第07讲不等式的基本性质（解析版）

第07讲不等式的基本性质…【学习目标】

1.能用不等式组表示实际问题的不等关系.

2.初步学会作差法比较两个实数的大小.

3.掌握不等式的基本性质.

4.运用不等式的性质解决有关问题.【基础知识】知识点一两个实数大小的比较14人=〃一/70；2—b^^ci—Z=0；3ab^a—b

0.知识点二等式的性质性质1如果a=b那么b=a；性质2如果Q=/b=C那么Q=C；性质3如果a=b那么a±c=b±c；性质4如果a=b那么ac—bc；Z7h性质5如果=A今0那么lx知识点三不等式的性质注意这些性质是否可逆易错点性质1如果cob那么ba\如果ba那么.即aboba.性质2如果abbc那么ac即abbc=ac.性质3如果ab那么a-\-cb-\-c.性质4如果abc0那么acbc\如果abc0那么acbc.性质5如果abcd那么a-\-cb-\-d.性质6如果abQcd0那么acbd.考点一实数式的比较大小【答案】C【解析】【分析】由不等式的性质求解【详解】2Va3—2v〃v—1故42a6\-b2得5v2a-）v8故选C.铁路乘车行李规定如下乘动车组列车携带品的外部尺寸长、宽、高之和不超过Me日设携带品外部尺寸长、宽、高分别为、b、c（单位cm）这个规定用数学关系式可表示为（）A.a+b+cMB.a+b+cMC.a+b+cMD.a+b+cM【答案】A【解【分析】根据长、宽、高的和不超过Me机可直接得到关系式.【详解】长、宽、高之和不超过Mevn:.a+b+cM.故选A..下列命题中，正确的是（）A.若abcd则a-cb-dB.若ab则ac/cnhC.若〃b0cd0则一-D.若ab则片〃dc【答案】C【解析】【分析】根据不等式的基本性质及特殊值一一判断即可.【详解】解对于A当a=lh=09c=-ld=-2满足cd但是a-c=〃一d=2故4错误；对于B当c=0时qc=〃c=0故3错误；对于C由cd0所以L〉〉，因为所以二〉2故正确；clcac对于当a=l6=-1满足但是〃2=〃，故错误；故选C.若A/uY+y+in=2x+-1则A/与N的大小关系为A.MNB.MNC.M=ND.不能确定【答案】B【解析】【分析】利用作差法判断大小即可【详解】因为A/—N=x+y2+l—2x+y—1=x+y2-bl-2x-2y+2[2:8]所以A/N故选B.十六世纪中叶，英国数学家雷科德在《砺智石》一书中首先把“=”作为等号使用，后来英国数学家哈利奥特首次使用和“”符号并逐渐被数学界接受，不等号的引入对不等式的发展影响深远，若〃，乩cwR则下列用不等号表示的真命题是A.〃/0且々/2则，B.若OvqvI则/qahC.若〃〃O则^^2D.若cbaacvO则他2va02a+\a【答案】c【解析】【分析】根据不等式的性质逐一判断即可.【详解】对于人当，=-22=1不等式不成立，故错误；11对于以取，=彳，故错误；A-4-1对于C因为b0所以Qb+QczZ+b即〃（b+l）优q+1）两边同时除以（+1）得——+1确；对于，当人=0不等式不成立，故错误.故选C.（多选题）

8.若则下列不等式一定成立的是（）bb-1八bZ+l-bZ+lA.-——B.-——C.-——aa-\atz+laa+\【答案】BD【解析】【分析】利用作差法对四个选项一一比较，即可得到正确答案.【详解】对于人因为所以一

10.所以2=返半”=aa-\a\a-\\a\a-\\对于

5、C因为所以〃+l

0.对于D因为所以_L—1二0所以故0正确.ababab故选BD（多选题）

9.已知bc满足且acvO则下列选项一定成立的是（）acb八b-anb-a2八a-cnaacccetc【答案】ABD【解析】【分析】分析的符号，由不等式的基本性质对选项逐一判断【详解】cha且qcvO可得cv0a0Ch对于Acha09故一一A正确aa对于5bac003正确c对于C匕的符号不确定，无法比较，故C错误对于，caa0c0故^0正确ac故选ABD

10.已知=£一1q=2x2-x则PQ.（填土或v”）【答案】【解析】【分析】作差判断正负即可比较.【详解】【解析】【分析】根据不等式的基本性质和实数的性质，逐个推理运算，即可求解.【详解】

（1）中，因为的符号不定，所以无法判定和A的大小，故原命题为假命题;

（2）中，因为所以工0可得/（）故原命题为真命题；\ah\ah3中，因为所以必，又因为《所以次[a0[Z0综合可得/必〃，故原命题为真命题.4中，根据实数的性质，两个负实数，绝对值大的反而小，故原命题为真命题.5中，因为人且，〉]，所以Q—人〉0且，—!0ababh—ci所以人一0且0可得qZvOab又因为所以故原命题为真命题..设=逐+2，b=3+M则，万的大小关系为.【答案】ah【解析】先分别将1平方，再进行大小比较即可.【详解】〃=6+2，匕=3+痴两式的两边分别平方，可得c/=13+4«LZ2=19+6710显然所以〃/.故答案为ab【点睛】此题主要考查了无理数的大小的比较，比较两个实数的大小，可以采用作差法、取近似值法、比较平方法等.属于基础题..1比较3f_x+i与北+工-1的大小；2已知cq/求证qb.c-ac-h【答案】13Y_x+12Y+x_1；2证明见解析.【解析】【分析】1求差法进行大小比较即可；2求差法去证明即可解决.【详解】1由3x-x+1-2工2+x—1j=x—2x4-2=x-1+10[3:c-ac-b，c-ac-b

14.已知《釉I，求一的取值范围.・小生、71oc—B八][4:【答案】—--^0][5:3【解析】【分析】先求出彳，一，的取值范围，结合a-分即可求解.【详解】][6:71a7171P71][7:一—，一，][8:36636Z1_4TCCC—B71两式相加得-4—又・.a，

15.设/—q2且b+4—31求2q+3/7的取值范围.【答案】（11]【解析】【分析】利用独立变量的性质即可求解.【详解】解设根=〃-〃，n=b+a-3贝ij〃2二2a1n-m+3〃+根+3/.a-D-.]可得3x-x+l2a:2+x-

1.abac-〃一〃c-qa-bcc—ac—bc——Z7c—qc—bcab0a-b0c-a0c-b0a-bc.ahD1ID，2a+3b=〃+—m+—

11.

222.•.2a+3的取值范围是2a+3/£—ocl1].

16.1试比较x+lx+5与x+3『的大小x2已知一2x—l2Vy43求1—，，一的取值范围.yX1【答案】1证明见解析；⑵—5X—3；y3【解析】【分析】1作差法证明；2利用不等式的性质直接计算可得.【详解】1因为x+lx+5-x+3『=jc+6x+5-x2+6x+9=-40所以x+lx+5x+3『.2因为2y3所以—3一2所以一5一”一3；因为一2x-12y3所以1一%«23y2所以;所以一土一3y3\/6—\/5【解析】【分析】由于灰-石=1岔-2=空三所以比较两分母的大小即可V6+V55+2【详解】所以^6—\[5/5—

2.故答案＜考点二利用不等式的性质判断命题的真假例

2.（多选题）

1.下列命题为真命题的是（）A.若一2vav3』v/v2贝iJY＜q-Z＜2B.若a/〉儿，贝U＞人mmC.若人＜＜0根＜0则竺〉竺ahD.若a＞bc＞d则【答案】ABC【解析】【分析】对于A利用同向不等式相加，即可证明；对于B、C利用不等式的可乘性可以证明；对于D取特殊值，=21=l;c=-2d=-3即可否定结论.【详解】对于A因为lvb＜2所以一2v—b＜—

1.因为-2vqv3利用同向不等式相加，则有-

4.故A正确；对于B因为a/〉尻2所以所以±＞，对42〉儿2两边同乘以i，则有.故B正确;一乙一乙对于C因为hQ0所以■.ab因为根0所以一根〉

0.II—m—mmm对两边同乘以一〃z有上乎，所以.故c正确；ababab对于D取q=21=l;c=-2d=—3满足Q0cd但是ac=-4bd=—3所以不成立.故D错误.故选ABC考点三利用不等式的性质证明不等式1求证a+la+5q+32；2求证+Z

2..2+/-

1.【答案】1证明见解析；2证明见解析.【解析】【分析】1利用作差法即证；2利用作差法即证.【详解】;q+16/+5-tz+3~=q+6a+5-+6a+9=-4v0•*.tz+13+5a+3；Q+b~-2i+/-1=4—2a+1+仅——2b+1=^-l2+/-l

2..O当且仅当Q=〃=l时等号成立，.二a+〃

2..2q+人一］.考点四利用不等式的性质求范围例

4.1已知2x32y3求工一丁和7的取值范围;2已知2x+y4-lx-y3求3x+y的取值范围.2%3【答案】⑴-Ix-^1t-77;233x+yll.3y2【解析】【分析】1根据不等式的性质求解2由待定系数法配凑后求解【详解】12y3一3一2乂2Vx3-1x—y1即3x+y=2x+y+x-y而42x+48-lx-y333x+y11MB【真题演练】.已知abcd下列选项中正确的是A.a+db+cB.a+cb+dC.adbcD.acbd【答案】B【解析】【分析】用不等式的基本性质得解.【详解】Q32l0但3+0=2+13xO2xl

4、错Qabcdacbd所以a+cZ+d.B正确.Q302-1-2但30x-12x—2D错.故选:区

2.古希腊时期，人们认为最美人体的头顶至肚脐的长度与肚脐至足底的长度之比是叵［（史二1=

0.61822称为黄金分割比例），著名的“断臂维纳斯”便是如此.此外，最美人体的头顶至咽喉的长度与咽喉至肚脐的长度之比也是叵.若某人满足上述两个黄金分割比例，且腿长为105cm，头顶至脖子下端的长度为26c72则其身高可能是【答案】B【解析】【分析】理解黄金分割比例的含义，应用比例式列方程求解.【详解】设人体脖子下端至肚脐的长为工0小肚脐至腿根的长为则生=至上土=避二二得x），+1052x

242.07cmya

5.15cm.又其腿长为105cm头顶至脖子下端的长度为26c〃所以其身高约为

42.07+

5.15+105+26=

178.22接近175九故选人【点睛】本题考查类比归纳与合情推理，渗透了逻辑推理和数学运算素养.采取类比法，利用转化思想解题.

3.已知〃泊为非零实数，且q，则下列命题成立的是A.a1b2B.ab2a2bC.--yD.——ab~aoab【答案】C【解析】【详解】ab09o一一hci\hci若〃b0则q2/2A不成立；若｛=4切/3不成立；若q=lb=2则一=2不==一二所abablab以D不成立，故选C.\a2+h+c\+\a+h2+c\1【答案】D【解析】【分析】根据不等式的性质即可求解.【详解】解因为0vxv40y6所以Ov2xv8-6-y0所以-62x-yv8所以2x-y的取值范围是-68故选D.

7.已知abx=a3-by=a2b-a则兀丁的大小关系为A.B.xyc.x=yD.无法确定【答案】B【解析】【分析】作差可得x-y的表达式，根据题意，分析可得x-y的正负，即可得答案.【详解】x—y—cr—b—々2/7+Q=a—因为人，所以一力0又〃+io所以一切+1，即xy.故选B

8.已知一l〈x+yv4且2x—y3则z=2x—3y的取值范围是答案用区间表示【答案】38【解析】【分析】根据不等式的性质，求得待求量的范围.【详解】设z=2x-3y=Qx+y+〃x-y1a=——2，即2=b=-2b-40——13J解得57cb+4/

34310.设2q71Z2求a+3b2a—b/的范围.b【】5Va+3bvl3226—Z131—7b【解析】【分析】根据不等式的基本性质，先求出，+3g27的范围，再由可乘性得畤的范围即可.【详解】4v2q143v3bv6—2—b—1——12hA56Z+3Z1322t7-Z13故5va+3〃vl322a-b\31—

7.b【过关检测】.如果那么（）【答案】C【解析】【分析】举例判断AB错误，再证明C正确.【详解】由已知可取=一31=一2=，则a2=9Z2=4a2b2错因为Q/70所以出70/一〃0「一…11b-a八11_.所以7=——0故—C对，ababab故选C..如果qv/0那么下面不等式一定成立的是A.a-b0B.acbeC.a2b2D.—yab【答案】C【解析】【分析】根据不等式的性质依次判断即可.【详解】若人0则一60故A错误；若Qbv0c0则ac/c故3错误；若人0则标〉/故C正确；若avb0则〉，，故错误.ab故选C.

3.已知2v”3-24v-1则2a-b的取值范围为（）A.02B.25C.58D.67。