选修4-5：证明不等式的基本方法（习题课） 教学设计

高二级唐爱文选修4-5:证明不等式的基本方法（习题课）【教学目标】

1、知识与技能

（1）学生能够利用观察分析不等式选择证明方法，在应用放缩法时能看准目标，放缩时能够把握“度二

（2）在数学归纳法证明不等式时，能够突破n=k推导到n=k+1关键步骤，会利用分析法需找得证的充分条件

（3）继续严格要求证明的“步骤”性，有数形结合、构造法解决不等式的初步意识

2、过程与方法

（1）运用习题课课型形式教学

①.基本知识复习回顾一

②基本题型练习一

③归纳呈现不同形式的题型一

④教师问题引导一

⑤学生观察讨论一

⑥方法规律小结一

⑦变式纠错巩固提升一

⑧总结归纳

（2）通过例题启发学生，学生之间进行讨论培养学生合作探究能力

3、情态与价值

（1）培养学生观察，分析，论证的能力，进一步发展学生的抽象思维能力和创新能力，让学生经历知识的构建过程，体会类比的数学思想.

（2）通过对例题的探究，体会研究数学问题的一种方法（先猜想后证明），激发学生的学习热情，使学生初步形成做数学的意识和科学精神.【教学重点、难点】重点

（1）用放缩法、数学归纳法证明不等式；

（2）能较灵活的运用常规方法（即通性通法）、运用数形结合等基本数学思想证明不等式的有关问题难点构造函数、方程、数列、向量或不等式来证明不等式【学情分析】学生已经学习了不等式的解法，不等式的证明等知识，所有证明方法比较法、分析法、综合法、数学归纳法等都有运用但掌握还不够深入，最主要的是不知道采用如何方法去证明？猜想一归纳一证明三步曲运用的不够灵活，另外常规方法（即通性通法）、运用数形结合、函数等基本数学思想还未渗透！部分学生的基础薄弱，可以预见在探索过程中对证明过程会存在疑难【教学过程】

一、【复习回顾】（课型建模

①②）.设mb《R若一⑸0则下列不等式正确的是（）.A.b-a0B.〃+万3VoC./一从0D.b-\~aQ.要证a2+b2-l-a2b2^0只要证（）A.2ab-l-ab2^0B.a2+b2-l-^^^0C.

（9）T-abWOD.（a2-l）.（b2-l）^

0.命题“任意多面体的面至少有一个是三角形或四边形或五边形”的结论的否定形式是（）A.任意多面体没有一个是三角形或四边形或五边形的面B.任意多面体没有一个是三角形的面C.任意多面体没有一个是四边形的面D.任意多面体没有一个是五边形的面.比较log23与log34的大小关系是..用数学归纳法证明“5=上+工+工+…+Q71（〃£N*）”时，S等于（）〃十1〃十277+33/7+1A.JC.J+；+；D.以上答案均不正确

二、【例题讲解】（课型建模

③④⑤⑥）2V1例

1、设数列｛%｝的前〃项和为S〃.已知q=1—七=a〃+i——ri一几——neN.〃33（I）求2的值；（H）求数列｛4｝的通项公式；可求得a〃=〃2〃£N*1117（III）证明对一切正整数〃，有一+—++—-（课型建模

③④⑤⑥）q%an4练习:设各项均为正数的数列｛%｝的前〃项和为S〃，且S〃满.足5；—〃—3）S〃—3（〃2+〃）=0neN*.

（1）求生的值

（2）求数列｛〃｝的通项公式；

（3）证明对一切正整数〃，有1^一7+—:+一（课型建模

⑥⑦⑧）q（Q[+l）a2[a2+1）an\an+1）3[方法.规律]放缩法将不等式一侧适当的放大或缩小以达证题目的放缩法的方法有■Z\Z*/*V/^ZS/WVZKZ\1ZW\ZW

①添加或舍去一些项，如yla2+1a；Jnn+1n；

③a用加坯笔式，如Ig3lg5lg3+lg52=lgV15lgV16=lg4；✓sXT^zxzs/n/szxzxzsz^/xAA/szxzx/sAzs/szxX/szxz\zvzxzs/vz^zs^/

④利用常用结论Jk+1—y[k—I-j=--j=；………+〃2口.1111r-例

2、已知〃cN，证明^=+^=+^=+...4-y.4n课型建模

③④⑤⑥Vlx2，2x3V3x4J〃・〃+l练习、已知〃eN*证明1++!+…课型建模

⑥⑦⑧232〃t2［方法.规律］数学归纳法在使用数学归纳法证明时，一般说来，第一步验证比较简明，而第二部归纳步骤情况比较复杂因此，熟悉归纳法步骤的证明方法是十分重要的，其实归纳步骤可以看作一个独立的证明问题，归纳假设“Pk”是问题的条件，而命题Pk+1成立就是所要证明的结论，因此，合理运用归纳假设这一条件就成了归纳步骤中的关键，常用分析法、放缩法！2例

3、已知函数fx=alnx+gR.x+11当a=1时，求fx在i£口+8最小值;2求证lnn+l-+-+-+...+^^^e^.课型建模

③④⑤⑥3572〃+1练习设函数/U=|x—i|+i%一切.1若a=-1解不等式“rN3；2如果求d的取值范围.课型建模

⑥⑦⑧［方法.规律］构造法通过构造函数、方程、数列、向量或不等式来证明不等式；证明不等式的方法灵活多样，但比较法、综合法、分析法和数学归纳法仍是证明不等式的最基本方法.要依据题设、题断的结构特点、内在联系，选择适当的证明方法，要熟悉各种证法中的推理思维，并掌握相应的步骤，技巧特点.

三、【课堂小测】

32.若n0则n+-的最小值为n2A.2B.4C.6D.

8.用反证法证明某命题时，对结论“自然数abc至少有1个偶数”的正确假设为“假设自然数abc都是:.不等式|x-lklx+2k5的解集为..若关于实数x的不等式|x—5|+仅+3|无解，则实数的取值范围是..数列｛〃｝的前〃项和为S〃，满足25〃=向—2向+1/£N*且4%+5生成等差数列・I求％的值；II求数列｛〃｝的通项公式；1113III证明:对一切正整数〃，有一+—+・・・+——・a.%an21/

716.已知等差数列｛%｝满足〃3=75+%=

26.1求｛%｝的通项公式;3设⑵中.数列松〃｝的前〃项和S”对任意的正整数〃…1—〃・S〃+〃+2+5+p2用2恒成立求实数〃的取值范围.附板书:投影区选讲4-5证明不等式的基本方法归纳概括证明不等式方法:例1:例21।।1।1।。