第01讲集合（解析版）

第一讲集合的概念与表示【知识梳理】

1.元素与集合1集合i般地，一定范围内某些确定的、不同的对象的全体构成一个集合.通常用屿拉丁字母来表示集合.2元素集合中的每一个对象称为该集合的元素简称元.通常用小写的拉丁字母来表示.3元素与集合间的关系□若是集合力的元素，就记作Q读作“属于口若不是集合力的元素，就记作皿或运1，读作为不属于

4.4集合中元素的特征确定性、无序性、互异性.5常见数集6集合相等的概念如果两个集合所含的元素完全相同即A中的元素都是B的元素，B中的元素也都是A的元素，那么称这两个集合相等.

2.集合的表示法⑴列举法:将集合的元素一一列举出来，并置于花括号不‘内，元素之间用逗号分隔，这样表示集合的方法称为列举法.2描述法:将集合的所有元素都具有的性质满足的条件表示出来写成回曲11的形式，这样表示集合的方法称为描述法.［教师点拨］1使用列举法表示集合应注意以下问题口元素之间用“，”隔开；口元素不能重复；口元素没有顺序.2使用描述法表示集合应注意以下问题□写清楚该集合中元素的代号用字母表示的元素符号匚说明该集合中元素的性质；

3.集合的分类按照集合中元素的多少，集合可以分为有限集和无限集.1含有有限个元素的集合叫作有限集;当一1=一2时，a=-l此时a—l=2小+5+1=-2不符合集合元素的互异性，故舍去；当2q2+5q+1=—2时，解得a=—玄a=—1由上可知=-1不符合集合元素的互异性，舍去，当a=V时，4={_}_2用，符合题意故Q=2由于力中有两个元素，••・关于x的方程”2一3%-4=0有两个不等的实数根，.-.4=9+16a0且q*0即a——且q

00.16故实数Q的取值范围是{a|a一看*

0.

18.已知力={%|a%2+2%+1=0awR}.1若1£4用列举法表示42当A中有且只有一个元素时，求a的值组成的集合

8.【答案】解A={x\ax2+2x+1=0ae/}.1当1eA时，则1是方程a%24-2X+1=的实数根•••a+2+1=0解得Q=-3；.••方程为-3/+2x+1=0解得x=1或x=••={1，-斗2当a=0时，方程a/4-2x+1=0为2x+1=0解得％=A={_}；当qH0时，若集合A只有一个元素，由一元二次方程aM+2无+1=0有相等实根，.•.判别式4=4-4a=0解得Q=1;综上，当Q=0或Q=1时，集合力只有一个元素.所以a的值组成的集合8={01}.2含有无限个元素的集合叫作无限集.3不含任何元素的集合叫作空集，记作旦.［教师点拨］｛0｝和□不是同一个集合，｛0｝中含有一个元素0而口中没有任何元素.【典型例题】考点一集合的概念.下列给出的对象中，能构成集合的是A.一切很大的数B.无限接近0的数C.聪明的人D.所有的直角三角形【答案】D【解析】【分析】本题考查了集合的含义的相关知识，试题难度容易.【解答】解对于选项A一切很大的数；B无限接近零的数；C聪明的人，但是描述不够准确具体，元素不能确定，所以都不正确；选项D所有的直角三角形，元素是确定的，具体的，是正确的.故选D..下列对象能组成集合的是A.中央电视台著名节目主持人B.我市跑得快的汽车C.上海市所有的中学生D.香港的高楼【答案】C【解析】【分析】本题考查r集合的含义的相关知识，试题难度容易.【解答】解对于a“著名”无明确标准；对于B“快”的标准不确定；对于D“高”的标准不确定，因而4BD均不能组成集合.而对于C上海市的中学生是确定的，能组成集合.故选C.考点二元素与集合的关系.用“E”或C”填空ZnQ2N.【答案】ee【解析】【分析】本题考查了元素与集合的关系的相关知识.结合-3不是整数，万不是有理数，|-2|=2是自然数直接写出结果即可.【解答】解因为一3不是整数，兀不是有理数，|一2|=2是自然数，二―zrCQI-2|6/V.故答案为C任，G..已知集合A由％VI的数构成，则有（）A.3eB.lw力C.OeAD.-l^A【答案】C【解析】【分析】本题考查了元素与集合的关系的相关知识，试题难度容易【解答】解很明显31不满足不等式，而0-1满足不等式，只有C正确.故选C..若/w{01%}则％=.【答案】-1【解析】【分析】由X2分别等于集合中的元素列方程求解，注意用互异性检验就是了.此题考杳的是元素与集合的关系，属基础题.【解答】解由7=0得3=0违背互异性；由/=1得％=±i其中%=1违背互异性；由/=%得％=0或％=1两者都违背互异性.综上可知x=-

1.故答案为—

1..若q£{1q2—2q+2}则实数q的值为A.1B.2C.0D.1或2【答案】B【解析】【分析】本题主要考查集合中元素的性质.根据条件得到Q=1或q2-2q+2=q结合集合中元素的互异性，即可得到答案.【解答】解当a=1时，有2-2a+2=1违背集合中元素的互异性，故aH1；必有Q2-2a+2=a解得a=1或a=2a=1舍去，故实数Q的值为

2.故选B..设X6R集合4中含有三个元素3xx2-2x.1求元素》应满足的条件；2若一2”求实数%.【答案】解1根据集合元素的互异性可知，%H3久H%2―2%即%0且x3x¥-

1.x2-2%*32vx2-2x=x-I2-1-1又一2”•••x=-

2.【解析】本题考查了集合中元素的性质的相关知识，试题难度较易考点三集合的表示

8.用列举法表示集合卜|/-2%+1=0}为A.[11}B.{1}C.{x=1}D.{x2—2x+1=0}【答案】B【解析】【分析】本题考查了集合的表示法的相关知识，试题难度容易.【解答】解{x|%2-2%+1=0}={x|x-l2=0}={1}.故选B..集合{%y|x+y=6xy6N}用列举法表示为.【答案】{06152433425160}【解析】【分析】本题考查了集合的表示法的相关知识，试题难度容易.【解答】解集合{xy|x+y=6xyeN}={06152433425160故答案为{

06152433425160..下列说法错误的是A.不等式2%-53的解集表示为{%4}B.所有偶数的集合表示为{x[x=2k]C.全体自然数的集合可表示为{自然数}D.方程/-4二0实数根的集合表示为{一22}【答案】ABD【解析】【分析】本题考查了集合的表示法的相关知识，试题难度较易.【解答】解不等式2%-53的解集表示为{x\xV4}故4错误；所有偶数的集合表示为{x|x=2kkeZ故4错误；显然C正确方程/-4=0实数根的集合表示为{-22}故错误.故选ABQ..已知集合力={10-13}B={y\y=\x\xe1}则8=.【答案】[013【解析】【分析】本题考查了集合的含义和集合的表示方法的相关知识，属于基础题.将x=10-13代入y=\x\求y的值，从而可得集合B.【解答】解:因为B={y\y=\x\xGA}当％=1H寸，y=1当x=0时，y=0当x=-1时，y=l当x=3时，y=3所以B=[

013.故答案为{

013..已知集合力={12345}B={xy\xEAyeAx-yeA则B中所含元素的个数为A.3B.6C.8D.10【答案】D【解析】【分析】本题考查了集合中元素的个数问题的相关知识，试题难度较易.【解答】解当％=5时，y=1234；当％=4时，y=123；当x=3时，y=12；当x=2时，y=

1.综上，8中含有10个元素.故选考点四集合相等.已知QERkWR若集合{2，1}={2+40}则於019+82020=（）A.-2B.-1C.1D.2【答案】B【解析】【分析】本题考查列举法表示集合，集合相等的定义，集合元素的互异性.属于中档题.根据{a31}={020+40}可得出3=0即6=0整理后分别讨论，根据元素的互异性可得a=-lb=0代入MO.+/2计算即可.【解答】解•{a，，l}={a2a+bo}又aHO二3=0=6=0{a01}={a0}a2=1=a=+1当=13=0时，{a3l}={LOl}不符合集合元素的互异性，故舍去；当二-1匕=0时，{-101}二口-10}符合题意...

020194.^2020=_r故选从

14.含有三个实数的集合既可表示为{b，0}也可表示为{aa+bl}则a+匕的值为【答案】0【解析】【分析】本题考杳集合的元素的三个特性和集合相等，注意集合中元素的互异性，属于基础题.根据所给的一个集合的两种表示形式，看出第二种表示形式中，只有a+b一定等于0重新写出集合的两种表示形式，把两种形式进行比较，得到Q万的值，得到结果.【解答】解••・集合既可以表示成他30}又可表示成［aa+bl}由于2中aH0所以q+b一定等于0即a+b=0a=—b；-=-1aa在后一种表示的集合中有一个元素是1，只能是b•••b=1•••a=—1二a+b=0故答案为

0.1已知1E{a+2a+l2a2+3Q+3}求实数a的值.2已知{2ab}={2a2b2}求实数ab的值【答案】1解1€{a+2a+12q2+3q+3}.若q+2=1则q=-1集合{a+2Q+l2a2+3Q+3}={l0l}不满足集合的互异性；若a+12=1则a=0或-2集合{a+2a+

1、M+3a+3}={213}或［011}・•・当Q=0时，符合题意；.若小+3a+3=1则a=-1或一2集合{a+2a+l2a2+3a+3}={101}或{011}不满足集合的互异性综上a=

0.2解由题意可得，於二号或{；，解得q=0匕=1或q=0b=0舍，或a=%匕=；.故答案为=0b=1或Q=；、b=；.242【解析】1已知集合{q+2q+12q2+3q+3}三个元素都有可能等于1所以分三种情况，此题主要考查元素与集合的关系以及集合三要素的应用，后面结果必须代入进行验证，这是易错的地方.2此题考查集合相等，考查集合元素的性质及分类讨论，利用集合相等的定义可得方程，从而求出a、b的值，利用元素的互异性检验即可.考点五集合与一元二次方程.已知集合4={x\ax2-3x+2=0}至多有一个元素，则a的取值范围为.【答案】a，或a=0【解答】解

①若集合A中没有元素，即4=，那么方程qM—3%+2=0无解，即aH0且/=一3-8a0所以Q；.8

②若集合A中只有一个元素，那么方程qM—3x+2=0只有一个解.i当a=0时，％，此时力={§满足题意，ii当a0时，4=-32-8a=0所以Q=看，此时力=0，满足题意，综上所述，a=0或Q£.O故答案为或Q=

0..1已知A={a-12q2+5a+1二+1}—2eA求实数Q的值;2已知集合4={x€-3无一4=0}若力中有两个元素，求实数a的取值范围.【答案】解1因为一2€4所以有a-1二一2或2a2+5+1=-2显然a2+1工一2集合自然数集正整数集整数集有理数集实数集记法NN*或N+ZQR。