样本方差和方差

样本方差和方差

一、方差variance衡量随机变量或一组数据时离散程度的度量在概率论中，方差用于衡量随机变量与其数学期望即均值之间的偏差统计方差样本方差是每个样本值与所有样本值的平均值之差的平方值的平均值概率论中的方差表示方法样本方差，无偏估计、无偏方差unbiasedvarianceo对于一组随机变量，从中随机抽取N个样本，这组样本的方差就是X/2平方和除以N-1总体方差，也叫做有偏估计，其实就是我们从初高中就学到的那个标准定义的方差，除数是N统计中的方差表示方法

二、为什么样本方差的分母是nT为什么它又叫做无偏估计？简单的回答，是因为因为均值你已经用了n个数的平均来做估计在求方差时，只有n-1个数和均值信息是不相关的而你的第n个数已经可以由前nT个数和均值来唯一确定，实际上没有信息量所以在计算方差时，只除以nT那么更严格的证明呢样本方差计算公式里分母为n-1的目的是为了让方差的估计是无偏的无偏的估计unbiasedestimator比有偏估计biasedestimator更好是符合直觉的，尽管有的统计学家认为让meansquareerror即MSE最小才更有意义，这个问题我们不在这里探讨；不符合直觉的是，为什么分母必须得是n-1而不是n才能使得该估计无偏首先，我们假设随机变量的数学期望是已知的，但方差是未知的在这种情况下，根据方差的定义，我们有由此可得这个结果很直观，数学上也很明显现在，我们考虑随机变量

三、理论推导为了方便叙述，在这里说明好数学符号前面说过样本方差之所以要除以n-1是因为这样的方差估计量才是关于总体方差的无偏估计量在公式上来讲的话就是样本方差的估计量的期望要等于总体方差如下但是没有修正的方差公式，它的期望是不等于总体方差的也就是说，样本方差估计量如果是用没有修正的方差公式来估计总计方差的话是有偏差的下面给出比较好理解的公式推导过程也就是说，除非否则一定会有需要注意的是不等式右边的才是的对方差的“正确”估计，但是我们是不知道真正的总体均值是多少的，只能通过样本的均值来代替总体的均值因此，如果样本方差估计量用未修正方差公式估计总方差，就会有偏差，低估总体样本方差为了无偏差地估计总体方差，方差的计算公式应修改如下这种修正后的估计量将是总体方差的无偏估计量，下面将会给出这种修正的一个来源；为了能搞懂这种修正是怎么来的，首先我们得有下面几个等式.方差计算公式.均值的均值、方差计算公式对于没有修正的方差计算公式我们有因为所以有在这里如果想修正的方差公式，让修正后的方差公式求出的方差的期望为总体方差的话就需要在没有修正的方差公式前面加上来进行修正，即所以就会有这样的修正公式而我们看到的都是修正后的最终结果这就解释了为什么要修改方差计算公式，为什么要这样修改以上解释如有错误，或任何不正确的解释，请指正谢谢大家希望能对大家有些帮助。