高中教学：专题5 端点效应（教师版）

专题5端点效应口知识梳理导数近年来一直是高考数学压轴题的考查内容，导数中的含参恒成立问题又是重中之重.解决含参恒成立问题的通法是

①分类讨论求最值，

②参变分离.试题的设计者经常会让含参不等式在区间的端点刚好成立，从充分性考虑，借助其导函数的正负得到参数的范围，再证明其必要性得到最终范围.这就是“端点效应.端点效应就是关注特殊，从特殊入手，此处的特殊就是“区间端点满足的特殊关系”，具体来说，端点效应的问题有以下几种类型类型

1.若（含参数“）在XG[〃词（加，”为常数）恒成立，且〃〃2）=0或〃〃）=0则有了（小0或/⑺W

0.特征区间端点函数值为

0.则有广（根）2或广（〃）《.特征区间端点函数值为0且导函数值也为

0..“端点效应”的运行原理与步骤从数学逻辑来讲，通过端点效应初步得到的参数的取值范围，并不一定是最终的范围，这个范围是必要性的，我们还要证明其充分性.当然我们非常希望这个范围就是最终的范围，所以讨论其他范围时，能得到矛盾，从而最终的参数取值范围只能是端点效应得到的范围.从本质上说，端点效应实际上是一个分类讨论的“模板”，便于我们更精准的找到分类的标准.这个分类讨论还有一个特殊性，即只有一个范围是符合题意的，其余范围只要寻找矛盾即可，我们称这些不符合题意的范围之“矛盾区间”.恒成立求参数范围的问题，经常会用参变分离，转化为“不含参函数”的最值.端点效应问题，如果用参变分离的方法，总会出现要运用“洛必达法则”求函数的最值，洛必达法则在本专题中不赘述.接下来我们用一些高考题来进行具体的说明端点效应的运行逻辑以及书写规范.口例题讲解例题12007全国1理设函数〃x=e”-er若对所有工之都有以，求的取值范围.答案4G—02].解析步骤1:构造函数，符不符合端点效应的基本特征令gx=/x—〃x则，x=e+e—〃.注意到g0=0g10=2-a步躲2:借助导函数单调性，利用端点确定参数范围必要性缩小范围

①当a2时，g\x=ex+ex-a2-a0所以gx在[+8上单调递增，则gx之g=即/X—办20对所有X20恒成立；步骤3:对矛盾区间进行分析，找到矛盾，进而确定最终范围充分性证明范围

②当q2时，ga=e+eT—a则gx=e*—e—”2x0所以gx=e+匕

一、—在[0+8上单调递增，又g⑼=2-，a=L0a所以存在唯一X£，Ina使得正％=0即当工£[0/时，gx0则gx单调递减，此时gx〈gO=，与题意矛盾，故不符.综上所述，4一82].点评本题抓住端点处函数值为0符合端点效应的基本条件，由于条件是要保证“gx”对[0+8恒成立，又gO=O如果gx单调递增，则必符合题意；接下来是比较灵活的地方讨论矛盾区间.目标是寻找矛盾，进而证明了最终的参数范围是上面端点确定的范围.要注意的是，矛盾区间的处理，也可能还需进一步细分讨论，视题目复杂程度而定.例题22010新课标理设函数/x=e、-1-x-ar若当xNO时〃工20求的取值范围.上…广答案aw-oo-.解析步骤1:构造函数，符不符合端点效应的基本特征、[/0=0fx=ex-1-x-ax-0且｛则fx=-1一2以，f\x=ex-2a\J0=0步骤2:借助导函数单调性，利用端点确定参数范围必要性缩小范围fx在[+8单调递增，f\x/O=\-2a

①当1—2々2，即〃wg时，/X单调递增，所以尸x2/0=0得了x在［收单调递增，/x/0=0符合题意.步骤3:对矛盾区间进行分析，找到矛盾，进而确定最终范围充分性证明范围

②当1—2々0即时，令/x=0得x°=ln2a，IJIlJ当x«0/n2a时，/x单调递减，八x/0=，/x单调递减，则/x/0=0不满足题意.综上所述的取值范围是1-

81.点评本题端点效应类型2/0广0同时为0思路和类型1的思路基本一致，唯一的区别是要先由广司的单调性确定广力的正负，最终确定的单调性，结合端点处的函数值，解决问题.einx例题32008全国2理设函数/=丁，如果对任意x20都有/%依，求的取值范2+cosx围.片…1答案+8・.37sinX2cos丫+1I解析设gx=公—丁——x0贝iJgx=Q—k一3，注意到g0=0^0=^--2+cosx2+cosx-3

①当时，由于=2cosx+2-3=-3+27——一一一1』2+cosx/2+cosx『2+cosx\2+cosx33[_3」所以gx在x«0+8上是增函数，从而gx2g0=，即成立；，兀、711

②当々0时，由于g-=-a--0不符合题意；八1q、”兀、z、sinx人/、sinx，/、cosx3^-cosx3当0〃一时，当xe0—/ixax，令rx=oxrx=a=3\2J33331/\\令/=〃0/0=a0/x在0-上单调递增，所以存在唯一0-使得3\2/V2/%=0则当X£OX°时，/x0一⑺单调递减所以xvro=o/ix0不符合题J3±a思.「11综上所述]£+

8..37点评本题是端点效应问题，由前两个例题已经清楚，必要性得范围，充分性证明主要是引出矛盾理想情况，本题的难点也是得出矛盾，根据题意“gx=办一20在X£[0y上恒成2+cosx立“，在具体分析时，只要找到一个方使得gx0，结合函数的特征，再细分0及01两类去寻找矛盾；也可只考虑0-对，X求导，最终得到函数gx在0-上的单调性，得出矛盾.例题42018届厦门市高三期末质检理已知函数/%=公2+1+6一%£尺，若对任意的〃0/xZ71nx+1在工£[0y上恒成立求实数8的取值范围.答案bl；解析令ga=H%2+1〃+此76zg-oo0]当xe[0+8时，e~xx2+10则8从1+1对\/£-00]恒成立等价于g〃gOKZlnx+l即必7«blnx+l对工£[0+8恒成立.i当5W0时，Vxe0+ooZlnx+10Xe-xo此时加一blnx+l不合题意.ii当]0时令/zx=〃lnx+l-x”xg[0+oox2则1九=_泥-=；+:/1其中％+1产0Vxe[0+oox+1x+1e令px=bex+x2-lxe[0+oo则〃尤在区间[0+8上单调递增，

①方21时px/O=Z-lO所以对\/xe[0+8〃20从而在[0y上单调递增所以对任意xe[0，+°o，hxhO=O9即不等式Inx+12加

一、在［0+8上恒成立.

②01时，由/0=/2-10Pl=尻及px在区间［0+8上单调递增，所以存在唯一的/e01使得Pxo=0且x£0%时■px

00.从而X£OX°时，旗同0所以/2x在区间0»上单调递减，则J£OJ时/ixho=of即blnx+lvxeT不符合题意.综上所述，bl.点评本题是指对综合恒成立问题，考查了双参数与端点效应相结合.双参数问题的解决，一般遵循“消参”思想，本题运用主元思想以作为主元，成功转为为单变量、单参数恒成立问题，接下来是端点效应的处理办法.口相仞题相似题12017全国II文已知函数〃x=l-当xNO时，/x初+1求的取值范围.答案a\.解析令gx=0—x2e”一2X-1gx=-x2-2x+lev-a则g0=，g〈O=l—a

①当时，g〃x=—d+4x+le1因为xNO所以g〃x«O，另在［，内上单调递减则gxgO=l-，，此时gx单调递减，所以g“gO=，符合题意；

②当OWavl时，同理可得，另在［位上单调递减，且/0=1-，，⑴=-2e-，所以存在唯一毛£/，使得5%=则当工£0%时gxg力单调递增所以gxNgO=O与题意矛盾;3当0时，g-=^~——彳，与题意矛盾.综上所述a\.相似题22020届七彩阳光联盟5月模拟22函数/x=lnx+l-如，gx=l-I讨论函数的单调性;II若xNgx在X£[Oy上恒成立，求实数的取值范围.答案I见解析;II一82].解析⑴=人IL

①当Q0时，尸司0恒成立，则〃X在T+8上单调递增.

②当Q0时，令尸司=0得x=L—1则当—1X_L_1时，rx0;当x_L_1时，rx

0.aaa则在上单调递增，在七-1+8］上单调递减.II解析1端点效应4*hx=f^x-gx=ex+lnx+l-ox-l则/i^0^Exe［04w上恒成立.h\x=ex+—-—a当〃O=2—aNO即q42时XI1h\x=ex--^-09则〃x在［0+s上单调递增，h\xh\0=2-a09则hx在［0+8上单调递增，则hx/20=0恒成立.当a2时，则〃0而〃lna0则存在不£Olna国=0而力〃x=则”%在[04-00上单调递增当0x/时，/X

0.则Ovxvx时，/ix/iO=O.综上所述，a的取值范围是3，2].解析2参变分离当x=0时不等式显然成立.当x0时，有[口+1+/―12〃恒成立./、lnx+l+eA-11八/.771xlim=lim+e=

2.2XXlx+l・・・的取值范围是3，2].相似题32020届广西师大附属外国语学校一模理21设函数/x=/+cos2x.1讨论函数/x的单调性；2若xNO不等式区+1恒成立，求实数人的取值范围.答案1在区间―刈上是减函数，在区间+8上是增函数；2-oo0].解析1/x=2%-2sinxcosx=2x-sin2x/rx=2-2cos2x=21-cos2%0所以尸X为增函数，又因为l0=0所以，当％o时，rwo；当工时，rxo所以，函数/X在区间-双上是减函数，在区间，+动上是增函数2不等式/x之旅+1化为d—Ax—I+cq/x^og^=x2-kx-\+cos2xx0gx=2x_k_sin2x由1可知gx是[，+8上的增函数，因为g0=-攵，所以，当攵时函数gx在区间[0+句上的增函数所以g力Zg0=-l+cos2=0所以当左0时符合题意.当人0时，g0=-%，所以存在X°，使得g%=；并且当Wxv天时gx；当了不时gx0；所以函数gx在区间[0%上是减函数，在区间%+8上是增函数最小值为.%⑼=，不等式不恒成立综上，使得命题成立的实数左的取值范围是-80].相似题42017学年上虞高三上期末20已知函数〃x=lnx+l-土.1求函数/X的单调递增区间；2当x0时，/“依恒成立，求实数攵的取值范围.，所以〃x的单调递增区间是-1，2原不等式等价于lnx+l-二-Ax0令gx=lnx+l-工一丘，则2==_尸+化+；+/一1令/+任+1户+一1=0其中A=攵-l2+40解得

①当左N1时，grx0所以gx在y上单调递减，故gxgO=，符合题意;

②当Z1时，gx在0%上单调递增，在上，y上单调递减，此时g%gO=，不符合题思；综上所述，实数上的取值范围是［1，+

8.。