1.5 全称量词与存在量词（精讲）（解析版）

1.5全称量词与存在量词.全称量词与全称命题⑴短语“对所有的”、“对任意一个”在逻辑中通常叫做全称量词，并用符号“V”表示，含有全称量词的命题叫做全称命题.2全称命题的表述形式对M中任意一个居有px成立，可简记为YxRMpx.3常用的全称量词还有“所有，“每一个，任何”、“任意”、”一切，任给”、全部表示整体或全部的含义..存在量词与特称命题⑴短语“存在一个”、“至少有一个在逻辑中通常叫做存在量词，并用符号表示，含有存在量词的命题，叫做特称命题.2特称命题的表述形式存在M中的一个怎，使pxo成立，可简记为，3X79X

0.⑶存在量词“有些”、“有一个”、“存在”、“某个，“有的”，表示个别或一部分的含义..命题的否定⑴全称命题p VxGMpx它的否定「p3xeM「pxo全称命题的否定是特称命题.2特称命题p3X0EMpxo它的否定「p VxGM」px特称命题的否定是全称命题..常见的命题的否定形式有【典例精讲】考点一全称命题的判断[例1]202全国高一课时练习下列命题含有全称量词的是A.某些函数图象不过原点B.实数的平方为正数C.方程X2+2x+5=0有实数解D.素数中只有一个偶数【答案】B【解析】“某些函数图象不过原点即存在函数，其图象不过原点”；方程d+2x+5=0有实数解”即“存在实数%使V+2x+5=F;“素数中只有一个偶数”即“存在一个素数，它是偶数”，这三个命题都是存在量词命题，”实数的平方为正数”即“所有的实数，它的平方为正数”，是全称量词命题，其省略了全称量词“所有的”，所以正确选项为B.由全称命题的定义，全称命题应包含所有，任意的…等表示全部元素都满足的语句【玩转跟踪】（

2020.全国高一）下列语句不是全称量词命题的是（）A.任何一个实数乘以零都等于零B.自然数都是正整数C.高一

（一）班绝大多数同学是团员D.每一个实数都有大小【答案】C【解析】A中命题可改写为任意一个实数乘以零都等于零，故A是全称量词命题；B中命题可改写为任意的自然数都是正整数，故B是全称量词命题；C中命题可改写为高一

（一）班存在部分同学是团员，C不是全称量词命题；D中命题可改写为任意的一个实数都有大小，故D是全称量词命题.故选C.（

2020.全国高一单元测试）（多选）下列命题中，是全称量词命题的有（）A.至少有一个x使f+2x+l=0成立B.对任意的x都有尤2+21+1=0成立C.对任意的x都有了2+21+1=0不成立D.存在x使/+2%+1=0成立E.矩形的对角线垂直平分【答案】BCE【解析】A和D中用的是存在量词“至少有一个”“存在”，属存在量词命题；B和C用的是全称量词“任意的”，属全称量词命题，所以B、C是全称量词命题；E中命题“矩形的对角线垂直平分”省略量词“任意”，是全称量词命题.故选BCE考点二特称命题的判断【例2】（

2020.全国高一）指出下列命题是全称量词命题还是存在量词命题，并判断它们的真假.

（1）2x+l是奇数；

（2）存在一个工£上使一匚=0;x—1

（3）对任意实数m⑷0；【答案】

（1）是全称量词命题；是真命题；

（2）是存在量词命题；是假命题；

（3）是全称量词命题；是假命题.【解析】

（1）是全称量词命题.因为DxeN2x+1都是奇数，所以该命题是真命题.

（2）是存在量词命题.因为不存在xeR使‘=成立，所以该命题是假命题.x-1

（3）是全称量词命题.因为|0|=，所以||0不都成立，因此，该命题是假命题.【玩转跟踪】（

2020.全国高一课时练习）下列命题中

①有些自然数是偶数；

②正方形是菱形；

③能被6整除的数也能被3整除；

④对于任意xeR总有「一存在量词命题的个数是（）x+1A.0B.1C.2D.3【答案】B【解析】命题

①中含有存在量词，是存在量词命题；命题

②中全称量词省略，可以叙述为“所有的正方形都是菱形”，是全称量词命题；命题

③中全称量词省略，可以叙述为“一切能被6整除的数也都能被3整除「是全称量词命题；而命题

④中有全称量词“总有”，是全称量词命题故有1个存在量词命题；故选B.（

2020.全国高一课时练习）下列命题不是存在量词命题的是（）A.有的无理数的平方是有理数B.有的无理数的平方不是有理数C.对于任意xeZ2x+l是奇数D.存在xeR2x+l是奇数【答案】c【解析】A、B、中都有存在量词，是存在量词命题，C中含有量词“任意”，为全称量词命题，故选C.考点三全称、特称命题真假的判断【例3】（

2020.全国高一课时练习）判断下列命题是全称量词命题还是存在量词命题，然后写出对应的否定命题，并判断真假⑴不论m取何实数，关于x的方程d+%—m=o必有实数根；⑵所有末位数字是或5的整数都能被5整除；⑶某些梯形的对角线互相平分；

（4）函数y=kx图象恒过原点.【答案】见解析【解析】

（1）即“所有机£尺，关于工的方程f+x—m=0都有实数根”，是全称量词命题，其否定为“存在实数〃2使得方程V+x—没有实数解、真命题；

（2）是全称量词命题，其否定为“存在末位数字是0或5的整数不能被5整除，假命题；⑶是存在量词命题，其否定为“所有梯形的对角线不互相平分”，真命题；

（4）即“所有ZseR函数=依图象都过原点是全称量词命题，其否定为“存在实数使函数=图象不过原点”，是假命题.判断命题是特称命题还是全称命题，要注意补上省略词，同时注意判断命题为假命题时，只要能举出反例即可.【玩转跟踪】（

2020.平罗中学高二期末（文））下列是全称命题且是真命题的是（）A.VxGRx20B.VxGQx2EQC.Sxo^ZXq1D.Vxy£Rx2+y20【答案】BA、B、D中命题均为全称命题，但A、D中命题是假命题.故选B.（2020•全国高一课时练习）关于命题“当加£02]时，方程V—2X+机=0没有实数解”，下列说法正确的是（）A.是全称量词命题，假命题B.是全称量词命题，真命题C.是存在量词命题，假命题D.是存在量词命题，真命题【答案】A【解析】原命题的含义是“对于任意相£

[12]方程2x+加=0都没有实数解但当加=1时，方程有实数解x=l故命题是含有全称量词的假命题，所以正确选项为A.（

2020.全国高一）用符号“XT与于表示下列含有量词的命题并判断真假⑴任意实数的平方大于或等于0；

（2）对任意实数a二次函数y=/+的图象关于丁轴对•称；

（3）存在整数xy使得2x+4y=3；

（4）存在一个无理数，它的立方是有理数.【答案】

（1）VX£R»

2..

0.真命题；⑵V«eR，二次函数y=/+的图象关于y轴对称，真命题；£Zy£Z2x+4y=3假命题;

（4）BxedRQx3eQ真命题.【解析】（DVxwAYno是真命题；⑵V£R，二次函数y=V+〃的图象关于》轴对称，真命题，；BxeZyeZ2x+4y=3假命题，因为2x+4y=2（x+2y）必为偶数；

（4）1¥£丁£.真命题，例如工=蚯丁=2金.考点四命题的否定【例4】（2020・全国高一课时练习）设A是奇数集，B是偶数集则命题“VxeA2x史小的否定是（）A.2xeBB.A2x^BC.\/x^A2x^BD.Vx^A2x^B【答案】A【解析】“VxeA即“所有xeA都有它的否定应该是“存在A使所以正确选项为A.全称（存在性）命题进行否定的两步操作

①找到命题所含的量词，没有量词的要结合命题的含义加上量词，再进行否定；

②对原命题的结论进行否定.【玩转跟踪】L（

2020.全国高一课时练习）下列命题的否定为假命题的是（）A.3xeZl4x3B.3xeZ5x+\=0C.V^eRx2-1=0D.3xeRx2+3x+2=0【答案】D13【解析】对A命题的否定为假命题等价于该命题是真命题，由l4x3得一x一这样的整数x不44存在，故A为假命题，其否定为真命题，故A错误；对B5x+l=0x=—故B为假命题，其否定为真命题，故B错误；对Ci=0nx=±i故C为假命题，其否定为真命题，故C错误；对口，存在工=—1或%=—2使工2+3工+2=+1）+2）=0故口为真命题，从而D的否定是假命题，故D正确.故选D..（2020・湖南天心.长郡中学高三其他（文））已知命题〃*£心％2+2%+30，则命题〃的否定是（）A.x2+2x+30B.VxeTx2+2x+30C.VxeTx2+2x+30D.VxeTx2+2x+30【答案】C【解析】命题〃为特称命题，其否定为九2+2%+3n

0.故选C..（2019・银川唐徐回民中学高三月考（理））命题“X/xeR/2—2x+440”的否定为（）A.VxeR——2x+420B.3x0eRx02-2x0+40C.-2x+40D.gx02-2x0+40【答案】B【解析】根据全称命题的否定是特称命题，将全称量词V换为存在量词三，不等号《换为〉，可得命题“Dx£R»2—2X+4W0”的否定为‘臼/£8/2—2/+40»故选B.考点五全称特称求参数【例5】

（1）（

2020.湖南雁峰.衡阳市八中高二期中）命题“X/x£

[12]为真命题的一个充分不必要条件是（）A.a4B.a5C.a3D.a5（202浙江高一课时练习）若命题“玉使Y+S—l）x+l（T是假命题，则实数，的取值范围为（）A.\a3B.—la3C.—3a3D.—\a\（2019・四川省绵阳南山中学高三月考（理））已知函数/）=/一2xg（x）=ax+2（a0）若Vx（e[-12]3x2eL-12]使得/a）=gCx2），则实数的取值范围是（）A.（0-]B.[0引C.（03]D.[3+oo）2【答案】1B2B3D【解析】

（1）Vxe

[12]11244•••要使尤2一恒成立，则々之/恒成立，即〃24本题求的是充分不必要条件，结合选项，只有3符合故选B.

（2）由题得，原命题的否命题是“X/xeR使/+（〃-1口+120”，即△=（〃—1）2—4W0解得一1工

3.选B.

（3）由/（工）=K2—2%=（工—ip.1知当12]时，/a）e[—l3]由g（x）=ax+2（“〉0）知当马£[―12]时，g（%2）£[~a+22a+2]由题意得:[-13仁[―a+22a+2]即f—a+2W—1《解得23综上，.故选D[2+223L含参数的一元二次不等式的恒成立问题，优先考虑参变分离的方法，把问题归结为不含参数的函数的值域问题，也可以讨论不等式对应的二次函数的最值.

2.求解含有量词的命题中参数范围的策略⑴对于全称命题“VxWMa汽⑼域水^力/为真的问题，实质就是不等式恒成立问题，通常转化为求函数〃力的最大值（或最小值），即皿（或水/■（⑼.）.

（2）对于特称命题勺的金幽於〃照）（或水*照））”为真的问题，实质就是不等式能成立问题，通常转化为求函数Hx）的最小值（或最大值），即af（x）.（或水/（x）g）.【玩转跟踪】（

2020.浙江高一课时练习）若命题QX+1W0，，是真命题，则实数的取值范围是（）.A.{a\-2a2}B.{a\a-2^a2}C.{a\-2a2}D.{〃|一2或〃2}【答案】B【解析】命题QX+1W”是真命题，则需满足A=〃—420解得或

2.故选B.（2020•全国高一课时练习）命题“已知》=冈—1VxeR都有加工旷’是真命题，则实数加的取值范围是（）A.m-\B.m〉一lC.m-\D.m-\【答案】C【解析】由已知y=|x|-1得1要使X/xeR都有机y成立，只需mw—1所以正确选项为c.（2020・广东高三其他（文））己知命题〃王o£Rx；+2%o+aWO命题q:Vx〉0x+-〃，若〃假x夕真，则实数的取值范围为（）A.（1+cc）B.（-002]C.

（12）D.（-12]【答案】C【解析】命题P玉£心/；+2/+0为假命题，则Vx£R/2+2x+q为真命题，满足△=22—4qv0，解得al；命题q:Vx0x+，4为真命题，由x+工

22、卜・，=2当且仅当x=lxx\x时等号成立，可知〃2故实数的取值范围为

（12）故选C.°-x2+ax.x\]八（2019・四川省绵阳南山中学高三月考（理））已知函数/（x）=，若去]々£凡玉々，ax-\x\使得/（不）=/（%）成立，则实数的取值范围是.【答案】（一82）【解析】函数y=-/+qx的对称轴为x二:，2当@1即〃2时，y=—M+ax在（―*1）上不是单调函数，则/（幻在R上也不是单调函数，满足题意；当色〉1即〃2时，分段函数为R上的单调增函数，不满足题意.故答案为（—2）2原语句是都是至少有一个至多有一个对任意xEA使px真否定形式不是不都是一个也没有至少有两个存在使P%假。