理论力学第一章习题

第一章习题细杆ol绕o点以角速

①转动，并推动小环C在固定的钢丝A/上滑动图中的d为常数，试求小球的速度及加速度的量值解如题

1.

4.1图所示，ql绕0点以匀角速度转动，c在ab上滑动，因此0点有一个垂直杆的速度分量C点速度又因为往=切所以C点加速度矿山升降机作加速度运动时，其变加速度可用下式表示式中C及T为常数，试求运动开场/秒后升降机的速度及其所走过的路程升降机的初速度为零解由题可知，变加速度表示为由加速度的微分形式我们可知代入得对等式两边同时积分（Vdv=cC（1-sin-^-KJoJoI2TJ可得v=ct-\ccos^+D（为常数）7i2T代入初始条件1=0时，p=o，故又因为口=包dt所以c/+生（cos乌--1dt_（2T）_对等式两边同时积分，可得:一质点沿位失及垂直于位失的速度分别为）及式中；I及4是常数试证其沿位矢及垂直于位失的加速度为解由题可知质点的位矢速度功=.

（1）沿垂直于位矢速度乙=网2又因为〃=【=〃即3V_L=A=]LlO0=⑷r对

③求导r=2⑸对

④求导=一吗亍+比6产r根据课本的推导可知沿位矢方向加速度a=r-r^27垂直位矢方向加速度aL=[r3+228把34[56代入78式中可得

1.7试自出发，计算上及y并由此推出径向加速度为及横向加速度为解由题可知x=〃cos夕

①—

②y=rsin对

①求导x—rcosO—rsin30

③对

③求导元-rcos3-2r3sin3-r0sm0-r32cos3即x=r-rO1cos0-{rO+2/sin@ar=，cos9+/sineQD把

④⑥代入11得同理可得a=一xsin6+ycos

1.14一飞机在静止空气中每小时的速率为100千米如果飞机沿每边为6千米的正方形飞行，且风速为每小时28千米，方向与正方形的某两边平行，则飞机绕此正方形飞行一周，需时多少解正方形如题

1.

14.1图由题可知u牵=口风=28左根/h设风速a.口相=100%加/力，当匕机A-B，9=100+2^km/h-128kmlh故飞机沿此边长6%根/〃正方形飞行一周所需总时间

1.17小船M被水冲走后，由一荡桨人以不变的相对速度外朝岸上A点划回假定河流速度％沿河宽不变，且小船可以看成一个质点，求船的轨迹解以a为极点，岸为极轴建设极坐标如题.

17.1图.船沿垂直于r的方向的速度为一jsin，船沿径向「方向的速度为％和J沿径向的分量的合成，即dp.r—二一usin夕〈力1

①--

②dr一=UCOS-I[dt12drU—=3cotdpr[U[Sin°Inr=与Intan--lnsino+Cu2iIp设7^=%3=见为常数，即1代入初始条件r=r时.，0=%.设，有C=lnr-In，得22cos

1.19将质量为小的质点竖直抛上于有阻力的媒质中设阻力与速度平方成正比，即R=ink2gv2o如上抛时的速度为Z，试证此质点又落至投掷点时的速度为解质点从抛出到落回抛出点分为上升和下降阶段.取向上为正各力示意图如题由

③二

④可得

1.28重为卬的不受摩擦而沿半长轴为〃、半短轴为〃的椭圆弧滑下，此椭圆的短轴是竖直的如小球自长2轴的端点开场运动时，其初速度为零，试求小球在到达椭圆的最低点时它对椭圆的压力22椭圆方程二+乙=1

①Clb2从A滑到最低点3只有重力做功.机械能守恒.^mgb=-mv2®设小球在最低点受到椭圆轨道对它的支持力为n则有N-mg=〃

③Pp为3点的曲率半径.AfB的轨迹y=-b1-^Va1所以N=mg+mV=mg+xPCT故根据作用力与反作用力的关系小球到达椭圆最低点对椭圆压力为W1+21方向垂直轨道向下.IaJ

1.36检验以下的力是否是保守力如是，则求出其势能〃Fx=6abz3y-20bx3y2，Fy=6abx^-10/zx4yp=\^abxyz2解〔a保守力/满足条件Vx尸=0对题中所给的力的表达式，代入上式即所以此力是保守力，其势为（b）同（a）由所以此力方是保守力，则其势能为

1.38作用在质点上的力为式中系数

4.（=123）都是常数问这些密.应满足什么条件，才有势能存在如这些条件满JJ足，试计算其势能解要满足势能的存在，即力场必须是无旋场，亦即力为保守力，所以Vxb即得%/=123）为常数满足上式关系才有势能存在势能为V=-JF-dr=—Fxdx+JFydy+JFzdzJQooooo薪+rCvyO底0人+rGyzQ0Cz31x+〃32y+a^zdz11%+〃12y+〃31z+2〃12xy+2〃23yz+2〃31ZX139一质点受一与距离3次方成反比的引力作用在一直线上运动试证此质点自无穷由静2止出发到达距力心〃时的速率和自距力心〃静止出发到达距力心-时的速率一样43证质点受一与距离一成反比的力的作用2设此力为_3F（r）=kr2（左为一常数）

①又因为即_3kr2办=根口成

②当质点从无穷远处到达a时丁对

②式两边分别积分当质点从a静止出发到达@时:对

②式两边分别积分4所以质点自无穷远到达〃时的速率和自，静止出发到弓时的速率一样。