第五届高数竞赛文科类答案

南昌大学第五届高等数学（文科类）竞赛试题参考答案

三、（本题满分10分）sinx-xcosxsinx+xcosxx4sinx-xcosxsinx+xcosxX3sinx-xcosx-p.2

四、（本题满分10分）\+1+x—1~dx7=arctanx-l+x+，；+C由71=4得c=

3./x=arctanx-l+x+F

3.

五、（本题满分10分）解除了原点，设直线y=Zx与抛物线y=2x（2-x）交于（ckc）那么J4x-2x2-kxdx+Jkx-4x+2x21dx=2k2x2--x3--kx232/of1z2c223+-kx-2xH—x12322c2--c3--kc232又2c2-c=kc联立，解得c=V4，^=4—2^

4.

六、（本题满分12分）11解f-4（必）一JW（x）dx（）在方程/（%）=jev（v）dy中，令％=1得o/1=jey2-ydy=jey^dy=

0.再在方程f[x}=\e^dy两端对％求导，得/（%）=-e01-x29因此jf{x}dx=—jxfr[x}dx--Jxfr[x}dx11=xe]~xdx=xe003dx=e-1—e2\-x=geT.

七、本题满分14分解设函数fx=ax2e~A-1/zx=2axe一一ax2e~x=ax2-xe~A.令/，%=0得函数/%的驻点X]=0x2=

2.由于a0所以lim/x=limax2e~A-l=+ooX—X--oolimfx=lim{ax1e~x-1=alim--\-alim--\-alim--1=-l.X-+00X-+007X--KC/X--KOgXX-+00/因此，得函数了⑴的性态1若4q£-2-i〉o即〃a时函数/%=〃/^-工_]在_

80、@22+oo内各有一个零点，即方程/=I在_8+8内有3个实根.22若4〃6一2一1=0即4=7时，函数/1=Q/g-i_1在_800+8内各有一个零点，即方程屐=％2在_8+8内有2个实根.23若42一10即时，函数/xWgT_]在_80有一个零点，即方程/=〃/在_夕+00内有1个实根.

八、本题满分14分证明设％w

[24]则/%=/8x—2w2x;/%=尸©2九-4星G%，

4.令M=max|ra|则有2x4p1fxW-2fxM4-xj2|/x|6/xj^Mx-2dx+j^M4-xdxMM122X—00-800，222+co+00fM—0+0—7%+00—1T4ae~2-1J—1。