立体几何典型例题

典型例题例.一个长方体沙坑得长是8米，宽是

4.2米，深是

0.6米，每立方米沙土重

1.75吨，填平这个沙坑共要用沙土多少吨？分析已知每立方米沙土重

1.75吨，求共要用沙土多少吨，必须先求出共要沙土多少立方米，即先求出沙坑得容积.解

1.75X（8X

4.2X

0.6）=

1.75X

20.16=

35.28（吨）答共要沙土

35.28吨.典型例题例.一个正方体得铁皮油箱，从里面量得棱长为6分米，里面装满汽油.如果把这箱汽油全部倒入一个长10分米、宽8分米、高5分米得长方体铁皮油箱中，那么，油面离箱口还有多少分米？分析根据题意，可先求得正方体铁皮油箱得汽油体积为6X6X6=216（立方分米）而长方体油箱底面积是10X8=80（平方分米），所以，汽油在长方体铁皮油箱里得高度是216+80=

2.7（分米）.因此，油面离油箱口得高度就是5-

2.7=23（分米）答油面离油箱口还有

2.3分米.典型例题例.一个正方体木头得棱长为3米，从每个面得正中挖出一个边长为1米得正方形洞直至其对面，洞得边分别平行于正方形得边.

（1）求剩下得木头得整个表面积（包括内部表面积）

（2）求剩下得木头得体积.分析

（1）首先，挖去三个孔之后，原正方体得六个面上还剩卜.得面积为32X6一〃X6平方米，现在得问题是挖去孔之后内部得表面积如何求？而难点再这三个孔在正方体得中心交汇，怎么计算内部得表面积呢？实际上三个孔交汇得得方是一个楂长为1米得正方体，相当于每个孔在中间挖去了一个楂长为1米得正方体剩下得上下部分（或前后、左右部分）得侧面积属于所求得表面积得一部分，这上、下部分（或前后、左右部分）得侧面积为4X2X1平方米，三个孔共为3X4X2X1平方米.

（2）由原正方体得体枳减去三个孔得体枳加上两个棱长为1米得正方体得体积即可.解

（1）32X6-12X6+3X4X2X1=54-6+24=72（平方米）

（2）33-3XI2X3+2XI3=27-9+2=20（立方米）答（I）剩下木头得整个表面积为72平方米.

（2）剩下得木头得体积是20立方米.典型例题例.一个正方体木块，表面积是16平方米，如果把它截成体积相等得8个正方体小木块，每个小木块得表面积是多少？分析1观察上图，可以发现，要把一个正方体木块截成体积相等得8个小正方体木块，只要沿着每条楂与对棱得中点切下去即得.再观察，可以进一步发现，切成得每一小块正方体得表面积恰有三个面是属于原正方体得表面，另三个面是新增加得.所以8个小正方体得表面积之和就是原正方体表面积得两倍.解法116X24-8=4（平方分米）分析2设原正方体木块得棱长为x分米，则6/=16（这里得x目前无法求出，要到中学才能求出来）把木块截成体积相等得8个正方体小木块，则正方体小木块得棱长为X+2分米，所以正方体得表面积为6X（X-r2）X（X-r2）.解法2设原正方体得棱长为x分米.6X（x4-2）X（%4-2）=6x24-4（因为6，=[6）=164-4=4（平方分米）答每个小正方体得表面积是4平方分米.典型例题例.长方体货仓1个，长50米，宽30米，高5米，这个货仓可以容纳8立方米得正方体货箱多少个？分析已知正方体货箱得体积是8立方米，可以知道正方体货箱得棱长为2米.货仓得长是50米，所以一排可以摆放50+2=25个，宽是30米，可以摆放30+2=15排，高是5米，可以摆放5+2=2层……1米，所以一共可以摆放25义15义2=750个.（如图）解504-2=25（个）304-2=15（排）5+2=2层……1米25X15X2=750（个）答可以容纳8立方米得正方体货箱750个.25个说明如果此题先计算长方体货仓得体积（50X30X5=7500立方米），然后再除以立方体得体积8立方米（7500+8=

937.5个）是不对得.因为货仓得高是5米，立方体得棱长2米，只能摆放2层，上面得1米实际上是空得，没有摆放货箱.典型例题例.在长为12厘米、宽为10厘米、8厘米深得玻璃缸中放入一石块并没入水中，这时水面上升2厘米.石块得体积是多少？分析把石块浸没在装水得长方体玻璃缸中，石块占有一定得空间，从而使水得体积增大它得具体表现就是水面上升，不管石块得形状如何，只要求出增加得体积就可以了（即石块得体积）.解12X10X2=240（立方厘米）答石块得体积是240立方厘米.例.把棱长6厘米得正方体铁块锻造成宽和高都是4厘米得长方体铁条，能锻造出多长？分析我们不难看出，棱长6厘米得正方体和要锻造得长方体得体积相等，只不过形状不一样，这类题叫等积变形题.只要求出正方体得体积就是长方体得体积了.解:6X6X64-44-4=

13.5（厘米）答能锻造

13.5匣米长.典型例题例.一段方钢长3米，横截面是一个边长为04分米得正方形.如果I立方分米得钢重

7.8千克，那么这段方钢有多重？分析题目中得长度单位不统一，为计算得方便，可都化成以分米为单位来进行计算.解3米=30分米

0.4X

0.4X30=

4.8（立方分米）

7.8X

4.8=

37.44（千克）答这段方钢得重量是

37.44千克.典型例题例.把一根长6米得方木（底面是正方形）锯成三段，表面枳增加了9平方分米，原来这根方木得体积是多少立方米？分析把方木锯成三段，要锯两次，锯一次表面积增加底面面积得2倍，锯两次表面积增加底面面积得4倍，所以底面面积为9・4（平方分米），已知长和底面面积，方木得体积可求.解6米=60分米94-4X60=135（立方分米）=

0.135（立方米）答原来这根方木得体积是（）.135立方米.典型例题例.一根长方体形状得木料，把它截成两段后，正好是两个完全一样得立方体，表面积增加了32平方分米，这根长方体木料得体积是多少？分析木料截成两段增加了两个底面，木料得底面积是32+2=16平方分米.因为截得了两个一样得正方体，可知原木料得高是底面边长得2倍，而16=4底面边长是

4.解324-2=16平方分米=4216X4X2=128立方分米答这根木料得体积是128立方分米.典型例题例.有一个空得长方体容器A和一个水深24厘米得长方体容器8将容器8得水倒一部分到4使两容器水得高度相同，这时两容器相同得水深为几厘米？分析1容器A得底面积是40X30容器B得底面积是30X2040X304-30X20=2即A得底面积是B得底面积得2倍，8中得水倒一部分到A使A、8两容器水得高度相同，所以这个水深为24+2+1=8厘米.解法I24+[40X30+30X20+I]=244-3=8厘米分析2设这个相同得水深为x厘米，则B中倒出得水深为24—X厘米，倒出得水为30X20X24—x立方厘米，这些水就全部在A中，A中得水有40X30XX立方厘米，故可得方程.解法2设这个相同得水深为x厘米.40X30Xx=30X20X24-X24-x=40X30X30X2024—x=2x3x=24x=8答这个相同得水深是8厘米.例.有沙土12立方米，要铺在长5米，宽4米得房间里，可以铺多厚？分析此题要把12立方米得沙土铺在房间里，也就是铺成一个长5米、宽4米、厚x米得长方体，我们就可以用方程法求出所求问题了.这题是一道利用体积计算公式逆解得题.遇到此类题用方程法解即可.解设可铺x米厚.4X5Xx=12x=

0.6答可以铺

0.6米厚.典型例题例.一个长方体得底面长6厘米，长是宽得

1.2倍，宽比高少

0.5厘米，这个长方体得体积是多少立方厘米？分析这道题要求得是长方体得体积，求体积就必须知道长方形得长、宽、高.此题只直接给出了长，宽和高是间接给出得，因此应先用求一倍量得方法求出宽，再根据“求比一个数多几得数是多少”得题型算出高，最后用公式丫=力算出体积就可以了.解64-

1.2=5（厘米）54-

0.5=

5.5（厘米）6X5X

5.5=165（平方厘米）答这个长方体得体积是165平方厘米典型例题例.把一个棱长6分米得正方体钢坯，锻造成一个宽3分米，高2分米得长方体钢件，这个钢件长多少分米？分析把正方体钢坯锻造成长方体钢件，形状改变了，但是体积没有改变，即正方体得体积和长方体得体积相等.已知长方体得宽和高，用体积除以宽，再除以高，就可以求出长.解6X6X64-34-2=216+3+2=36（分米）。