MS03离散型随机变量的均值与方差

离散型随机变量的均值与方差

一、均值I.一般地，若离散型随机变量X的分布列为则称EX=Xipi+x2P2+…+XiPi+…+XnPn为随机变量X的均值或数学期望，它反映了离散型随机变量取值的平均水平..若Y=aX+b其中ab为常数，则Y也是随机变量，且EaX+b=aEX+b..⑴若X服从两点分布，则EX=p；2若X〜Bnp则EX=np.

二、方差

1.设离散型随机变量X的分布列为则xi—EXR描述了』油=

1.2……，〃相对于均值EX的偏离程度，而%=£玉-EXpi=l为这些偏离程度的加权平均，刻画了随机变量X与其均值EX的平均偏离程度.称X为随机变量X的方差，其算术平方根、项访为随机变量X的标准差..D6/X+b=6DX.若X服从两点分布，则DX=pl-p..若X〜Bnp贝UDX=npl—p.例1已知X的分布列3I则在下列式子中⑴EX=一牙2DX=与；3PX=0=予正确的个数是A.0B.1C.2D.311111Y111115解由EX=—lx-+Ox-+1x-=-知⑴正确.由DX=-1+-5+0+52*可+1+耳2乂工=3知⑵ZJOJQZJJJO37\JJ不正确.由分布列知3正确.例

2.某种种子每粒发芽的概率都为

0.9现播种了1000粒.对于没有发芽的种子，每粒需补种2粒，补种的种子记为X则X的数学期望为A.100B.200C.300D.400答案B例3设X〜5小〃，若EX=12㈤=4则〃，〃的值分别为2111A.18和QB.16和5C.20和qD.15和7up=122解由，得几=18p=W.npl—p=43例4有10件产品，其中3件是次品，从中任取两件.若X表示取到次品的个数.则EX=.解:X=0时寒/X=1时尸留吟X=2时尸=黑=和金=ox%层+2限4例5从

1、

2、

3、

4、5中任取两个不同的数作和，若和为偶数得2分，和为奇数得1分，若X表示得分则EX=.7答案:-5均值与方差的作用均值是随机变量取值的平均值，常用于对随机变量平均水平的估计，方差反映了随机变量取值的稳定与波动、集中与离散的程度，常用于对随机变量稳定于均值情况的估计.方差越大表明平均偏离程度越大，说明随机变量取值越分散.反之，方差越小，随机变量的取值越集中.例6某商店试销某种商品20天，获得如下数据试销结束后（假设该商品的日销售量的分布规律不变），设某天开始营业时有该商品3件，当天营业结束后检查存货，若发现存量少于2件，则当天进货补充至3件，否则不进货，将频率视为概率.⑴求当天商店不进货的概率；

（2）记X为第二天开始营业时该商品的件数，求X的分布列和数学期望.153解⑴P（“当天商店不进货）=P（当天商品销售量为件”）+P（当天商品销售量为1件）=m+方=诉.

（2）由题意知，X的可能取值为

23.P（X=2）=P（当天商品销售量为1件）=/=；；P（X=3）=P（当天商1953品销售量为0件”）+尸（当天商品销售量为2件）+尸（“当天商品销售量为3件）=弥+云+★=•故X的分布列为1311X的数学期望为£（X）=2x^+3x1=y.例7已知X的分布列为若y=2x+i则y的数学期望e（f）的值是（）1229A.—7B.tC.1D.ttO530解由已知得.•・£（X）=—；+；=—\.・・.E（y）=2£（X）+l/.E（y）=

1.JN*JUJ例8某运动项目设置了难度不同的甲、乙两个系列，每个系列都有K和D两个动作，比赛时每位运动员自选一个系列完成，两个动作得分之和为该运动员的成绩.假设每个运动员完成每个系列中的两个动作的得分是相互独立的，根据赛前训练统计数据，某运动员完成甲系列和乙系列的情况如下表甲系列现该运动员最后一个出场，其之前运动员的最高得分为118分.⑴若该运动员希望获得该项目的第一名，应选择哪个系列，说明理由，并求其获得第一名的概率；⑵若该运动员选择乙系列，求其成绩X的分布列及其数学期望E（X）.解

（1）若该运动员希望获得该项目的第一名，应选择甲系列.理由如下选择甲系列最高得分为100+40=140118可能获得第一名；而选择乙系列最高得分为90+20=110118不可能获得第一名.3记“该运动员完成K动作得100分”为事件A“该运动员完成D动作得40分”为事件B则P（A）=不P（B）=

1.记”该运动员获得第一名”为事件C依题意得PO=PAB+pCa.该运动员获得第一3名的概率为丁⑵若该运动员选择乙系列，X的可能取值是507090110则PX=504x±=+，[99Q199981PX=70=^x—=—PX=90=^x—=—Px=110=而x^=俞.X的分布列为

1.9981EX=50x—+70x—+90x—+11Ox—=

104..求离散型随机变量的均值关键是先求出随机变量的分布列，然后根据均值定义求解..若随机变量服从二项分布，即X〜Bnp可直接使用公式£凶=叩求解，可不写出分布列..注意运用均值的线性运算性质即Y=ax+b则EY=aEX+b.例9有甲、乙两个建材厂，都想投标参加某重点建设，为了对重点建设负责，政府到两建材厂抽样检查他们从中各抽取等量的样品检查它们的抗拉强度指标，其分布列如下其中X和Y分别表示甲、乙两厂材料的抗拉强度，在使用时要求选择较高抗拉强度指数的材料，越稳定越好.试从期望与方差的指标分析该用哪个厂的材料.解EX=8x

0.2+9x

0.6+10x

0.2=9DX=8-92x

0.2+9-92x

0.6+10-92x

0.2=

0.4；EY=8xO.4+9xO.2+10x

0.4=9；DY=8-92x

0.4+9-92x

0.2+10-92x

0.4=

0.

8.由此可知，EX=EY=9DXDY从而两厂材料的抗拉强度指数平均水平相同，但甲厂材料相对稳定，应选甲厂的材料.例10已知随机变量+n=8若自〜B1O

0.6则EnDn分别是A.6和

2.4B.2和

2.4C.2和

5.6D.6和

5.6解由已知随机变量4+r|=8所以有r|=8—因此，求得Er|=8—E6=8—10x

0.6=2Dn=—12D1=10x

0.6x

0.4=

2.

4.例11袋中有相同的5个球，其中3个红球，2个黄球，现从中随机且不放回地摸球，每次摸1个，当两种颜色的球都被摸到时，即停止摸球，记随机变量自为此时已摸球的次数，求1随机变量占的概率分布列2随机变量占的数学期望与方差.解⑴随机变量可取的值为234尸一=笔短产=需Pe=4=ccjc©=m；所以随机变量4的概率分布列为3315S3532随机变量4的数学期望后©=2々+3方+4行=宗随机变量的方差©=2—弄々+3—守・行+4—JJLU1U乙乙J4JLU

21020.DX表示随机变量X对EX的平均偏离程度；DX越大表明平均偏离程度越大，说明X的取值越分散，反之DX越小，X的取值越集中..若X〜Bnp则DX=npl—p可直接用不必求EX与分布列.例12某市公租房的房源位于A、B、C三个片区.设每位申请人只申请其中一个片区的房源，且申请其中任一个片区的房源是等可能的.求该市的任4位申请人中⑴恰有2人申请A片区房源的概率；⑵申请的房源所在片区的个数的分布列与期望.解⑴设对每位申请人的观察为一次试验，这是4次独立重复试验.记“申请A片区房源”为事件A则PA=.从而，由独立重复试验中事件A恰发生2次的概率计算公式知，恰有2人申请A片区房源的概率为1Yr2丫8P42=C3--=枳.2片的所有可能值为

123.又产«=1=*=』，Pk2=CCC#C©=、或p『=Cq-2=畀尸『=等或依=3=殍里台综上知，e的分布列为XX1X2•••Xi•••PP\P2•••Pi•••PnXX\X2•••Xi•••XnpPiP2••♦Pi•♦•PnX—101P121316日销售量（件）0123频数1595X23P1434X—101P1216a动作KD得分100804010概率34\4344动作KD得分9050200概率9W1To9ToiToX507090110P19981100100100100234P353To1To123P127142749。