2．1 等式性质与不等式性质8c5da831dc294bfd864b0eaa73b01615

第二章一元二次函数、方程和不等式

2.1等式性质与不等式性质例1比较％+2尤+3和％+1%+4的大小.分析通过考察这两个多项式的差与的大小关系，可以得出它们的大小关系.解因为x+2x+3-x+lx+4=+5x+6一厂+5x+4二2〉

0.所以％+2尤+3%+lx+

4.例2已知〃〉/〉，co求证££abcc11分析要证明一丁，因为cvO所以可以先证明一一.利用已知q〉〃0和性质3即abab可证明ab证明因为ab〉O.所以曲〉0—

0.ab十口11于是b——ababgp--ba由c0得二一.ab练习

1.用不等式或不等式组表示下面的不等关系⑴某高速公路规定通过车辆的车货总高度〃单位:用从地面算起不能超过4m;2〃与〃的和是非负实数；⑶如图，在一个面积小于350m2的矩形地基的中心位置上建造一个仓库，仓库的四周建成绿地，仓库的长L单位M大于宽W单位:阳的4倍.

16.已知ab〉O求证【答案】见解析【解析】【分析】利用作差法证明不等式即可.【详日军】证明aZ0一b0[a+4b0，【点睛】本题主要考查了利用作差法证明不等式，属于基础题.

17.火车站有某公司待运的甲种货物1530%乙种货物1150/现计划用AB两种型号的货厢共50节运送这批货物，已知351甲种货物和15乙种货物可装满一节A型货厢，25/甲种货物和35乙种货物可装满一节8型货厢，据此安排AB两种货厢的节数，共有几种方案？若每节A型货厢的运费是

0.5万元，每节5型货用的运费是

0.8万元，哪种方案的运费较少【答案】见解析【解析】【分析】根据不等关系列出相应不等式以及方程，解出型货厢的节数，可分为三种方案根据相应货厢的运费，得出方案三运费较少.【详解】解设安排A型货厢x节，3型货厢y节，总运费为z35x+25y.1530所以｛15x+35y.115，所以28麴k30x+y=50所以共有三种方案，方案一安排A型货厢28节，8型货厢22节;方案二安排A型货厢29节，6型货厢21节；方案三安排A型货厢30节，B型货厢20节.x=30y=20时，总运费z=

0.5x30+

0.8x20=31（万元）此时运费较少.【点睛】本题主要考查了线性规划的实际应用，属于中档题.[L4WQ.【答案】⑴⑵….⑶7助”+⑼

350.【解析】【分析】由题意转化为不等关系即可【详解】10/4;2a+b0；3由题，则矩形地基的长为L+IOm，宽为W+10m厕jL4W0[L+10W+10350【点睛】本题考查不等关系在实际中的应用，属于基础题.比较％+3%+7和％+4%+6的大小.【答案】%+3%+7v%+4%+

6.【解析】【分析】将两式作差即可比较大小.【详解】解x+3x+7-x+4x+6=x2+10x+21-x2+10x+

24.=-30^flUx+3x+7x+4x+

6.已知证明a〉+b.2【答案】证明见解析【解析】【分析】由〃通过分别考查与彳的差、w2与6的差与的大小关系，即可证明【详解】证明:因为》所以-人〉0*-0g、ia+b所以q〉一2“rria+b综上，aZ时，a〉b.【点睛】本题考查利用作差法证明不等式，属于基础题练习.证明不等式性质

1346.【答案】证明见解析【解析】【分析】作差后利用差与0的关系及“同号得正，异号得负即可判断两式大小，进而证明即可【详解】证明

①证明不等式性质1:1/ab:.a~b0--0:.b—a0:.ba^2\ba:.b-a0~b-a

0.a-b0:.ab.

②证明不等式性质3:•/ab.\a-bO-9\a+c-[b+c=a+c-b-c=a-bO9a-i-ch-hc

③证明不等式性质4:1aZ/.«-Z0Qc0ac-bc—tz-Zc0/.acbe；2\ab.\a-b0c0^ac-bc=^a-b^c

0.\acbc

④证明不等式性质6:aZ

0.二a—Z0Qc0ac-be=a-bc0acbe；cd

0.\c—d0/;b0-9-bc-bd=bc—d0bcbd；aobobd.BPacbd【点睛】本题考查作差法证明不等式性质，考查“同号得正，异号得负”的应用

5.用不等号“才或“v”填空1如果々人那么a-cb—d;2如果〃〉Z0cd0那么acbd;3如果ab0那么——y;erIr4如果abc0那么一~.ah【答案】

①.

②.

③.@.【解析】【分析】根据不等式的性质依次填写即可【详解】解析1cd.\-c—dah.\a-ch-d.2QcdQ.\-c-dQ.*:ab0—ac—be—bdacbd.ab0:.ab0—0a—b•—0——0abababba所以〉0二

0.于是〃・Lh・-L即，工即abababbaabQc0一—.ab故答案为D;2;3；4【点睛】本题考查利用不等式性质判断不等关系，熟练掌握不等式性质是解题关键习题

2.1复习巩固.举出几个现实生活中与不等式有关的例子【答案】见解析【解析】【分析】举生活中的儿童乘车票价和桥洞通道限高，答案不唯一.【详解】解1身高

1.2〜

1.5m的儿童随同成年人乘坐火车，享受半价优惠，则享受半价优惠儿童的身高的范围.2限高5m的桥洞通道.【点睛】本题主要考查了生活中的不等关系，属于基础题..某市环保局为增加城市的绿地面积，提出两个投资方案方案A为一次性投资500万元；方案3为第一年投资100万元，以后每年投资10万元，列出不等式表示“经过〃年之后，方案B的投入不少于方案A的投入”.【答案】九.41【解析】【分析】根据题意得出经过〃年之后，方案6的总投入的表达式，解不等式100+10/2-

1..500即可得出结论.【详解】方案4一次性投资500万元；方案8第一年投资100万元两年后总投资为100+1万元三年后总投资为100+10x2万元〃年后总投资为［100+105-1］万元由于〃年之后，方案8的投入不少于方案A的投入，所以100+105-1・.500即n.Al.【点睛】本题主要考查了利用不等式表示不等关系，属于基础题..比较下列各组中两个代数式的大小1x2+5x+6与2工2+5x+9;2x—32与x—2x—4；3当％1时f与df+i；4+y2+1与2x+y—

1.【答案】1%2+5尤+62尤2+5x+9-2x—32x—2X—

4.3尤2%2一1+].4x2+y2+\2x+y-l.【解析】【分析】利用作差法比较大小即可.【详解】解1因为Y+5]+6—2%2+5%+9=—丁―3所以X2+5x+6v2x2+5x+9・2因为x—32—x—2x—4=/—6%+9—d—6x+8=10所以x-32x-2x-

4.3因为％之一『—x+l=%-1，所以当了1时，X2x2—x+

1.4因为x2+y2+l-2x+y-l=x2+y2+l-2x-2y+2=x-l2+y-\y+lQ所以Y+J+12%+y—

1.【点睛】本题主要考查了利用作差法比较大小，属于基础题.

9.一个大于50小于60的两位数，其个位数字比十位数字大2试用不等式表示上述关系，并求出这个两位数用和方分别表示这个两位数的十位数字和个位数字.【答案】57【解析】【分析】根据不等关系得出不等式组，求解即可得出结论.50102+/60b-a=243【详解】解由题意知八c解得47T5工%9111109又aeN，.a=

5.•2=

7..所求的两位数为

57.【点睛】本题主要考查了利用不等式表示不等关系，属于基础题..已知2a3—2b-1求2a+Z7的范围.【答案】22a+b5【解析】【分析】根据不等式的性质可得出答案.【详解】解•2a34v2z7v6—2vZv—1:22a+h

5..证明cbba^ca.【答案】证明见解析【解析】【分析】根据同向不等式的可加性证明即可.c〈b=c-ba【详解】证明7八卜一口一〃+S—q0nc—.故得证.ba^b-a0\综合运用.已知ab0cd0e0求证C—二.a—cb—d【答案】—a—cb—d【解析】【分析】通过0可知一一20从而a-cb-d0求倒数可知—-^-0两边同时乘以负数即得结论.a-cb-d【详解】Qcd0—c—d0又ab0:.a-cb—d0又e0ee.a-cb-d【点睛】本题考查不等式的证明，利用不等式的性质是解决本题的关键，注意解题方法的积累，属于中档题..下列不等式中成立的是A.若〃〉人0则2〉历2B.若/则22C.若人0贝I」/〃D.若qZ0IJliJ—7ab【答案】B【解析】【分析】A如c=0时，6zc2=be2所以该选项错误；BCD利用作差法比较大小分析得解.【详解】A.若则戊:2〉:2错误，如c=0时，ac1=be1所以该选项错误；B.若ab0^\a2-b2=a+ba-b

09.a2b29所以该选项正确；C.若qZ0贝U/一一〃〉o...a〃〃，所以该选项错误；D.若〃人0则，一=号〉0・•.，，，所以该选项错误.ababab故选B.证明圆的面积大于与它具有相同周长的正方形的面积，并据此说明，人们通常把自来水管的横截面制成圆形，而不是正方形的原因.【答案】见解析【解析】【分析】设圆的周长与正方形的周长均为x由圆的面积以及正方形的面积公式求出圆和正方形的面积，利用作差法证明圆的面积大于正方形的面积，即可得出相同周长的圆和正方形的截面，圆的截面面积大.【详解】证明，设圆的周长与正方形的周长均为x则圆的面积s=兀2222L.・.S「邑土=工4-〃0・・.S］〉S

2.161616»••・相同材料制成的自来水管，截面为圆的截面面积大，因而出水快.【点睛】本题主要考查了利用作差法比较大小，属于中档题..已知〃克糖水中含有〃克糖再添加加克糖（加〉）（假设全部溶解），糖水变甜了，请将这一事实表示为一个不等式，并证明这个不等式成立.-、aa+m【答案】--——bb+m【解析】【分析】CLCl+771根据添加后的浓度大于之前的浓度，得出利用作差法证明不等式bb+maa+mab+m-ba+jnab+am-ba-bmma-b证明如下=:=bh+mbb+mbh+mba

0.a-bQb

0./m

0.\b+m0ma-b八aa+m\—0/.—.bb+/71bb+m【点睛】本题主要考查了利用不等式表示不等关系以及作差法证明不等式，属于中档题.拓广探索。