常用的参数曲面

六、Bezier曲面基于Bezier曲线的争论，我们可以便利地可以给出Bezier曲面的定义和性质，Bezier曲线的一些算法也可以很简洁扩展到Bezier曲面的状况L定义设舄01，…，芯j=01…M为伽+1X刑+1个空间点列，则加X力次张量枳形式的Bezier曲面定义为甘山片Bv=1-vn~3M苴n热/尢如中/其中八歌‘旅/是Bernstein基函数依次用线段连接点列号L…‘/八…㈤中相邻两点所形成的空间网格，称之为特征网格Bezier曲面的矩阵表示式是在一般实际应用中，多初不大于

42.性质除变差减小性质外，Bezier曲线的其它性质可推广到Bezier曲面Bezier曲面特征网格的四个角点正好是Bezier曲面的四个角点即尸00=为PLO=Ro尸0，D=%，尸，1二月明Bezier曲面特征网格最外一圈顶点定义Bezier曲面的四条边界；Bezier曲面边界的跨界切矢只与定义该边界的顶点及相邻一排顶点有关，旦二阶导矢只与定义该边界的顶点及相邻两排顶点有关3几何不变性4对称性5凸包性

3.Bezier曲面片的拼接如图所示，设两张mXn次Bezier曲面片分别由掌握顶点尾和“定义假如要求两曲面片达到G°连续，则它们有公共的边界，即:于是有2=册，G=O，1，…，㈤假如又要求沿该公共边界达到连续，则两曲面片在该边界上有公共的切平面，因此曲面的法向应是跨界连续的，即下面来争论满意这个方程的两种方法⑴鉴于式尸

（1））=°（°A）最简洁的取解是这相当于要求合成曲面上V为常数的全部曲线，在跨界时有切向的连续性为了保证等式两边关于V的多项式次数相同，必需取（一个正常数）于是有即ii-00=a（晶-月-G（a0/=01，…，⑼

（2）方法一使得两张曲面片在边界达到G1连续时，只涉及曲面尸，？）和）的两列掌握顶点，比较简洁掌握用这种方法匹协作成的曲面的边界，u向和v向是光滑连续的但实际上它的限制是苛刻的为了构造合成曲面时有更大的敏捷性，Bezier在1972年应用了更具普遍性的G】连续条件这仅仅要求Q？）位于AQy）和40））所在的同一个平面内，也就是曲面片尸日）边界.上相应点处的切平面，这样就有了大得多的余地，但跨界切矢在跨越曲面片的边界时就不再连续了同样，为了保证等式两边关于v的多项式次数相同，a须为任意正常数，NW）是v的任意线性函数

4.Bezier曲面的deCasteljau生成算法Bezier曲线的递推（deCasteljau）算法，可以推广到Bezier曲面的情形若给定Bezier曲面特征网格的掌握顶点与（°工…芯/L…㈤和一对参数值（uOvO）则递推公式为或上面给出了确定Bez曲面上一居点的两种方案当狡第八和方案执行时，先以u参数值对掌握网格u向席r住1卜四啊伊行删组用Ca#ljm朔法1即微筠推后，得到沿v向由n+!个顶点喀（眇柳他印炳褶形通以1磅壑解■坳行曲线的deCasteljau算法，n级能推以后，4到一个裔惭求向幅上的点后可放底期欠式方案执行，先以v参数值对掌握网格沿v向的m+1个多边形执行n级递推，得沿u向由m+1个顶点端=…〃7）构成的中间多边形再以u参数值对它执行n级递推，得所求点/丁

七、B样条曲面.定义基于B样条曲线的定义和性质，可以得到B样条曲面的定义给定+个空间点列〃=01…m;j=O]•••!!则定义了Zx/次B样条曲面，Ny（〃）和N）（w）是k次和/次的B样条基函数，〃和卬为B样条基函数和N〃（w）的节点参数，由P”组成的空间网格称为B样条曲面的特征网格上式也可以写成如下的矩阵形式上式中rs分别表示在uw参数方向上曲面片的个数Pkl是某一个B样条曲面片的掌握点编号.匀称双二次B样条曲面已知曲面的掌握点写=012）参数〃，卬，且〃，卬£

[01]k=l=2构造步骤是a、沿卬向构造匀称二次B样条曲线，即有经转置后匕（卬）二％同上可得P（（W）=[PIO匕九加）厂，尸2（卬）二[尸20尸21尸2』M W、b、再沿〃向构造匀称二次B样条曲线，即可得到匀称二次B样条曲面简记为S（uw）=UMHPM^WT..匀称双三次B样条曲面已知曲面的掌握点=0123）参数〃，卬，且〃，卬£[0，U，k=l=3构造双三次B样条曲面的步骤同上述a、沿卬向构造匀称三次B样条曲线，有匕（卬）二[七％心儿]MW，P.（vp）=[P10监％]见『，尸2（卬）=[心名尸22尸2』引旷，巴（卬）=[八0心七巴」冏口b、再沿“向构造匀称三次B样条曲线，此时可认为顶点沿滑动，每组顶点对应相同的当值由0至I1连续变化，即形成匀称双三次B样条曲面此时表达式为3-31-630030410

八、NURBS曲面由双参数变量分段有理多项式定义的NURBS曲面是这里掌握顶点47=01…，〃疗=01…〃呈拓扑矩形阵列，形成一个掌握网格例j是与顶点联系的权因子，规定四角顶点处用正权因子即例）0七„0，口（）”„〃0其余^.70N）01…〃2和分别为〃向k次和v向1次的法律规范B样条基它们分别由〃向与v向的节点矢量u=［沏必，…〃…=［%匕「乙+/+1］打算。