矩阵知识点

矩阵即《2…4”定义由机X〃个数%=.，碇j=12n）排成的m行〃列的数表的%3称为•••am\am2amn442…4〃、m行〃列矩阵简称矩阵，记作A二出|22•2〃，简记为A==

（4）.“二（%）1〃八•一^mrt）这根X〃个数称为加勺元素，简称为元几种特殊的矩阵方阵:行数与列数都等于〃的矩阵4记作M行（列）矩阵只有一行（列）的矩阵也称行（列）向量同型矩阵两矩阵的行数相等，列数也相等相等矩阵48同型，且对应元素相等记作A=B零矩阵元素都是零的矩阵（不同型的零矩阵不同）对角阵不在主对角线上的元素都是零单位阵主对角线上元素都是1其它元素都是0记作（不引起混淆时，也可表示为E）

3.正交矩阵定义64是一个n阶实矩阵，若A7A=£则称4为正交矩阵定理设48都是〃阶正交矩阵，则⑴网=1或隔=T

（2）A-1=Ar⑶（即“）也是正交矩阵

（4）48也是正交矩阵定理〃阶实矩阵4是正交矩阵=4的列（行）向量组为单位正交向量组注〃个〃维向量，若长度为1且两两正交，责备以它们为列（行）向量构成的矩阵一定是正交矩阵注意矩阵与行列式有本质的区别，行列式是一个算式，一个数字行列式经过计算可求得其值，而矩阵仅仅是一个数表，它的行数和列数可以不同定理1矩阵A经过有限次行列初等变换后其秩不变即若A〜8，则R4=R8矩阵An，经过有限次初等行变换可变为行阶梯形，则非零行的行数就是4的秩A初等行变换阶梯形矩阵形B那么RA=阶梯形矩阵形B的主元的个数矩阵秩的性质总结⑴0/4rx„^min{/««2RAt=RA⑶若A〜及则RA=RB4若P、Q可逆则RPAQ=RAmax{RARB}RABRA+RB特别当5=b为非零列向量时有RARAbWRA+

1.RA+BWRA+RBRABmin{RA8若4“〃纥w=则RA+R3W〃.⑼设AB=O若A为列满秩矩阵，则B=0矩阵乘法的消去率附录资料:不需要的可以自行删除考试后心理调节技巧同学们升入高中的第一次考试月考结束了，成绩也出来了，不知道同学们现在的心情怎么样，可能是几家欢乐几家愁吧，先不管是乐还是愁，我们都是时候好好调整自己的心态，所以今天我就跟你们一起探讨一下考试后的心理调节主要是分为两大部分，一是成绩还没公布前的心理调节，第二是知道考试成绩后的心理调节I

一、考试成绩不清楚前的心理调节虽然考试的成绩现在还不知道，但此时此刻同学们的心情大概可以概括为以下几种.疯狂放松心理我想现在很多同学都想考试后痛痛快快地玩一下，这种心情是可以理解的考试后轻松一下，发泄一下压抑的情绪是无可厚非的，但考试后就将学习抛到九霄云外，这就不对了考完试只是一次人生中小的终点，再这个终点后，我们还要迎接更多的挑战和起点所以我建议同学们还是利用考试后这段稍微清闲的时间，好好调整自己的情绪，准备迎接下半个学期的紧张学习.盲目乐观心理虽然具体成绩还不知道，可能有的同学认为自己运气不错，超常发挥，有点沾沾自喜但问题是成绩还没公布，不应该有盲目乐观的心理，否则在真实的成绩公布之后，和原来想象的相去甚远，我们的内心就会经历严重的心理挫折，本来乐观的心理就会被失败、痛苦所代替这种痛苦的体验会使心理承受力低的同学产生自卑感所以我们应该调整自己的心态，客观地估计自己的成绩，切忌过高估计成绩我们可以参照上次成绩来估计，因为成绩的提高不是一蹴而就的，需要有一个过程，正确认识自己的实力，从而对快要面临的成绩有一个合理的期望还可以与平时成绩相近的同学比较，因为只有与自己平时成绩相近的同学进行比较，才能真正知道自己成绩的意义，从而把自己的可能成绩放在恰当的位置否则，就会过高估计自己的成绩，最终导致无法面对真实的成绩.自责后悔心理有的同学因为某些个别地方没有充分发挥，认为不该错的地方错了，错得冤枉，非常自责和后悔，纠缠于自己某个缺陷不放其实考试是涉及到很多综合能力的过程，不能要求自己一点失误也没有，关键是尽力吸取经验教训，避免在以后的考试中犯同样的错误.失落焦虑心理考试结束后，随着紧张感的结束，我们有的同学反而感到茫然无措，心理空荡荡的，仿佛失去了什么这种失落心理会使他们失去热情，对什么事都不感兴趣，就是急切地想知道自己的成绩，在紧张焦虑、苦苦等待中度过，这是一种焦虑恐惧心理，我们也应该消除因为处于这种焦虑恐惧中的同学，很难保持良好的学习状态，会出现注意力不集中、倦怠、消极的表现如果真的很难集中投入到学习中去，就可以选择一些需要付出体力的活动，例如通过剧烈的活动如踢球、跑步等来发泄自己消极情感，也可以做一些不需要特别投入的活动如练字等，使自己在充实的活动中等待成绩公布

二、知道考试成绩后的心理调节（-）避免两种不合理情绪很快我们的成绩就会陆续公布，那么肯定会出现“几家欢乐几家愁”的情形所以也要注意以下两种不合理的心理状态.骄傲自满心理在本次的考试中，肯定有考得不错的同学，那么首先要预先祝贺你取得好的成绩，因为你的付出得到了相应的收获但同时也要特别提醒你们，千万不能骄傲自满我们都知道一个道理池塘里的水，经年累月之后就成了死水，而流水不腐的根本就在于它能不断的获得新的活水，补充新的血液我们的学习也是这样，一次考试的成就并不能代表以后的每一次考试都能保持所以我们得再接再厉，创造更好的成绩.心灰意冷心理可能绝大多数同学在试卷发下来的那一刹那间，觉得用简直就是闻者伤心，见者流泪，惨不忍睹！有的同学甚至对未来感到绝望，丧失了对学习与生活的勇气和信心还有的人因此而妄自菲薄、自暴自弃，还有的同学看到别的同学的成绩远远高于自己，会产生比较强烈的嫉妒心理这些同学可能会出现因为害怕考试失败就逃避考试的行为但我们应该清楚地认识到不能因为怕失败就要逃避它难道我们就因为害怕车祸，就不出门了？还有飞机是比汽车更危险的交通工具，但如果条件允许的话，我想人们更喜欢选择飞机吧既然我们都不害怕对我们生命有威胁的东西，我们为什么要害怕考试失败呢？在我们的平时生活中，难道都是没有什么失败和挫折的事情发生的么？相信平时我们都经常听到一些很好的祝福话语，例如一帆风顺、万事如意、马到成功、心想事成等等，但我们认真地想一想，这些祝福的话语真的可以在生活中实现吗？应该可能性不大吧？为什么人们要说这些祝福的话呢？就是人们都知道在生活中肯定有很多挫折和困难，才说出这样的祝福的话语，希望在一定程度上能给对方信心战胜挫折和困难所以在我们的人生征途上肯定会遇到很多挫折和困难，考试只是一个很小很小的困难先来听一下肯德基创始人的故事肯德基创始人的故事很多同学都知道肯德基餐店吧，在全球都有它的连锁店，那么你对肯德基的创始人，也就是肯德基先生有什么印象？可能都是在注册商标上看到的满头白发，留着山羊胡子的小老头吧为什么不用他年轻帅气的照片呢？那我们得先了解一下肯德基先生的故事5岁时父亲去世，14岁时辍学，开始流浪16岁时谎报年龄参军，但军旅生活处处不顺心18岁时结婚，不久妻子卖了他的财产逃跑后来学法律学不成，就卖保险，卖轮胎，经营渡船、加油站等等，都失败了到中年时做餐厅厨师和洗瓶师，但不久也失业年老后要靠福利金生活66岁时拿着儿百美元的社会福利金，开着一辆破汽车，向餐厅出售他研制的一种炸鸡配方，88岁时终于因为他的炸鸡配方才获得成功KFC就是这样创办并从此风靡全球所以我们不能逃避失败和挫折，而应该勇敢面对它可能我们一生都试图摆脱压力，但终归是徒劳无功科学家认为，人需要激情、紧张和压力如果没有既甜蜜又痛苦的滋味，人的机体就根本无法存在实验表明，如果将一个人关进隔离室内，尽可能让他感觉非常舒服，但没有任何情感体验，也就是没有喜怒哀乐，他也会很快发疯适度的压力可以激发人的免疫力，从而延长人的寿命如果我们平时都没有考试，或者每次考试都是满分，那么我们就没有学习的动力挫折对于一个生活的强者来说无异于一剂催人奋进的兴奋剂，可以提高他的认识水平，增强他的承受力，激发他的活力所以挫折可帮助我们更好的适应社会我们的一生其实就是适应所生存的社会的一生，而要适应社会，就要学会随时依社会环境更替调整自己的动机、追求、情感和行为在我们的成长过程中，社会采用奖赏、引导、威胁、甚至惩罚的方式，让我们在成功和挫败中学会适应社会，学会依社会环境的不同来调整自己的言行那么当前我们中学生的主要任务是学习，所以考试就成了我们成长中必不可少的检验如果我们连考试失败都接受不了，那么我们怎么面对以后工作上的失败，生意上的失败，人际关系上的失败？所以我们应该把适度的挫折看为我们成长中的“精神补品”因为在成长中，每战胜一次挫折，就强化一次自身的力量，为下一次应付挫折提供了更多的精神力量，坚强的意志力也就在这一次又一次的锤炼中培养出来著名的美国康奈尔大学做过一次心理实验-一青蛙实验实验的第一部分他们捉来一只健硕的青蛙，冷不防把它扔进一个煮沸的开水锅里这只反应灵敏的青蛙在千钧一发的生死关头用尽全力跃出让它葬身的水锅安然逃生实验的第二部分隔了半小时，他们使用一个同样大小的铁锅，这一回往锅里放入冷水，然后把那只死里逃生的青蛙放进锅里，青蛙自由自地在水中游来游去，接着实验人员在锅底偷偷地用火加热，青蛙不知底细，自然地在微温的水中享受“温暖”慢慢地，锅中的水越来越热，青蛙觉得不妙了，但等到它意识到锅中的水温已经承受不住了，必须奋力跳出才能活命时.，已经晚了，它全身发软呆呆躺在水里直到煮死在锅里这个实验告诉我们最可怕的不是突然危机的降临而是缓慢渐进的危机降临期中考试成绩不理想的同学考试失利对你们来说不是一件坏事，它在一定程度上是一件好事，给自己敲响了警钟，有了危机意识.才能更努力的学习，记住永远不要认为自己是最努力的，和你自己努力比的同时，也要与周围的同学比

（二）如何看待不好的成绩面对不满意的成绩，先请同学们回答我一个问题“对于考试，你努力学习了吗？”如果以前你没努力，现在努力还来得及，但更多的同学可能会说，我觉得我比初中还努力，但我现在的成绩却远远不如初中的，为什么呢？要想揭开这个疑问，我们必须弄清楚以下两点.高中学习的特点高中的学习跟初中的学习是有很大的不同的高中的知识量比初中的大，理论性、系统性和综合性都增强，还有学科间知识相互渗透，从而增加了高中学习的难度，考验同学们各方面的能力也有更高的要求水平所以有的同学没有一下子适应过来，特别是高一的同学而且每个人适应高中学习的速度各不相同，适应快的需要一两个月的时间，适应慢的则需要一两年的时间，也许有的同学上高三才找到学习的感觉但要相信，只要努力肯定会有回报！同时我们也要认识到，努力是相对的，你努力的同时，别人也在努力，你学到十点多，别的同学学到十二点多所以不能只看到自己的努力而没看到别人的付出，只许自己进步不许别人有好成绩！.正确认识名次意义很多同学衡量自己的学习有没有进步，都是看名次的，所以就很在意名次的高低高一的同学一定要明白现在你是在一中读书，每个同学都是很有实力的所以你的名次与初中相比肯定是退后一些，应该学会在班级里找到恰当的位置而且也应该知道每个人在班上的名次是不可能固定的，不是进步就是退步也要走出一个误区，就是不能单单看排名，因为很多从前不用功但很有潜力的同学成绩现在赶上来了，人人都在发展应该拥有一颗平常心，正视自己和别人的排名变化，与其嫉妒或羡慕他人，不如虚心向他人请教有效的方法，提高自己的学习效率高中学习是一个知识积累的过程，重在检查所学基础知识漏洞所在，不要将目光只放在眼前的名次上

（三）认识考试的意义，学会总结分析考试成绩不理想的话，你也不应该一味地伤心、后悔，让下半个学期都沉浸在痛苦之中除此之外，最重要的是应该认识到考试的意义，平时的考试或练习的真实意图是使我们同学能够“发现问题，解决问题”，也就是通过考试可以告诉我们什么知识已经掌握，哪些还没有理解通过对考试结果的分析能反映自己学习上的漏洞，只要自己知道漏洞在哪儿，如何去弥补，下一次成绩就一定会提高对考试的分析也指出了我们接下来的复习的重难点以及学习计划的方向，所以考试可以使今后复习的目标更加明确，解决问题的精力更易集中，使我们更好的检测和把握自己那么我们考试后如何分析总结？有的同学考前对试题卷是“可欲而不可求”，考时则是对试题卷“奉若真神”，生怕漏了一道题，但是考后则是把它无情的抛弃这时，他们的眼中只有分数了，为什么有那么多的同学没有把眼光放在以后其实分数只不过是对你这阶段努力的一个评价，考完后不是盯着它，难道盯着它就能把66分变成99分吗？关键还是要弄清丢失分数的原因、不清楚的知识以及这一阶段的不足，我们的目标不是这一次次的小考，而是将来的高考我们也应避免不良的归因方式，若将考试成绩差的原因总是归于外部因素，例如埋怨老师教的不好，试题太难等，这就很难地准确地分析考试失败的原因如果找不出真正的原因，那么自然没有办法寻找到更正确、更有效的途径来提高自己所以考试后可结合试卷，对自己平时的复习目的、学习态度和学习方法进行分析对回答正确的题目，要重新温习一下自己运用的是哪个知识点来解答的，是如何理解运用所学知识的答错了的题目，就要找到自己出错的原因，一般原因有粗心、基本概念不清以及计算错误等三类粗心一般是偶然的，通过加强检查可以部分克服但要想一点粗心的错误都不犯，就只有扎扎实实地好好学习，每一次考试都尽最大的努力，一丝不苟基本概念不清，则需要弄清楚是大部分概念都存在问题呢还是个别的？如果是大部分概念都存在程度不同的不清楚问题，就说明在学习方法上有明显欠缺，需要及时补救，加强基本概念的学习，并从最基础的概念开始进行补课如果只是部分概念存在问题，则说明我们在学习这一部分知识时，有缺陷，需要专门进行补漏，把相关教材认真地再学习一遍，并多做有关练习出现计算错误，要分清是偶然的还是经常性的如果只是偶然出错，只需下次考试时.，在检查上对计算多下功夫就行了如果是经常在计算问题上丢分，则说明学生在笔算技巧上有问题，需要特别加以训练，应把各种类型计算题的规则好好复习，并进行反复地计算练习，从根本上提高计算能力还有就是要把每部分丢分的比重弄清，比重最大的就是我们的弱点针对错误采取对策加以克服，且要牢牢记住错误的地方，以免再犯同样的错误所以要把平时考试中的错题集中分类，并与过去的错题加以比较，找出隐藏其中的知识难点“登记注册”，作为以后临考复习的重点

（四）调整考后抑郁心态.正确面对外界压力相信同学都觉得学习有很大的压力，这些压力主要来源于父母、老师、同学、亲戚朋友等等觉得没有达到父母的期望值，很难面对望子成龙、望女成凤的父母，其实你可以先分析一下自己是否努力了，是否尽自己的全力了，如果已竭尽全力但仍无达到父母的要求，就不必再过多地责备自己你不妨可这样思考只要我尽力了，我的心里就是坦然的，不必再伤心、再痛苦，但求问心无愧，父母对我们的关爱是一种人的本能，一种天性，虽然父母对我们不太理想的考试成绩会表现出焦虑，甚至会有一些指责，这也是亲人间亲情的自然流露反过来说，你对父母的爱感到压力，也是一种对父母的爱还有的同学认为自己考得不好，觉得很难面对同学轻视的眼光和讥讽的话语但我们认真地想一想，如果自己身边的同学考得不好，我们有表露了轻视的眼光和说了很多讥讽的话语吗？应该没有吧所以那些所谓轻视的眼光和讥讽的话语都是我们假想出来的，我们不必在意那些我们假想出来的东西！.学会消除不良情绪不管怎样，考得不好总是令人沮丧的事情，要学会寻找合理方式消除内心沮丧把积压在内心的压力宣泄出来，才有利于甩掉包袱轻松再战一般可以通过以下方式来消除内心压抑的情绪

①建立自信不要总是追忆考试过程，也不要经常和同学谈论此次考试，更不能什么事都不做，先暂时把自己的目标定的低一点，要多做一些自己平时做得最好的事情，或者做一些相对较容易的作业，使自己找回自信这只是给自己喘气的机会，并不是说放弃学习找回自信后就可以有更好的精力投入到学习中去

②学会倾诉我们平时都有这种体验，当我们遇到高兴的事情时，通常希望有人来分享，那么当我们遇到痛苦的事情时，就更需要得到别人的理解、安慰、鼓励、信任和支持所以关于考试考得不好，感到内心很郁闷，就可对亲属、要好的朋友说，一吐为快，也可以向师长寻求解决办法向同龄人倾诉烦恼可以唤起情感的共鸣，向年长的朋友倾诉，可以给你一些建设性的意见，切忌在“男儿有泪不轻弹”中积郁成病

③学会发泄可自备发泄物（布娃娃、塑料玩具、布艺等）摔摔打打，锤上一顿，当然要避免自伤或伤及他人或贵重物品对于女孩子来说，找个地方，比如说把自己蒙在被窝里或者江边痛痛快快地大哭一场，可以任其流泪，有时候，眼泪是一剂良药，然后擦干眼泪笑逐颜开；对于男孩子来说，找几个朋友踢一场足球也、

2、在矩阵中，水平方向排列的数组成的向量q…4称为行向量；垂直方向排列的数组成的向量瓦称为列向量；由〃7个行向量与〃个列向量组成的矩阵称为，〃X〃阶矩阵，7X〃阶矩阵可记做如可用A、B等字母表示

3、矩阵中的每一个数叫做矩阵的元素，在一个〃ZX〃阶矩阵4心〃中的第j//行第jJ72列数

5、当一个矩阵的行数与列数相等时，这个矩阵称为方矩阵，简称方阵，一个方阵有〃行列，可称此方机、3-24均为三阶方阵在一个〃阶方阵中，从左上角41-考到右下角所有元素组成对角线，如果其对角线的元素均为1其余元素均为零的方阵，叫做单位矩阵/、fl

0010、如矩阵为2阶单位矩阵，矩阵010为3阶单位矩阵［”［0J

6、如果矩阵4与矩阵8的行数和列数分别相等，那么A与8叫做同阶矩阵如果矩阵A与矩阵5是同阶矩阵，当且仅当它们对应位置的元素都相等时，那么矩阵A与矩阵8叫做相等的矩阵，记为A=8矩阵的运算矩阵的加法设有两个〃小〃矩阵A=和8=佃，那么矩阵A与8的和记作A+B规定为或者找一片旷野大喊几声，然后甩甩头昂然前行

④转移注意力考试考得不好，可能有些同学不愿接触外界，闭门思过，终日苦闷不堪此时不妨主动增加生活情趣，转移自己的注意力，把自己解脱出来如平时做些自己喜欢的事情或发展个人爱好，充实自己的生活也可以适当的听一些柔和明快的音乐，也可以自弹自唱，在音乐中排解烦恼，平息愤怒，鼓起勇气，陶冶情操，但不要长时间用来麻痹自己，反正就是要学会从情绪消沉的低谷中走出来

（五）制订可行的学习计划考完后总结固然重要，但是更要找到新的起点，有的同学一次考试失败了，就一蹶不振，我想这样做是没有必要的哭完后，发泄完就静下心来重新找到自己的起点，尽量用一个好心情，用一种平常心去投入下一轮的学习，也许努力不一定会有收获，但不努力一定不会有收获所以调整好心态后，就必须要根据自己的具体情况制订一个可行的计划对于有明显问题的学科需要增加学习时间，对于出现的主要问题要找出相应的对策，并拿出专门的时间加以克服当学习出现全面的退步，应该考虑全面调整学习方法和计划在制订计划时不能急于求成，要根据自己的实际情况，制订适合自己的计划如果我们将目标确定太高或太低，就会失去目标与计划的实际意义例如如果对自己提出过高的要求，那样达不到自己要求的时候又会产生新的心理不平衡所以不能一步登天，要学会给自己设定短期的目标，不断给自己制造成功的喜悦，从而不断增强学习和考试的信心有的同学考完后很有动力，列了一大堆复习计划，下了一大堆决心，但是几天过后就又像以前一样了所以请大家要用毅力坚持学习下来，如果一直像以前，不做出改变的话，下次考试怕又要名落孙山，正如0你不在前面写一个1时，0还是0所以请大家能找到新的起点，并扬长补短，当然了，找到起点后决不能停在起点不动，而要前进、奋斗结语同学们，，不论发生了什么再美好再糟糕的事，只要是发生在昨天，那都将成为过去对于美好的事物，不要沉醉，对于糟糕的事物，不要悲伤，眼前才是最重要的，更多时候要往前看学习正如吃饭，而考试失败则是饭中的一粒石头，你总不能在人生中对知识最渴求时，因为一次的失败而不学习，正如你不会因为饭中有一粒石子而饿着不吃饭吧，所以继续努力，愿你们的付出会有收获今天的广播到此结束，谢谢《“2+02说明只有当两个矩阵是同型矩阵时，才能进行加法运算课本P33矩阵加法的运算规律⑵（A+B）+C=A+（B+C）~am\

（4）A+（-4）=04-B=A+（叫数与矩阵相乘矩阵的数量乘法数4与矩阵4的乘积记作;IA或A%规定为数乘矩阵的运算规律设48为〃x〃矩阵，为数1A//A=2/M；22+//A=2A+j.iA；32A+B=2A+2Bo矩阵相加与数乘矩阵统称为矩阵的线性运算矩阵与矩阵相乘设8=%是一个〃zxs矩阵，8=%是一个sx〃矩阵，那么规定矩阵A与矩阵B的转置矩阵的运算性质⑴（A『y=A；

（2）（4+8）『=4+；

（3）（AA）r=2Ar；4/4Br=Br#o方阵的行列式由〃阶方阵a的元素所构成的行列式，叫做方阵a的行列式，记作网或姻a记住这个符号注意方阵行数与列数都等于〃的矩阵4记作

4.矩阵与行列式是两个不同的概念，，阶矩阵是标个数按一定方式排成的数表，而〃阶行列式则是这岫数按一定的运算法则所确定的一个数运算性质1囤=|小2|冽=》同；3|明=同冏=同网=忸臼单位矩阵在矩阵的乘法中，有一种矩阵起着特殊的作用，如同数的乘法中的1我们称这种矩阵为单位矩阵.它是个方阵，从左上角到右下角的对角线称为主对角线上的元素均为1以外全都为0记为In或En，也可以标记为I或者E对于单位矩阵，有AE=EA=A对角矩阵对角矩阵diagonalmatrix是一个主对角线之外的元素皆为0的矩阵对角线上的元素可以为0或其他值三角矩阵以主对角线划分，三角矩阵有上三角矩阵和下三角矩阵两种

①上三角矩阵31叫2叫3・・・如4■*2”23・・・0它的下三角不包括主对角线的元素均为常数Oo

②下三角矩阵与上三角矩阵相反，它的主对角线上方均为常数0如图所示实对称矩阵如果有n阶矩阵A其各个元素都为实数，矩阵A的转置等于其本身AT=A则称A为实对称矩阵如果有n阶矩阵A其各个元素都为实数且a产即ATA这里T表示转置，则称A为实对称矩阵反对称矩阵-4=对称矩阵的元素Aij=Aji.反对称矩阵定义是A=-ATA的转置前加负号它的第I行和第I列各数绝对值相等，符号相反于是对于对角线元素Aii=-Aii有2Aii=0在非偶数域中有Aii=0A=—At即反对称矩阵对角线元素为零此性质只在非偶数域中成立在偶数域中，由于1+1=0反对称矩阵的对角线元素不一定为0对称矩阵设4为〃阶方阵，如果满足A=万，即%=%.=12〃那么A称为对称阵说明对称阵的元素以主对角线为对称轴对应相等，如果Ar=-A则称矩阵A为反对称的即反对称矩阵人=%.中的元素满足的=一如，/j=l

2...逆矩阵定义对于n阶矩阵4如果有一个〃阶矩阵瓦使得AB=BA=E则说矩阵A是可逆的，并把矩阵B称为4的逆矩阵A的逆矩阵记作A”BIU-=Bo说明48互为逆阵，A=8】2只对方阵定义逆阵.若A是可逆矩阵，则A的逆矩阵是唯一的A...

4、A4…A.伴随矩阵行列式Ml的各个元素的代数余子式所构成的如下矩阵A*=飞2分2称为・•••••••••・・4A2n…矩阵4的伴随矩阵性质A4*=4A=M|E（易忘知识点）定理1矩阵a可逆的充分必要条件是同0并且当4可逆时，有A-I二百A“（重要）

（2）设力是一个二阶矩阵，如果存在二阶矩阵使得B4=/B=E则称矩阵力可逆，或称矩阵力是可逆矩阵，并且称8是/的逆矩阵.

（3）（性质1）设力是一个二阶矩阵，如果力是可逆的，则力的逆矩阵是唯一的.力的逆矩阵记为/TL

（4）（性质2）设48是二阶矩阵，如果人♦都可逆则一8也可逆且（力8尸=8一〃N奇异矩阵与非奇异矩阵当|4|=0时，A称为奇异矩阵，当14ko时，A称为非奇异矩阵即A可逆0A为非奇异矩阵=同0推论若A8=£（或BA二E）则8=⑴先求IA|并判断当|A|工0时逆阵存在；求逆矩阵方法

（2）求4；

（3）求-^A*=AT|A|逆矩阵的运算性质⑴若4可逆，则A一】亦可逆，且（厂=A⑵若A可逆，数％w（）则可逆，且（4A）t=；1

（3）若A8为同阶方阵且均可逆贝必5亦可逆且（AB）-=BlA~lo

（4）若A可逆，则川亦可逆，且（4厂=（k⑸若4可逆，则有=.对于〃阶矩阵A AA=AA=\A\E无条件恒成立；.（A-）X=（A，）-1（A-）r=（Ar）-

（4）T=（A『）*（AB）t=BrAr（AB）=BABA矩阵的初等变换

（1）互换矩阵的两行；

（2）把某一行同乘（除）以一个非零的数；

（3）某一行乘以一个数加到另一行以上任意矩阵可经过有限次初等行变换化为阶梯型矩阵初等行变换⑴对调两行，记作亿—0）

（2）以数kwO乘以某一行的所有元素，记作xA）

（3）把某一行所有元素的k倍加到另一行对应的元素上去，记作化+4）一个矩阵成为阶梯型矩阵，需满足两个条件

（1）如果它既有零行，又有非零行，则零行在下，非零行在上.

（2）如果它有非零行则每个非零行的第一个非零元素所在列号自上而下严格单调上升.阶梯型矩阵的基本特征如果所给矩阵为阶梯型矩阵则矩阵中每一行的第一个不为零的元素的左边及其所在列以下全为零.特点（每个阶梯只有一行元素不为0的行（非零行）的第一个非零元素的列标随着行标增大而严格增大（列标一定不小于行标）；元素全为0的行（如果有的话）必在矩阵的最下面几行）任意矩阵可经过有限次初等行变换化为阶梯型矩阵若矩阵A满足两条件

（1）零行（元素全为0的行）在最下方；

（2）非零首元（即非零行的第一个不为零的元素）的列标号随行标号的增加而严格递增，则称此矩阵A为阶梯形矩阵初等变换求逆矩阵1求逆矩阵A|E初等行变换旧4或购列物-「2求A】8AAB〜EP肥A|8」-E|aW，则P=a】8”或F、人初一列变换匚㈤出一少矩阵的秩矩阵的秩任何矩阵A”“，总可以经过有限次初等变换把它变为行阶梯形，行阶梯形矩阵中非零行的行数是唯一确定的非零行的行数即为矩阵的秩矩阵的秩在矩阵a中有一个不等于0的r阶子式D且所有r+1阶子式如果存在的话全等于0那么称为矩阵4的最高阶非零子式数「称为矩阵人的秩，记作RA.规定零矩阵的秩，R0=

0.说明矩阵Anxr则RAmin{mn};RA=RAt;RAr的充分必要条件是至少有一个r阶子式不为零；RAr的充分必要条件是所有r+1阶子式都为零.满秩和满秩矩阵矩阵A=%若RA=m称A为行满秩矩阵；若RA=〃，称A为列满秩矩阵若A为〃阶方阵，目犬A=则称A为满秩矩阵若邢介方阵A满秩，即RA=〃=同=0；=A।必存在；=A为非奇异阵；oA必能化为单位阵名即A〜E”.矩阵秩的求法。