排列组合问题经典题型

排列组合问题经典题型与通用方法L相邻问题捆绑法:题目中规定相邻的几个元素捆绑成一个组，当作一个大元素参与排列.例

1.A民CDE五人并排站成一排，如果A3必须相邻且8在A的右边，则不同的排法有A、60种B、48种C、36种D、24种.相离问题插空排:元素相离即不相邻问题，可先把无位置要求的几个元素全排列，再把规定的相离的几个元素插入上述几个元素的空位和两端.例

2.七人并排站成一行，如果甲乙两个必须不相邻，那么不同的排法种数是A、1440种B、3600种C、4820种D、4800种例

3.已知集合A={1231920}集合8={卜生，/，%}，且3uA若Iq|Wlij=1234则满足条件的集合B有多少个.定序问题缩倍法:在排列问题中限制某几个元素必须保持一定的顺序，可用缩小倍数的方法.例

4.1ABCDE五人并排站成一排，如果3必须站在A的右边A3可以不相邻那么不同的排法有A、24种B、6种C、9种D、12种2由数字，12345组成没有重复数字的六位数，其中个位数字小于十位数字的共有A、21种B、30种C、464种D、60种.解析1解析被取的两个数中至少有一个能被7整除时，他们的乘积就能被7整除，将这100个数组成的集合视为全集I能被7整除的数的集合记做A={7142198}共有14个元素，不能被7整除的数组成的集合记做N={1234100}共有86个元素；由此可知，从A中任取2个元素的取法有C从A中任取一个，又从入中任取一个共有两种情形共符合要求的取法有C+C\C；6=1295种.2解析将/={123100}分成四个不相交的子集，能被4整除的数集A={4812100}；能被4除余1的数集8={15997}能被4除余2的数集={2698}能被4除余3的数集{37』199}，易见这四个集合中每一个有25个元素;从人中任取两个数符合要；从民中各取一个数也符合要求；从C中任取两个数也符合要求；此外其它取法都不符合要求；所以符合要求的取法共有C；5+C；55+C；5=1225种..解108ab cd，其中a、c位可填12345；b、d位可填

12345679.09ab cd，其中a、c位可填12345；b、d位可填

12345678.先填a、c再填b、d共2点耳=

1200.解析设全集二｛6人中任取4人参赛的排列｝A二｛甲跑第一棒的排列｝B二｛乙跑第四棒的排列｝根据求集合元素个数的公式得参赛方法共有〃（/）-〃（A）—“⑻+n（AcB）二父—£—£+4=252种..解析老师在中间三个位置上选一个有种，4名同学在其余4个位置上有A种方法；所以共有=72种..解析

（1）前后两排可看成一排的两段，因此本题可看成6个不同的元素排成一排，共4=720种，选C.

（2）解析看成一排，某2个元素在前半段四个位置中选排2个，有种，某1个元素排在后半段的四个位置中选一个有4种，其余5个元素任排5个位置上有反种，故共有4看6=5760种排法..解析1逆向思考，至少各一台的反面就是分别只取一种型号，不取另一种型号的电视机，故不同的取法共有C；—《一=70种，选.C解析2至少要甲型和乙型电视机各一台可分两种情况甲型1台乙型2台；甲型2台乙型1台；故不同的取法有ClC\+=70台，选C..解析

（1）先取四个球中二个为一组，另二组各一个球的方法有C种，再排在四个盒中每次排3个有团种故共有CM=144种.

（2）先取男女运动员各2名，有种，这四名运动员混和双打练习有反中排法，故共有=120种..解析1正方体8个顶点从中每次取四点，理论上可构成C；四面体，但6个表面和6个对角面的四个顶点共面都不能构成四面体，所以四面体实际共有C；-12=58个.2解析10个点中任取4个点共有种，其中四点共面的有三种情况

①在四面体的四个面上，每面内四点共面的情况为盘，四个面共有4C个；

②过空间四边形各边中点的平行四边形共3个；

③过棱上三点与对棱中点的三角形共6个.所以四点不共面的情况的种数是品-4C-3-6=141种.56个8+1x4x6+2x2x6=56

①一个面内取GH两点，另一个点取F时、即8个角；

②一个面内取GH两点，另一个点取K时，2x2x6=24个；

③一个面内取HI两点，那另一个点只能取A或C2x2x6=24个4因为四面体中仅有3对异面直线，可将问题分解成正方体的8个顶点可构成多少个不同的四面体，从正方体8个顶点中任取四个顶点构成的四面体有C；-12=58个，所以8个顶点可连成的异面直线有3x58=174对..解析首先可让5位姐姐站成一圈，属圆排列有A种，然后在让插入其间，每位均可插入其姐姐的左边和右边，有2种方式，故不同的安排方式24x25=768种不同站法.说明从几个不同元素中取出用个元素作圆形排列共有「俨种不同排法..解析完成此事共分6步，第一步；将第一名实习生分配到车间有7种不同方案，第二步将第二名实习生分配到车间也有7种不同方案，依次类推，由分步计数原理知共有76种不同方案.x3y

2.解析Co设购买软件工片、磁盘y盒，则｛60x+70yW500所以尢=3y=234；x=4x.yeNy=234；x=5y=2故共7种.解析21+2++49+50=2500包括两个数不同和相同的情形！.解析1先把30030分解成质因数的形式30030=2x3x5x7x11x13；依题意偶因数2必取，3571113这5个因数中任取若干个组成成积，所有的偶因数为C；+C+C；+C；+C；+C=32个或1・25=

32.2分析知7必排在8之后，5必排在7之后.且8的前面只有2个数，

8、7之间只有一个小于7的数，6或在7之前，或在

7、5之间，或在5之后第一种情况6在7之前，形如##8#7#5#C；A=72；第2种情况6在

7、5之间形如##8#765#=24；第3种情况6在5之后，形如##8#75##=48所以共144种.解析1因为圆的一个内接四边形的两条对角线相交于圆内一点，一个圆的内接四边形就对应着两条弦相交于圆内的一个交点，于是问题就转化为圆周上的10个点可以确定多少个不同的四边形，显然有C2个，所以圆周上有10点，以这些点为端点的弦相交于圆内的交点有=210个.2解析可将图中矩形的一边叫一小段，从A到8最短路线必须走7小段，其中向东4段向北3段；而且前一段的尾接后一段的首，所以只要确定向东走过4段的走法，便能确定路径，因此不同走法有仁=35种..解析从5个球中取出2个与盒子对号有C；种，还剩下3个球与3个盒子序号不能对应，利用枚举法分析，如果剩下345号球与345号盒子时，3号球不能装入3号盒子，当3号球装入4号盒子时，45号球只有1种装法，3号球装入5号盒子时，45号球也只有1种装法，所以剩下三球只有2种装法，因此总共装法数为2C；=20种..解错排问题，分类解决C；/5+C；/4+C3=

109.解析设第％次球仍回到q的手中的传球方法种数是以，则4=0%=〃—L且ak=n-lk-[-ak_i9所以ak—I”=1]=aknnx+y+z=6，解得《x+2y+3z=10故方法数为C；+C C；+C=15+60+15=902设上完n级台阶的方法数为/〃，则/1=1/2=2/3=4且/H=/D+/〃一2+fn-3〃4，・・・/4=7/5=136=24⑺=44/8=81f9=149/10=

274.解析C；；；C匕t.解析14二3876；2以；3先在编号为12345的五个盒子中依次放入01234个球，再只要保证余下的10个球每个盒子至少放一个，则C=

126.解析C；・C；♦22=

120.解析:

49..解析:C C；+C C；C+C C；C；=35+120+30=

185.解析前9个扇形依次染色并不难，但第1个扇形既与第九个相邻也与第1个相邻，这两个扇形颜色可能相同也可能不相同，所以直接用记数原理有困难，但建立递推关系并不难.设将圆分成n个不相等的扇形时，满足题设的染法有〃〃种.依次记n个扇形为s]…s〃.显然a尸

3.当n=2时，先对si染色，有3种方法；si染色后再对S2染色，有2种方法，故@2=

6.当nN3时，我们依次对SjS

2...SZ1染色.对S1染色，有3种方法，对S1染色后再对S2染色有2种方法，同样的对S3S4…Sn分别有2种方法，由乘法原理共有3・2局种染色方法.但这样做际与S1有可能同色.即在3・2向种染色方法中包含了Sn与S1同色的染色方法.对于Sn与S1同色的情形，拆去即与S]的边界使际与S]合并，便得到将圆分为n-1个扇形时同色不相邻的染色方法，这样的情况有an.i种.故a„=3-2向密田n

3.所以3=6nN3时.，an=2+2-—

1.*.aio=2lo+2=lO

26..解由题意，红黄蓝三种颜色，每种颜色恰好涂了两次，分为两类第一类可按一下步骤进行第1步涂第一格，有3种方法；第2步涂第二格，有2种方法；第3步用与第一格不同的颜色涂第三格，有1种方法；第4步第四格可以涂与第三格颜色不同的，有2种方法第5步用不同的两色涂剩下的两格，有2种方法；所以有3*2*1*2*2=24种第二类可按一下步骤进行第1步涂第一格，有3种方法;第2步涂第二格，有2种方法；第3步用与第一格相同的颜色涂第三格，有1种方法；第4步第四格只能用没有用过的颜色涂，有种方法第5步第五格只能用涂第二格的颜色，第六格只能用涂第四格的颜色，有1种方法;所以有3*2*1*1*1=6种所以，共有24+6=30种涂法.解析:注意4种颜色的花都有种上A；l+1+1+2=120变式硕C；C；+3+2・2]=

960.标号排位问题分步法:把元素排到指定位置上，可先把某个元素按规定排入，第二步再排另一个元素，如此继续下去，依次即可完成.例

5.将数字1234填入标号为1234的四个方格里，每格填一个数，则每个方格的标号与所填数字均不相同的填法有A、6种B、9种C、11种D、23种.有序分配问题逐分法:有序分配问题指把元素分成若干组，可用逐步下量分组法.例

6.1有甲乙丙三项任务，甲需2人承担，乙丙各需一人承担，从10人中选出4人承担这三项任务，不同的选法种数是A、1260种B、2025种C、2520种D、5040种12名同学分别到三个不同的路口进行流量的调查，若每个路口4人，则不同的分配方案有A、d种B、3c:C；C种C、黑C；/种D、或军1种

4.全员分配问题分组法例

7.14名优秀学生全部保送到3所学校去，每所学校至少去一名，则不同的保送方案有多少种？5本不同的书，全部分给4个学生，每个学生至少一本，不同的分法种数为A、480种B、240种C、120种D、96种.名额分配问题隔板法例810个三好学生名额分到7个班级，每个班级至少一个名额，有多少种不同分配方案例

9.马路上有编号为123…，9九只路灯，现要关掉其中的三盏，但不能关掉相邻的二盏或三盏也不能关掉两端的两盏，求满足条件的关灯方案有多少种？.限制条件的分配问题分类法例

1.现安排甲、乙、丙、丁、戊5名同学参加上海世博会志愿者服务活动，每人从事翻译、导游、礼仪、司机四项工作之一，每项工作至少有一人参加.甲、乙不会开车但能从事其他三项工作，丙、丁、戊都能胜四项工作，则不同安排方案的种数是A.152B.126C.90D.

54.多元问题分类法元素多，取出的情况也多种，可按结果要求分成不相容的几类情况分别计数再相加例111从123…，100这100个数中，任取两个数，使它们的乘积能被7整除，这两个数的取法不计顺序共有多少种？2从123…，100这100个数中任取两个数，使其和能被4整除的取法不计顺序有多少种？例

12.电子表10点20分08秒时，显示的数字是10:20:08那么，从8点到10点内，电子表6个数码均不相同的情况有多少种？.交叉问题集合法某些排列组合问题几部分之间有交集，可用集合中求元素个数公式nAuB=nA+nB-nAnB例

13.从6名运动员中选出4人参加4x100米接力赛，如果甲不跑第一棒，乙不跑第四棒，共有多少种不同的参赛方案？1L定位问题优先法某个或几个元素要排在指定位置，可先排这个或几个元素；再排其它的元素例

14.现1名老师和4名获奖同学排成一排照相留念，若老师不站两端则有不同的排法有多少种

12.多排问题单排法:把元素排成几排的问题可归结为一排考虑，再分段处理例

15.16个不同的元素排成前后两排，每排3个元素，那么不同的排法种数是A、36种B、120种C、720种D、1440种28个不同的元素排成前后两排，每排4个元素，其中某2个元素要排在前排，某1个元素排在后排，有多少种不同排法？13至少，“至多，问题用间接排除法或分类法例

16.从4台甲型和5台乙型电视机中任取3台，其中至少要甲型和乙型电视机各一台，则不同的取法共有A、140种B、80种C、70种D、35种.选排问题先取后排:从几类元素中取出符合题意的几个元素，再安排到一定的位置上，可用先取后排法.例

17.1四个不同球放入编号为1234的四个盒中，则恰有一个空盒的放法有多少种？9名乒乓球运动员，其中男5名，女4名，现在要从中选4人进行混合双打训练，有多少种不同的选法？.几何问题例

18.1以正方体的顶点为顶点的四面体共有A、70种B、64种C、58种D、52种2四面体的顶点和各棱中点共10点，在其中取4个不共面的点，不同的取法共有A、150种B、147种C、144种D、141种3记正方体的各条棱的中点构成的集合为M则过且仅过集合M的三个点的平面有多少个？4正方体8个顶点可连成多少对异面直线.圆排问题单排法:把〃个不同元素放在圆周几个无编号位置上的排列，顺序（例如按顺时钟）不同的排法才算不同的排列，而顺序相同（即旋转一下就可以重合）的排法认为是相同的，它与普通排列的区别在于只计顺序而无首位、末位之分，下列〃个普通排列q〃2，〃3〃〃；出，3，4，，〃〃，在圆排列中只算一种，因为旋转后可以重合，故认为相同，〃个元素的圆排列数有里种.因此可将某个元素固定展成单排，其它的元素全排列.n例

19.有5对姐妹站成一圈，要求每对姐妹相邻，有多少种不同站法？.可重复的排列求募法:允许重复排列问题的特点是以元素为研究对象，元素不受位置的约束，可逐一安排元素的位置，一般地几个不同元素排在加个不同位置的排列数有mn种方法.例

20.把6名实习生分配到7个车间实习共有多少种不同方法？.元素个数较少的排列组合问题可以考虑枚举法例

21.某电脑用户计划使用不超过500元的资金购买单价分别60元、70元的单片软件和盒装磁盘根据需要，软件至少买3片一，磁盘至少买2盒，则不同的选购方法有（）A.5种B.6种C.7种D.8种例

22.从1到10（）的一百个自然数中，每次取出两个数，使其和大于100这样的取法共有多少种？.复杂的排列组合问题也可用分解与合成法例

23.

（1）例030能被多少个不同偶数整除2设是由L2，〃的一个排列，把排在q的左边且比q小的数的个数称为q的顺序数0=12/如在排列645321中，5的顺序数为13的顺序数为

0.则在由128这八个数字构成的全排列中，同时满足8的顺序数为

2、7的顺序数为

3、5的顺序数为3的不同排列的种数为多少？.利用对应思想转化法:对应思想是教材中渗透的一种重要的解题方法，它可以将复杂的问题转化为简单问题处理.例

24.1圆周上有10点，以这些点为端点的弦相交于圆内的交点最多有多少个？2某城市的街区有12个全等的矩形组成，其中实线表示马路，从A到B的最短路径有多少种？.全错位排列问题公式法:全错位排列问题贺卡问题，信封问题记住公式即可瑞士数学家欧拉按一般情况给出了一个递推公式用A、B、C……表示写着n位友人名字的信封，a、b、c.…・・表示n份相应的写好的信纸把错装的总数为记作fn假设把a错装进B里了，包含着这个错误的一切错装法分两类b装入A里，这时每种错装的其余部分都与A、B、a、b无关，应有fn-2种错装法b装入A、B之外的一个信封，这时的装信工作实际是把除a之外的n-1个信纸b、c装入除B以外的n—1个信封A、C……，显然这时装错的方法有fn-l种总之在a装入B的错误之下，共有错装法fn.2+fn.l种a装入C装入D……的n—2种错误之下，同样都有fn・2+fn-l种错装法因此得到一个递推公式:fn=n-l-[fn-l+fn-2]分别带入n=

2、

3、4等可推得结果也可用迭代法推导出一般公式:1!2!3!n\例

25.设有编号为12345的五个球和编号为12345的盒子现将这5个球投入5个盒子要求每个盒子放一个球，并且恰好有两个球的号码与盒子号码相同，问有多少种不同的方法？例

26、5位同学原来坐成一排，现让他们重新坐，则至多有两位同学坐在其原来的位置的不同的坐法是多少？.多人传球问题（构造递推关系）例

27、4由，，4〃（〃23）〃个人传球，第一次由q开始传球，可传给其他任何一个人，第二次由拿球者再传给其他任何一个人，如此继续则第k次球仍回到4的手中的传球方法种数是多少？.上台阶问题例

28、1（）级台阶，某人可一步跨一级，也可跨两级，也可跨三级

（1）他6步就可上完台阶的方法数是多少？

（2）他上完台阶的方法总数是多少？.方程的正整数解的个数问题（隔板法）例

29.方程为+々++x〃=k（kneN*kNn）的正整数解有多少个？有多少非负整数解个？例

30.将20个完全相同的球放入编号为12345的五个盒子中

（1）若要求每个盒子至少放一个球，则一共有多少种放法？

（2）若每个盒子可放任意个球，则一共有多少种放法？

（3）若要求每个盒子放的球的个数不小于其编号数，则一共有多少种放法？.配对（配凑）问题例

31.5双相异的鞋共10只，现随机地取出6只，恰好能配成2双鞋的取法是多少？例

32.50名选手参加乒乓球淘汰赛比赛，需要打多少场才能产生冠军？淘汰赛比赛规则是:要淘汰1名选手必须进行1场比赛;反之每进行1场比赛则淘汰1名选手例

33.有11名翻译人员，其中5名是英语翻译人员，4名是日语翻译人员，另2人英、日语均精通现从中选出8人组成两个翻译小组，其中4人翻译英语，另4人翻译日语，则有多少种不同的选派方式？.染色问题例

34.把圆分成10个不相等的扇形，并且用红、黄、蓝三种颜色给扇形染色，但不允许相邻的扇形有相同的颜色，问共有多少种染色法？例

35.在如图所示的六个空格里涂上红黄蓝三种颜色，每种颜色只能涂两次，要求相邻空格不同色，请问一共有多少种涂法？123456例

36.某城市在中心广场建造一个花圃，花圃分为6个部分（如图），现要栽种4种不同颜色的花每部分栽种一种且相邻部分不能栽种同样颜色的花，则不同的栽种方法有多少种？（变式若要栽种5种颜色的花？）排列组合问题经典题型答案L解析把A8视为一人，且B固定在A的右边，则本题相当于4人的全排列，禺=24种，答案:D..解析除甲乙外，其余5个排列数为耳种，再用甲乙去插6个空位有可种，不同的排法种数是64=3600种选反.易知4，〃2，3，4互不相等且不相邻，则有=

2380.解析13在A的右边与3在A的左边排法数相同，所以题设的排法只是5个元素全排列数的一半，即工6=60种，选

3.2按题意，个位数字只可能是01234共5种情况，分别有6个，尺可隹馈HAS，隹个，合并总计300个，选3工A—6=300种.解析先把1填入方格中，符合条件的有3种方法，第二步把被填入方格的对应数字填入其它三个方格，又有三种方法；第三步填余下的两个数字，只有一种填法，共有3x3xl=9种填法，选B..解析1先从10人中选出2人承担甲项任务，再从剩下的8人中选1人承担乙项任务，第三步从另外的7人中选1人承担丙项任务，不同的选法共有比以；=2520种，选C.2答案.1=36C；A=240答案B..解析10个名额分到7个班级，就是把10个名额看成10个相同的小球分成7堆，每堆至少一个可以在10个小球的9个空位中插入6块木板，每一种插法对应着一种分配方案，故共有不同的分配方案为C=84种..解析把此问题当作一个排对模型，在6盏亮灯的5个空隙中插入3盏不亮的灯C；种方法，所以满足条件的关灯方案有10种.说明一些不易理解的排列组合题，如果能转化为熟悉的模型如填空模型，排队模型，装盒模型可使问题容易解决.

10.。