高一第1讲 集合的概念与表示（教师版）

第1讲集合的概念与表示一.知识精讲知识点一集合的概念一般地，某些指定的对象组合在一起就成为一个集合set简称“集”.一般用大括号表示集合，如｛我们学校的篮球队｝.知识点二常见集合及其记法1自然数集非负整数集全体非负整数的集合，记作四.2正整数集自然数集内排除0的集合，记作区或N+.3有理数集全体有理数的集合，记作Q.4实数集全体实数的集合，记作区.5整数集全体整数的集合，记作且.知识点三集合与元素的关系我们把集合中的每个对象叫做这个集合的元素.集合中的元素常用小写的拉丁字母…表示，而集合则用大写的拉丁字母A3C……表示.1属于如果是集合A的元素，就说a属于A记作aeA2不属于如果不是集合A的元素，就说〃不属于A记作aeA注意与｛a｝不同表示一个元素｛｝表示一个集合该集合只有一个元素.知识点四集合中元素的特性1确定性是指集合中的元素是确定的，即任何一个元素都能明确它是或不是某个集合的元素，二者必居其一，它是判断一组对象是否形成集合的标准，如“高个子同学”，“高个子”便是一个含混不清的概念，具有相对性，没有统一的标准，不确定.2互异性是指给定一个集合的元素中，任何两个元素都是不同的因而在同一个集合中，不能重复出现同一个元素.3无序性是指集合与其中元素的排列顺序无关只要构成这两个集合的元素一样，就称这两个集合相等.知识点五集合的芬美按集合中元素的个数可分为以下几类1有限集含有有限个元素的集合如中国古代的四大发明组成的集合；2无限集含有无限个元素的集合，如:所有自然数组成的集合；3空集不含任何元素的集合用0表示，如方程f+l=O的解构成的集合.知识点六集合的表示方法1列举法把集合中的元素一一列举出来，写在大括号内表示集合的方法.如由方程％2—1=0的所有解组成的集合可以表示为{-11}.2描述法用确定的条件表示某些对象是否属于这个集合，并把这个条件写在大括号内表示集合的方法.格式{%wA|P%}.如所有的直角三角形的集合可以表示为{x|x是直角三角形};{x\x-32}；{xy|y=/+i}.3图示法维恩图用一条封闭曲线的内部表示一个集合的方法.二.经典例题题型一集合的蕊【例1】判断下列对象能否组成集合

①高一1班成绩较好的同学；

②2022年度诺贝尔经济学奖获得者；

③立方接近0的正数；

④2022运动会比赛项目；【答案】

①③对象不能组成集合；

②④能组成集合.题型二集合中元素的特征【例2】若—3e{“—32—1/—书，求实数的值.【解析】■/—3£一32a—1—4—3=a—3或一3—2a—1或一3——

4.若—3=4—3则=

0.•.集合为{—3—1—4}符合题意若一3=2a—1则〃=—1集合为{—4—3—3}不符合元素的互异性，故a=—1舍去若—3=4—4则=1或〃=—1舍去・・・集合为{—21—3}符合题意.综上知4=0或=

1.【变式】集合{%-1/-12}中的X不能取的值有个.【解析】根据集合元素的互异性得X—1W2且V—1W2即xwOl3—共5个【例3】已知M={2〃/}N={2d2〃}且〃=N试求力的值.a=2av[a=b2b-b1b=2aX.b=iA【变式】已知QER/gR若{〃一』}={/〃+4}则217+〃2017=a【解析】由已知得色=0及〃

0.\h=

0.\a2=1:.a=±l9又根据集合中元素的b互异性知=1应舍去，・・・=—1故答案为—

1.题型三集合的表示方法【例4】下面三个集合

①{x|y=%2+]}

②{=/+1}

③{（xy）|y=/+1}.问

（1）它们是不是相同的集合？

（2）它们的各自的含义是什么？【解析】

（1）不是相同的集合.

（2）集合

①是函数＞=/+1的自变量工所有允许值组成的集合{幻丁=%2+1}=r；集合

②是函数y=/+1的所有函数值的集合，{|=12+]}={

[2]}；集合

③是函数y=f+i图象上所有点的坐标组成的集合..•・所组成的集合为{0T4}.故应选D.题型四集合与元素的关系【例5】设集合B={x£N|4-£N}2+x1试判断元素1和2与集合8的关系；2用列举法表示集合.AAW【解析】1=2eNB又二」色N:.2史B2+12+222当2+尤=23或6时，x=Ol或4-^—eN2+x【变式】设集合8={〃一£N|xeN}用列举法表示集合2+x【例6】若数集A满足若4£A4W1，则」一求证:1—1若2eA则c中另有两个元素；2集合A不可能是单元素集；3集合A中至少有三个不同的元素.【解析】1若26A则一即一IeA1-2若一IeA则一!一eA即，£人故另有两个元素.1--122若集合A中仅有一个元素〃qW1则」一eA若二1-a即〃+1=0该方程无解，因此集合A不可能是单元素且aw——1—ci1CL—\；-=eAj_La1-a故当awl且时，A中至少有三个元素【变式】已知集合A的元素全为实数，且满足若A则匕SeA.G.1若a=2求出A中其它所有元素；20是不是集合4中的元素？请你设计一个实数“eA再求出A中的所有元素？3根据12你能得出什么结论.【解析】本题考查的知识点是元素与集合关系的判断，其中根据已知中若awA则将已知条件代入进行递推是解答本题的关键，在3的解答中易忽略使1-6Zl±g仁!，_]_三式均有意义时，对a的限制，而不能得到满分.\-aa+1a1由2^A则匕2=—3eA又由一3$A得匕3=—A再由一，£A1-21+322I111「5111+q11得一W二-eA而一wA得一号=2eA故A中元素为2—3——，—.―1331123230不是A的元素.若OcA则匕9=1eA而当IeA时，匕应不存在，故01-01-a不是A的元素.取3可得A={3—2—；%3猜想

①A中没有元素—101；

②已知A中的一个元素可得其余3个，且每两个互为负倒数.

③A中元素个数为4的倍数.设q£A4w—101则q£4n1+4=%£An%=1+=———eA1—a11—aQ]]+Cl1_]1+=%==—£A=%==q£A且4%=a2a4=.-%6Zj+11—%显然qw2，4%.若4=%，则4=1+—得4=_1无实数解.・.〃尸生.\-ax同理，的％，4%，3%.故4，2，3，〃4四个互不相等的数.故A中的元素个数为4的倍数.题型五集合中的新定义问题[例7]已知A={123}1={24}定义集合A3间的运算A*3={X|X£A且x^B}则A*5等于.A.{123}B.{24}C.{13}D.{2}【答案】C.【变式】集合“由正整数的平方组成，即知={1491625…}若对某集合中的任意两个元素进行某种运算，运算结果仍在此集合中，则称此集合对该运算是封闭的，M对下列集合运算封闭的是A.加法B.减法C.乘法D.除法【答案】C.【解析】排除法；1+4=5e；1—4=—3任〃；1+4；排除ABD4若x=y=b2eMz=xy=ab2eM；故选C.题型六综合应再[例8]已知集合A=[x\x2+px+q=x}集合B={X|x-12+-1+=x+3}当4={2}时，求集合9—t[l—p=4[p=—3【解析】A={2}.・./+〃一ix+9=o只有一个根q=4[q=4Bx2-6x+5=}即5={15}[例9]已知集合A={xwH|a/一3%+2=0wH}.1若A是空集，求的取值范围；2若A中只有一个元素，求的值，并把这个元素写出来；3若A中至多只有一个元素，求的取值范围.2【解析】1若A是空集，则方程改2—3x+2=0无解，当〃=0时，X=—不满足3要求.9当时，此时4=9-8〃＜0即＞一.故的取值范围82若A中只有一个元素，则方程依2-3x+2=0有且只有一个实根.当〃=0时，oax=—满足要求，当时，△=9-8＜0即a=—.故=0或〃=—883若A中至多只有一个元素，则A为空集，或有且只有一个元素，由

1、2得9满足条件的的取值范围是4=0或42—.8【例10]集合A={x\x=3n+\n^Z}B={x\x=3n+2n^Z}M={x\x=6n+3n^Z}1若问是否有a£A£B使m=+人成立？2对于任意QE£3是否一定有+人=根且根£A1证明你的结论.【解析】1由m=6k+3=3k+l+3k+2{kgZ令a=3%+1/=3%+2贝!J/%=a+b.有aeAbeB使m=a+b成立.2不设a=3Z+=3/+22/wZ贝+b=3左+/+

3.所以当k+l=2PpeZa+b=6p+3eM此时a+b=相且加£加，满足要求.当k+2=2p+lpeZa+b=6p+6M此时不满足要求.【拓展】已知集合人={%|工2+〃々+1占£尺}.是否存在实数〃，使得集合a中所有整数的元素和为28若存在，求出，若不存在请说明理由.【答案】VA={x|x-«x-l0}当〃1时，A=[x\ax\}9不符合要求；当时，A={x\lxa}设〃+neN*则1+2+3+・・・+〃=”伍+1=28所以几=7即〃£[782课后作业一.基础过关.下列各条件

①充分接近〃的实数的全体；

②大于0小于20的自然数的全体；

③实数中不是有理数的所有数；

④数轴上到原点的距离大于2的点的全体.其中能确定一个集合的是A.

①②③B.

①②④C.

②③④D.

①③④【答案】C.【解析】1不是集合，因违背了集合元素的确定性，其余的均为集合，符合集合元素的确定性，互异性，无序性等特征..用符号e或色填空2a/3{x\x4li}6{x\x=n2+lneN}-24{%y\y=x2}【答案】26代{x\x411};6{x\x=n2+lAieN}；-24_e{xy\y=x2}..下列各组集合表示同一集合的为〃={12}N={21}M={12}N={21}M=3y=x_lx£R}N={y|y=xTx£N}M={xy|==l}N={Qy|y—l=x—2}x-2【答案】B.【解析】答案A中，集合和集合N均有唯一的一个点，但12w21；答案C中，M=R;N={-1}j{x\xgN}；答案D中，集合M为直线y=x—1上除去21的点，集合N为直线y=x—1上的所有点.集合{%y|%+22+上一3|=0%yeR}=.【答案】{-23}【解析】x+2『+|y—3|=0当且仅当x+2=0|y—3|=

0.・.x=—2y=3故为{-

23..集合A={—12}集合+且A=则有（）A.a=lb=2B.a=lb=—2C.a=—1Z=2D.a==—2【答案】D.【解析】由题意知（x+l）（x-2）=x2-x-2=x2+ax+b；:.a=-l;b=-

2.二.延伸拓展

6.设一5w{%|%2一4工一5=0}则集合{工|工2一4工一4=0}中所有元素之和为.【答案】

2.［解析］.-5e{x|x2-6zx-5=O}t2=-4;{x\x2-4x-a=Q}={2}

7.对任意两个正整数机〃，定义某种运算（用

（8）表示运算符号）当牡〃都是正偶数或都是正奇数时，m0n=m+n；当屋中有一个为正奇数，另一个为正偶数时A2区〃则在上述定义下集合A/=位人=20/£AT}中的元素个数（）A.21B.22C.23D.24【答案】C【解析】当力都是正偶数时，有（2/8）

（416）

（614）

（812）

（1010）

（128）

（146）

（164）

（182）共9个.当a/都是正奇数时，有

（119）

（317）

（515）

（713）

（911）

（119）

（137）

（155）

（173）

（192）共10个.当〃力中有一个为正奇数，另一个为正偶数时，有

（120）

（45）

（54）

（201）共4个综上，中共23个元素.。