导数的概念教学课件

深入浅出地掌握导数概念导数是微积分中的核心概念本课程旨在帮助学生深入理解导数的定义、计算、应用及方法，让学生可以轻松掌握这一重要概念导数的定义什么是导数？导数是用于描述函数在某一点的斜率的量，也是函数的变化率，表示函数图像在该点的瞬时变化程度导数的公式导数可以用极限的方式来定义，表示函数在处的导数的公式为fx x=afa=limh→0[fa+h-fa]/h为什么要学习导数？导数不仅是微积分学科的基础，也是数学、物理等科学领域中重要的分析工具理解导数对于提升数学素养及解决实际问题都有非常重要的帮助导数的基本性质可加性1如果函数和都有导数，那么它们的和或差也有导数fx gx乘法法则2如果函数和都有导数，那么它们的乘积就有导数，且导数等于的导fx gxfx数乘以再加上的导数乘以gx gxfx链式法则3如果函数是函数在函数内部的叠加，那么在处的导数等于Fx gxfx Fxx=a g在处的导数乘以在处的导数fa fa导数的计算方法求导公式链式法则乘法法则通过一些常用的求导公式和法链式法则是求导中常用的方法乘法法则可以帮助对两个函数则可以简化导数的求解过程之一，帮助求出由很多函数重的乘积求导组拼合而成的复合函数的导数导数的几何意义斜率1导数表示函数在某一点的斜率如果导数为正，在这一点上函数增加；如果导数为负，在这一点上函数减小切线2函数的导数也是该函数曲线斜率最大的线，也就是曲线在这个点的切线切线与横轴夹角的正切值等于这个点的导数轨迹3导数揭示了函数曲线的某些特征，帮助我们理解曲线的图形和其构成原理导数应用实例最优解问题物理问题经济学问题确定函数的最大值或描述位置、速度、加分析效用函数，解决•••最小值速度等物理量随时间某些最优化的消费问变化的规律题帮助决策问题中做出研究产量与因素成本••最理性的选择帮助理解并解决轨迹、的关系，解决最优化•速度、加速度等匀变的生产问题速运动问题导数与曲线的关系最大值和最小值1当导数为时，曲线有转折点，可能0是最大值或最小值绝对值的导数2绝对值函数不光滑，在处的导数x=0不存在但是向左趋近于的导数是0-导数为正的情况3，向右趋近于的导数是10+1导数为正表示函数在这个点上单调递增，曲线向上缓慢地变化导数越大，表明曲线越陡峭，变化越快导数与最值问题一元函数的最值问题要确定的最大值或最小值，只需以下两步fx求出所有的导数为的点；比较这些点的坐标，即可确定的最大值或最小值

1.0x

2.x yfx多元函数的最值问题对于多元函数，先求出所有偏导数为的点，然后判断每个点是极大值、极小值还是鞍点0高阶导数的概念二阶导数阶导数泰勒公式12n3函数的导数的导数如果导数存在，则可以通过泰勒公式，可以将fx称为二阶导数，表示函定义二阶、三阶乃至任意一阶可导函数在某n数曲线的弯曲程度阶导数导数的阶数越个点周围展开为一个级“”高，函数曲线的特征越数明显拐点和最值点的求法拐点的求法最值点的求法曲线绘制拐点就是函数曲线上的点，它通过求导数，将导数为零的点导数可以帮助我们知道函数曲的斜率由正数变成负数或者由找出来，再将这些点与两端点线的大致方向和特征在给出负数变成正数，函数的凹凸性的函数值进行比较，便可以找一定条件的前提下，可以合理也因此改变拐点可以通过二到函数极值点地绘制函数曲线的形状、特征阶导数来判断和重要点导数运算法则求导常数1对于常数，它的导数等于，即C0dC/dx=0复合函数求导2复合函数的导数可以通过链式法则来计算，对外层函数求导，然后将内层函数也对该变量求导，并将两个结果反函数求导3相乘如果函数的反函数为，那么fx gxgx=1/fgx平均变化率和瞬时变化率平均变化率瞬时变化率平均变化率是指一个函数在两个点之间瞬时变化率是指一个函数在某一点的变••的变化率化率它是通过两个点之间的斜率来计算得出的它是通过函数在这个点的导数来计算得••出的平均变化率等于两点之间的差值两点•y/之间的差值瞬时变化率等于函数在这个点的切线的x•斜率常见函数的导函数表fx fxc0x^n nx^n-1e^x e^xlnx1/xsinx cosxcosx-sinxtanx sec^2x导数应用于物理问题的实例物体匀变速运动1导数可以帮助描述物体在做匀变速运动时的加速度、速度和位移距离空气阻力问题2导数可以帮助我们理解和解决物体在空气中运动时所受到的空气力和加速度的变化情况热力学问题3导数可以帮助分析热力学循环过程中的变化率、效率等问题，从而优化过程隐函数求导法则什么是隐函数？隐函数是指用一个未解出来的变量作为因变量，将函数关系式表示为方程的形式，通常由于不能直接表示出因变量而采用的一种方法隐函数求导法则通过使用解析几何中的技巧，可以求出隐函数的导数这样就可以计算无法显式表示的函数的导数极值的求法一元函数的极值1要求出一元函数的极值，需要找到导数为或不存在的点，并且比较它们所对应0的函数值这些点就是函数的极值点多元函数的极值2对于多元函数，需要求出偏导数等于的点，然后比较这些点所对应的函数值，0找到极大值和极小值边角情况3极值问题需要考虑边界情况，比如函数在定义域的两侧都有定义此外，还需要考虑定义域中可能存在的断点初始化导数的概念初始化导数与微分完备性1初始化导数是微积分领域中的一个重要概念，指导数的计算与变换的一种方法微分完备性是指导数存在于上下极限之间，在微积分中是非常基础和重要的性质初始化导数的作用2初始化导数具有减轻工作量、简化运算、求解高阶导数等作用，常被应用到数学、物理、工程等领域微积分基础知识数学基础知识物理及工程应用实际问题的解决微积分可以帮助我们理解和掌在物理和工程领域，微积分具微积分可以帮助我们解决实际握数学中的许多基础概念，比有广泛的应用，比如质点运动问题，比如金融、商业、生态如函数、极限、连续值、洛必学、力学、电磁学、热力学等学、环境科学等方面的问题达法则等导数的重要性不同领域中的应用1导数作为微积分的基本概念，在不同领域中都有着广泛的应用，可以用来解决各种实际问题计算机科学中的应用2计算机科学中许多算法都涉及到导数的计算，比如机器学习、数据挖掘等领域理解更深层次的数学和物理概念3精通导数的原理和方法，可以帮助我们更好的理解和掌握更高级别的数学和物理内容导数与微分的关系导数和微分是相关的微分的应用12导数是微分的一种表示方法，一阶导数就微分广泛应用于物理、工程和生物学等领是微分微分是导数的积分，反之亦然域，用于描述曲线的切线、速度和加速度，以及动力学、流体力学、电力系统等领域中的各种问题导数的理解和掌握技巧图像直觉记忆公式和规律练习问题和案例通过观察图像来推导出导数通过记忆求导公式和规律，通过练习求解不同类型和难的变化情况，这是理解导数可以轻松快速地求解导数度的练习问题和案例，可以的直觉方法更全面地掌握导数。