第04讲常用逻辑用语（解析版）

第四讲常用逻辑用语【知识梳理】知识点一命题1命题定义在数学中，我们将可以判断真假的陈述句叫作命题.’真命题判断为真的语句..假命题判断为假的语句.特别提醒1判断一个语句是否为命题的两个要素

①是陈述句，表达形式可以是符号、表达式或语言；

②可以判断真假.2真命题可以给出证明，假命题只需举出一个反例即可.命题的形式命题的一般形式为“若P，则其中〃叫做命题的条件〃叫做命题的结论.知识点二充分条件与必要条件知识点三充要条件的概念1定义若p=q且q今p则记作poq此时p是q的充分必要条件，简称充要条件.⑵条件与结论的等价性如果p是^的充要条件，那么〃也是〃的充要条件.知识点四全称量词与全称命题考点四充要条件的探求与证明.“方程『一2了一=0无实根”的充要条件是.答案a-l解析因为方程x2—2x—=0无实根，所以有/=4+4〃0解得

1.反之，若〃一则/V0方程x2—2x—=0无实根.故“方程f—2x—Q=0无实根”的充要条件是a-l..求证一元二次方程a^-^rbx-^c—O有一正根和一负根的充要条件是ac

0.证明充分性•・•〃”，・•・一元二次方程af+bx+cn的判别式/=Z2—4oc0••・方程一定有两个不等实根，设两实根为X1，必则X1X2=V，•••方程的两根异号，即方程2+bx+c=0有一正根和一负根.必要性•.•方程ax1+bx-\-c=Q有一正根和一负根，设两实根为卬X2则由根与系数的关系得小2=呆0且/=尻一4心0C/CE|Jqc

0.综上可知，一元二次方程qf+Zzx+c=0有一正根和一负根的充要条件是

40.考点五全称量词命题与存在量词命题的否定

17.已知命题一21+20则命题p的否定是A.三入京10_2%+20B.x2-2x+20C.Vx〉0—2x+2・・0D.0—2x4-

2..0【答案】C【解析】【分析】由存在量词命题的否定为全称量词命题即可求解.【详解】因为命题P3a-0a12-2a+20是存在量词命题则命题〃的否定是Vx0x2-2x+

2..

0.故选C

18.命题“\/工£

[02]»2一+i0的否定是【答案】3xoe[O2]x^-^o+lO【解析】【分析】利用含有一个量词的命题的否定直接求解作答.【详解】命题〃X/xg

[02]x2-h;+l0”是全称量词命题，其否定是〃3x0e

[02]%；-而+10故答案为3xoe[O2]xj-^o+lO考点六全称量词命题与存在量词命题真假性求参

19.已知P勺m0Rxo2—xo+czO〃为真命题，则实数Q的取值范围是.【答案】-8，彳【解析】【分析】根据P勺XO0R九02—xo+aVO为真命题，由4-12+xxeR有解求解.【详解】解因为p勺羽0Rxo—xo+aO〃为真命题，所以ac-Y+xxER有解，1V11令，=-f+x=_X——+—贝I2；44所以〃，，4n故答案为一8，;I4J

20.命题:Vxg/%2-2mx-3m0成立；命题9王e7x02+4m^0+10成立.⑴若命题p为真命题，求实数机的取值范围；2若命题夕为假命题，求实数机的取值范围；⑶若命题P，9至少有一个为真命题，求实数加的取值范围.【答案】⑴—30⑶一°°，°［牙+，【解析】【分析】1当〃为真命题时，/0求解即可；2当命题《为假命题时，△求解即可；3先求出命题〃与命题4均为假命题时加的取值的范围，再求出补集即可求解⑴若命题〃为真命题，则/=4m2+12〃2V0解得一3v0所以实数〃的取值范围是-30；若命题q为假命题，贝1JA=16m2—40解得一二小二22所以实数〃2的取值范围是；⑶由工2可知命题〃与命题q均为假命题时，则m-31w/或——m—122解得04加；故命题p与命题q中至少有一个为真命题，则20或机2।、所以实数小的取值范围是-80不+8知识点五存在量词与特称命题知识点六全称量词命题的否定知识点七存在量词命题的否定【典型例题】考点一命题的真假判断

1.如果7c2，那么〃是命题.填真或假〃【答案】真【解析】【分析】直接根据不等式的性质即可得出结论.【详解】解因为ac2be2，贝I0所以所以如果的2#那么人是真命题.故答案为真..下列命题是假命题的为（【答案】BCD【解析】【分析】对选项逐一分析，从而确定正确选项.【详解】A选项，若一=一，则工=丁，A正确.%yB选项，若d=i则％=±1B错误.c选项，X=y时，不能得到五=4C错误.D选项，尤=-ly=lxvy但/=）/D错误.故选BCD.若命题〃方程/—3%+2=0有两个不相等的实数根〃为真，求实数a的取值范围.【答案】la〈（且awO}.【解析】【分析】方程qN—3尤+2=0有两个不相等的实数根，说明是一元二次方程，根的判别式大于0进而求出结果.【详解】由题意知，八=（一3）-4x20解得且.，故实数〃的取值范围是且aw0818考点二充要条件的判断.已知qeR则〃1〃是1〃的（）aA.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分又不必要条件【答案】A【解析】【分析】先解不等式再根据充分条件和必要条件的定义即可判断.a【详解】对于不等式可解得1或”

0.a所以1可以推出—1而1不可以推出a\.aa所以是‘工1〃的充分不必要条件.a故选A.已知Q£R则〃40〃是〃/1〃的（）A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件【答案】D【解析】【分析】根据充分与必要条件的概念，举例判断即可【详解】当Q=1时，满足Q〉0但不满足/1；又当=-2时，满足〃21但不满足〃0故〃40”是〃/的既不充分也不必要条件故选D.〃=0〃是关于1的不等式依-的解集为R的（）【答案】B【解析】【分析】取Q=0b=l时可判断充分性；当不等式依-〃1的解集为R时，分Q0670Q=0讨论可判断必要性.【详解】若4=0取人1时，不等式or-121此时不等式解集为0；A+1当〉0时，不等式如一人的解集为-）a./7+1当avO口寸，不等式奴-人21的解集为{x|x}a当q=0且/《一1时，不等式打一〃21=21=/一1所以，若关于1的不等式依-人之1的解集为R则，=

0.综上，〃a=0〃是关于1的不等式ax-b1的解集为R的必要非充分条件.故选B.〃—1〃是〃方程qN+2x+i=o至少有一个实数根〃的（）A.必要不充分条件B.充分不必要条件C.充分必要条件D.既不充分也不必要条件【答案】B【解析】【分析】讨论=00可得〃方程c/+2x+l=o至少有一个实数根〃等价于〃1〃再根据充分条件、必要条件的定义即可得出结果.【详解】当=0时，方程即为2x+l=0解得x=—J；当qwO时，八=2-

4.20得41；所以〃方程/+2工+1=0至少有一个实数根〃等价于〃aVl〃〃”T〃能推出“方程加+2x+l=0至少有一个实数根〃，反之不成立；所以〃-1〃是〃方程办2+2x+l=0至少有一个实数根〃的充分不必要条件.故选B..王昌龄《从军行》中两句诗为〃黄沙百战穿金甲，不破楼兰终不还〃，其中后一句中〃攻破楼兰〃是返回家乡〃的A.充分条件B.必要条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件【答案】B【解析】【分析】〃返回家乡〃的前提条件是〃攻破楼兰〃，即可判断出结论.【详解】“返回家乡”的前提条件是“攻破楼兰，故〃攻破楼兰〃是〃返回家乡〃的必要不充分条件故选B.

6.2020年11月13日，中共中央总书记、国家主席、中央军委主席习近平来到扬州考察调研.在运河三湾生态文化公园，习近平听取大运河沿线环境整治、生态修复及现代航运示范区建设等情况介绍，沿运河三湾段岸边步行，察看运河生态廊道建设情况，了解大运河文化保护传承利用取得的成效.在码头，习近平同市民群众亲切交流，称赞扬州是个好地方〃.这里的〃扬州〃是〃好地方〃的什么条件A.充分条件B.必要条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件【答案】A【解析】【分析】根据充分性和必要性的定义，结合题意，即可容易判断.【详解】根据题意，〃扬州〃一定是〃好地方〃，故满足充分性；但是〃好地方〃，无法得出一定是〃扬州”，故不满足必要性；综上所述〃扬州〃是〃好地方〃的充分条件.故选A..若〃-1VXV1〃是“-1〈犬-加〈1〃的充要条件，则实数机的取值是.【答案】0【解析】【分析】根据充要条件的定义即可求解.【详解】-1x-m1^m—1xm+l则{x|-lxl}={x|m—\xm+\]即《=根=

0.[m+l=1故答案为

0..若不等式的一个充分条件为-2x0则实数的取值范围是.【答案】«2【解析】【分析】根据含绝对值不等式的解法，求解不等式的解集，结合充分条件，列出关系式，即可求解.【详解】由不等式当0时，不等式|刘的解集为空集，显然不成立；当Q0时，不等式|x|Q可得一要使得不等式|x|Q的一个充分条件为—2x0则满足{X|-2xv0}q{x|-XV}所以—22—，即22团实数〃的取值范围是

22.故答案为a”.设1VxV3P m+lx2m+4meR.若夕是仪的必要条件，则机的取值范围是.【答案】4;，【解析】【分析】记的解集为Am+lWxW2加+4的解集为因为夕是的必要条件，所以4口3讨论3=0BW0两种情况，利用包含关系得出机的取值范围.【详解】记lx3的解集为Am+l〈x2〃2+4的角军集为3因为夕是a的必要条件，所以A=8当B=0时，即mV-3不满足A口3；772+12m+4当时，要使得AqB则[加+11解得一〈机K022m+43故答案为卜;，乙

13.已知集合4={工|〃-1142+3}B={x\-\x4}全集U=R.⑴当=1时，求CuAcB；⑵若“了£夕是xeA〃的必要条件，求实数〃的取值范围.【答案】lQAnB={x|-lx0}2av-4或【解析】【分析】1根据补集与交集的运算性质运算即可得出答案.2若〃xwb〃是〃A〃的必要条件等价于Aq反讨论A是否为空集，即可求出实数的取值范围.1当々=1时，集合A={x[0Kx5}GA={x|x0或15}QAnB={x|-lx

0.⑵若〃工£夕是xeA〃的必要条件，则1当A=0时，ci—\2a+3**•ci-4；

②Aw0则qNY且〃一12-12〃+

34.-.06/

1.综上所述，-4或

14.已知x—20夕以一40其中々ER.⑴若〃是4的充分不必要条件，求实数的取值范围；⑵若〃是夕的必要不充分条件，求实数的取值范围.【答案】

（1）（2+00）⑵2）【解析】【分析】Q0

（1）由题意可得A是以所以4c从而可求出实数的取值范围，一2

（2）由题意可得B麋4然后分=00和0三种情况求解即可⑴设命题p A={x\x_20}即p A={x\x2}9命题q B-{x\ax_40}因为P是^的充分不必要条件，所以A是.a0即《4c解得〃2一2la所以实数〃的取值范围为（2+8）⑵由

（1）得p A={x\x2}q B-{x\ax_40}因为〃是4的必要不充分条件，所以距4

①当用0时，B=0满足题意；

②当〃0时，由得一.2即0a2；.a

③当a0时，显然不满足题意.综合

①②③得，实数的取值范围为［，2）命题真假若p则为真命题“若P，则为假命题推出关系条件关系p是q的充分条件q是p的必要条件〃不是4的充分条件夕不是p的必要条件全称量词所有的、任意一个、一切、每一个、任给V全称量词命题含有全称量词的命题形式“对M中任意一个心布px成立，可用符号简记为一⑴”存在量词存在一个、至少有一个、有一个、有些、有的符号表示存在量词命题含有存在量词的命题形式“存在M中的个xo使pxo成立可用符号简记为“运二必3曲广全称命题p~P结论V%£Mpx3xjpUo全称量词命题的否定是存在量词命题存在量词命题p存在量词p结论3%0pxo存在量词命题的否定是全称量词命题。