可得答案.【详解】令%=1得（1—）（1—3丫=8解得0=2故选C..（汕头市高三期末试题）（x+3y）（x-2y）6的展开式中dy2的系数为（）A.60B.24C.-12D.-48【答案】B【解析】【分析】首先写出（x-2y）6展开式通项，再考虑通项与X+3〉相乘得到含的项，即可得系数.【详解】由（%-2y）6的展开式通项为2+1=禺产（—2y）=（-2）C，-y所以（x+3y）（x—2y）6的展开式V尸项为卜—6C；］・x5j2故系数为4C；-6C=

24.故选B

4.（惠州市高三期末试题）如图，某城市的街区由12个全等的矩形组成（实线表示马路），C段马路由于正在维修，暂时不通，则从4到B的最短路径有（）AA.23条B.24条C.25条D.26条【答案】D【解析】【分析】先假设CO是实线，计算出所有的最短路径的条数，然后减去经过的最短路径的条数，从而求得正确答案.【详解】先假设8是实线，则从A到5向上3次，向右4次，最短路径看一汽tt=35条，N3A4其中经过CO的，即先从A到C然后到，最后到3的最短路径有3x3=9条，所以，当CO不通时，最短路径有35—9=26条.故选D

5.（江门市高三期末试卷）（/+G2x--^的展开式中各项系数的和为3则常数项为（）\x）A.80B.160C.240D.320D【详解】令1=1得（1十〃）（2—1）6=3解得〃=2则（x3+2）（2%—4］展开式中常数项2X（-1）226-2C^+（—1）326飞=

320.\X7

二、多选.（东莞市高三期末试题）已知二项式（1+«）2°23则下列结论正确的是（）A.该二项展开式中二项式系数和与各项系数和相等B.该二项展开式中不含有理项C.该二项展开式中的常数项是1D.该二项展开式中含x的项系数是2023x2022【答案】AC【解析】【分析】由二项式定理，结合二项式系数的性质和二项式展开式的通项公式，逐个验证选项.【详解】二项式（1+4严23展开式中，通项公式为乙1二Co23

（4）1该二项展开式中二项式系数和为22°23令工=1各项系数和为（1+1『°23=2223二项展开式中二项式系数和与各项系数和相等，A选项正确；由二项式展开式的通项公式可知，〃为偶数时，对应的项为有理项，B选项错误；该二项展开式中的常数项是Z=Co23=lC选项正确；、、一人2上、，rn-2/厂«2023x20222023x2022该二项展开式中含X的项为《=C；（）23（Jx）=X系数是，D选项错T天.故选AC

三、填空题

10.（广东省五校期末试题）若（2+可|°=（1—X）、则为=i=0【答案】-30【解析】【分析】求得（2+4°=［（x—1）+对°展开式的通项公式，令k=1可得£=30（x—1）9=—30

（17）9由题意得，9即为（1-1）9的系数，即可得答案.【详解】2+xi°=[x—1+3厂展开式的通项公式为兀]=1X-1严匕，令k=17；=C；ox3x%-19=30x-19=-301-%9io乂〉:ql—X=q1—+a21—X~+，••+内1—工+〃io1—z=0则9即为一幻9的系数，即为一

30.故答案为一

30..（深圳市高级中学集团期末试题）在（x+l）（2x-1），的展开式中，的系数是.（用数字作答）【答案】-100【解析】【分析】用X乘以（21-1）6展开式的42项再加上1乘以（21-1）6展开式的/项，最后合并同类项即可求解【详解】（2x-l）6展开式的第2+1项a=C2九『（—=《（—1）”26d产”展开式中父项的系数为C^-22-（-1）4+C^«23-（-1）3=60-160=-

100.故答案为-

100.（清远市高三期末试题）工］的展开式中常数项为【答案】60【解析】【详解】2x--的展开式的通项为n+=C（2x）6—--=（-1）.26-Cx6-2^令6—2左=—2解得女=4所以的展开式中常数项为22C=

60.故答案为

60..（梅州市大埔县高三期末试题）已知（/一2）6=的+a1x+a2x2HFa12%12则%+%等于【答案】240【解析】因为（/一2=a0+atx+a2x2+…+工的第丁+1项为Tr+l=Cj（%2）6-r（—2）r所以♦不存在故的=0一的系数为或（—2）4=240所以的+4=

240..（江门市高三期末试卷）有唱歌、跳舞、小品、杂技、相声五个节目制成一个节目单，其中小品、相声不相邻且相声、跳舞相邻的节目单有种.（结果用数字作答）36【详解】先考虑相声、跳舞相邻的情况，只需将相声、跳舞这两个节目进行捆绑，形成一个大元素，然后再将这个“大元素”与其它三个节目进行排序，共有A A=48种排法.接下来考虑相声节目与小品、跳舞都相邻的情形，需将相声与小品、跳舞这三个节目进行捆绑，其中相声节目位于中间，然后将这个“大元素”与其它两个节目进行排序，此时共有A A=12种排法.综上所述，由间接法可知，共有48-12=36种不同的排法•故答案为

36.CD。