排列组合知识点与方法归纳

排列组合知识点与方法归纳

一、知识要点.分类计数原理与分步计算原理

（1）分类计算原理（加法原理）完成一件事，有n类办法，在第一类办法中有ml种不同的方法，在第二类办法中有m2种不同的方法，……，在第n类办法中有mn种不同的方法，那么完成这件事共有N=ml+m2+…+mn种不同的方法

（2）分步计数原理（乘法原理）完成一件事，需要分成n个步骤，做第1步有ml种不同的方法，做第2步有m2种不同的方法，，做第n步有mn种不同的方法，那么完成这件事共有N=mlXm2X…Xmn种不同的方法.排列

（1）定义从n个不同元素中取出m（用S月）个元素的所有排列的个数叫做从n个不同元素中取出m个元素的排列数记为仪.

（2）排列数的公式与性质a排列数的公式:4=nn-ln-2•••n-m+1=5一特例当m=n时，4=n!=nn-ln-2••X3X2X1规定0!=1b排列数的性质

3.组合

（1）定义a）从n个不同元素中取出加（用£劝个元素并成一组，叫做从n个不同元素中取出m个元素的一个组合b）从n个不同元素中取出用5S劝个元素的所有组合的个数，叫做从n个不同元素中取出ni个元素的组合数，用符号°表示

（2）组合数的公式与性质1__4T=#5-D--2）…1）a）组合数公式4T川（乘积表示）=—~t（4掰€犷.且ES”）川5-）|（阶乘表示）特例CY=ib）组合数的主要性质（I）c（II）G+yy]

4.排列组合的区别与联系

（1）排列与组合的区别在于组合仅与选取的元素有关，而排列不仅与选取的元素有关，而且还与取出元素的顺序有关因此，所给问题是否与取出元素的顺序有关，是判断这一问题是排列问题还是组合问题的理论依据

（2）注意到获得（一个）排列历经“获得（一个）组合”和“对取出元素作全排列”两个步骤，故得排列数与组合数之间的关系M=w

二、经典例题例

1、某人计划使用不超过500元的资金购买单价分别为

60、70元的单片软件和盒装磁盘，要求软件至少买3片，磁盘至少买2盒，则不同的选购方式是（）A.5种B.6种C.7种D.8种解注意到购买3片软件和2盒磁盘花去320元，所以，这里只讨论剩下的180元如何使用，可从购买软件的情形入手分类讨论第一类，再买3片软件，不买磁盘，只有1种方法；第二类，再买2片软件，不买磁盘，只有1种方法；第三类，再买1片软件，再买1盒磁盘或不买磁盘，有2种方法；第四类，不买软件，再买2盒磁盘、1盒磁盘或不买磁盘，有3种方法；于是由分类计数原理可知，共N=l}l+2+3=7种不同购买方法应选C例

2、在中有4个编号为1234的小三角形，要在每一个小三角形中涂上红、蓝、黄、白、黑五种颜色中的一种，使有相邻边的小三角形颜色不同，共有多少种不同的涂法？解根据题意，有相邻边的小三角形颜色不同，但“对角”的两个小三角形可以是相同颜色，于是考虑以对角的小三角形

1、4同色与不同色为标准分为两类，进而在每一类中分步计算第一类1与4同色，则1与4有5种涂法，2有4种涂法，3有4种涂法，故此时有N1=5X4X4=80种不同涂法第二类1与4不同色，则1有5种涂法，4有4种涂法，2有3种涂法，3有3种涂法，故此时有N2=5X4X3X3=180种不同涂法综上可知，不同的涂法共有80+180=260种例

3、用数字012345组成无重复数字4位数，其中，必含数字2和3并且2和3不相邻的四位数有多少个？解注意到这里“0”的特殊性，故分两类来讨论第一类不含“0”的符合条件的四位数，首先从b45这三个数字中任选两个作排列有用种；进而将2和3分别插入前面排好的两个数字中间或首尾位置，又有川种排法，于是由分步计数原理可知，不含且符合条件的四位数共有W国=36个第二类含有“0”的符合条件的四位数，注意到正面考虑头绪较多，故考虑运用“间接法”首先从145这三个数字中任选一个，而后与023进行全排列，这样的排列共有4父个其中，有如下三种情况不合题意，应当排险0在首位的，有4目个；0在百位或十位，但2与3相邻的，有2禺国个0在个位的，但2与3相邻的，有42照个因此，含有0的符合条件的四位数共有封《一4+4蜃钻=30个于是可知，符合条件的四位数共有36+30=66个例

4、某人在打靶时射击8枪，命中4枪，若命中的4枪有且只有3枪是连续命中的，那么该人射击的8枪，按“命中”与“不命中”报告结果，不同的结果有A.720种B.480种C.24种D.20种分析首先，对未命中的4枪进行排列，它们形成5个空挡，注意到未命中的4枪“地位平等”，故只有一种排法，其次，将连中的3枪视为一个元素，与命中的另一枪从前面5个空格中选2个排进去，有吊种排法，于是由乘法原理知，不同的报告结果菜有1片.20种例

5、2若醴y+G+F则0二⑶2个+殒+12c+5彳=；11*24若C UC，则n的取值集合为仔•淄5方程11r2的解集为；解M«咨二卜FW71注意到n满足的条件上工「.原式二C；；♦U；+C；；+…；；二;9++%+•一+=1242运用杨辉恒等式，已知等式07卜CL+C o%3=%2♦婿=服OCC；o--3〃-4=0522且AT«n-4所求n=43根据杨辉恒等式4]=4+0:7原式二2©+W+7C+C+5G+C；=2匾+*+5《+%4注意到这里n满足的条件nN5且n£N*在

①之下，原不等式“彳.1碗.力・用■]“■ZH-

3.it・lX»・2Xil-3Qt-4i-440=I-力-3万—3内1-4••・由

①、

②得原不等式的解集为｛567115由1=像得，=2阚=x-2y=八0或丫・3尸注意到当y=o时，无意义，原方程组可化为1x=3y卜=3伊cTc—^二一!—卜9L2IXx+122又2y+l由此解得1—经检验知13是原方程组的解。