排列组合综合问题.[五篇范例]

排列组合综合问题五篇范例第一篇排列组合综合问题文件科目数学年级高中章节.[]关键词排列组合综合标题排列组合综合问题内容.[]sxgdja

0017.doc[][][]北京市东直门中学吴卫教学目标[]//[][]通过教学，学生在进一步加深对排列、组合意义理解的基础上，掌握有关排列、组合综合题的基本解法，提高分析问题和解决问题的能力，学会分类讨论的思想教学重点与难点.重点排列、组合综合题的解法难点正确的分类、分步教学用具投影仪教学过程设计...

（一）引入师现在我们大家已经学习和掌握了一些排列问题和组合问题的求解方法今天我们要在复习、巩固已掌握的方法的基础上，来学习和讨论排列、组合综合题的一般.解法先请一位同学帮我们把解排列问题和组合问题的一般方法及注意事项说一下吧生解排列问题和组合问题的一般方法直接法、间接法、捆绑法、插空法等.求解过程中要注意做到不重与不漏.师回答的不错解排列问题和组合问题时，当问题分成互斥各类时，根据加法原“”“”.理，可用分类法；当问题考虑先后次序时，根据乘法原理，可用位置法；这两种方法又称作直接法当问题的反面简单明了时，可通过求差排除采用间接法求解；另外，排列中相邻问题可以用捆绑法；分离问题可能用插空法等解排列问题.和组合问题，一定要防止重复与遗漏（教师边讲，边板书）互斥分类分类“”“”“”“”.法先后有序位置法反面明了排除法相邻排列捆绑法分离排列插空“”“”.——法————————

（二）举例师我下面我们来分析和解决一些例题（打出片子例）例有个人，按照下列要求分配，求不同的分法种数（）分为两组，一组.——1人，一组人；

112.17（）分为甲、乙两组，甲组人，乙组人；（）分为甲、乙两组，一组5人，一组人；（）分为甲、乙两组，每组人；（）分为两组，每组人；27537（）分为三组，一组人，一组人，一组人；54656（）分为甲、乙、丙三组，甲组人，乙组人，丙组人；（）分为甲、526543乙、丙三组，一组人，一组人，一组人；（）分为甲、乙、丙三组，每组75438人；（）分为三组，每组人

54394104.（教师慢速连续读一遍例，同时要求学生审清题意，仔细分析，周密考虑，独立地求解这是一个层次分明的排列、组合题，涉及非平均分配、平均分配和排列组1合综合各小题之间有区别、有联系，便于学生分析、比较、归纳，有利于学生加.深理解，提高能力）师请一位同学说一下各题的答案（只需要列式）.生（），（），（）都是；（），（）都是；（），.（），（）都是（），（）都是；师从这7566123c1245c126个同学的解答中，我们可以看出他对问题的考虑分先后次序，用位置法求解是掌握78c5c654344c12910c12c7c3c84c4了的但是还请大家审清题意，看（）与（），（）；（）与（）；（）与（），（）；（）与（）是否分别相同，有没有出现重复和遗漏的问题.312548（找班里水平较高的一位学生回答）生（）和（），（）；（）和（）；67109“”“”.（）和（），（）；（）和（）并不相同（），（），（），（）31254的答案都错了，既出现了重复也出现了遗漏的问题（）的答案是

867109.35810（）是；“”“”.3ccp312552；（）是（）是（教师在学生回52答时板书各题答案）6644c12c6c12c84c454338c12c7c3p310p22p33师回答的正确，请说出具体的分析生（）把人分成甲、乙两组，一组人，一组人，但并没有指明甲、乙谁是人，谁是人，所以要考虑甲、乙的.3127顺序，再乘以；（）也是同一道理（）把人分成两组，575每组人，如果是分成甲组、乙组，那么共有种不同分法，但是（）只p

28.512要求平均分成两组，这样甲、乙组两元素的所有不同排列顺序，甲乙、乙甲666c125共个就是同一种分组了，所以（）的答案是；（）的道理相c62同师分析的很好我们大家必须认识到，题目中具体指明甲、乙与没有具p2266c12c6510体指明是有区别的如果在解题过程中不加以区别，就会出现重复和遗漏的问.2p2题，这是解决排列、组合题时要特别注意的例中，（），（），（），.“”“”（）都是非平均分配问题，虽然（），（）都没有指出组名，而（），（）.1126给出了组名，但是在非平均分配中是一样的这是因为（），（）不仅给出了组71627名，而且还指明了谁是几个人，这一点上又与（），（）有差异（），（）.27给了组名却没有指明谁是几个人题中（），（），（），（）都属于平均分

38.38配问题，在平均分配中，如果没有给出组名，一定要除以组数的阶乘如果个.45910人分成三组，其中一组人，另外两组都是人，求所有不同的分法种数这里有12不平均（一组人），又有平均（两组都是是人）怎么办生分两步完成

25.第一步个人中选人的方法数；第二步剩下的个人平均分

25.

53.成两组，每组人的方法数，根据乘法原理得到，共有种122c21210不同的分法师很好大家已经理解了不平均分配的、平均分配，以及部5555c10c5c10c525c12分平均分配的计算，部分平均.22p2p2分配问题先考虑不平均分配，剩下的仍是平均分配，平均分配要商除这样分配问题已彻底解决了请看例题..

2.（打出片子例）（）男女排成一排，女相邻；（）男女排成一排，女不能相邻；——2（）男女排成一排，同性者相邻；（）男女排成一排，同性者不能相邻16222622（教师读题、巡视）师请一位同学说出（），（）的答案

344444.生甲＝；＝

12.师完全正确他是用捆绑法解决相邻问题的，把女捆绑在一起看成一组，872n1p77p22n2p8p7p2与男共组，组外排列为，女生组内排列为，得女相邻排法数＝“”2“”；（）是用捆绑法结合排除法来解得，从总体排列中排除得67p77p22n1女不相邻的排法数＝p77p222p88n12n2（教师的复述是为了使水平较差学生明白解题思路，了解分析方法，真正理解解2p88p77p22法）师（）的不相邻的分离排列还有没有其它解法生乙可以用插空法直接求解男先排实位，再在个空位中排女，共有＝种不同排法（板2书（），（）算式）.672n2p66p

72.师对于（）的两种解法思路不同，但殊途同归，结果一样，都是正确的两种解12法解决分离问题是否都很方便呢试想，如果男女排成一排，女都不能相

2.邻与一样吗大家动手计算一下“533生前者是，后者是，不一样，肯定有问题师是什么“p88p66p33p55p

63.生女相邻

3600014400.p66p33师女相邻的反面是什么生是女不都相邻，其中有女相邻，

3.不是女都不相邻3p8p6p332师这一例题说明什么生不相邻的分离排列还是用插空法要稳妥一些

3.师请大家下课后想一想，用捆绑法结合排除法能否解决上述问题，如果能解决，.应该怎么做我们继续分析和解决（），（）两小题＝；＝（板书（），（）的算式）

34.86354n3p33p44p44师非常正确（）吸取了（）的教训，没有用，并且没n42p44p

44.34有简单的用83444442p8p3p4p4插空，而是考虑到了男、女都要排实位，否则会出现（板书）p4p5（女男男女男女男女）两男或两女相邻的问题这时同性不相邻必须男女都排好，.即男奇数位，女偶数位，或者对调.（通过对例的讨论和分析，能够帮助学生对于分离排列、排除法以及插空法有.更清楚的认识，只有这样学生才会找到合理的解法，提高分析和解决问题的能2力）师我们再来看一个例题（打出片子例）..——3例某乒乓球队有男女共名队员，现进行混合双打练习，两边都必须是男女，共有多少种不同的搭配方法（教师朗读一遍例后巡视）师请同学387151说一下答案13生＝（板书此式）师怎么分析的呢.生每一种搭配都需要男女，先把名队员选出来，有种选法，然224n c

8.c7p4后考虑人的排法，故乘以22224c8c7师选出的名队员做全排列，那么（板书）男男、女女行吗生不4p44行，有重复了，应该乘以什么呢师这就需要我们再把问题想想清楚了，当选4a b a b出男女队员进行混合双打时，有几种搭配方法呢（板书）男男女“”以上四种吗生不是与，与属于同22——一种，只有种搭配，应该乘以

①aabb

②abba

③baab

④bbaa

③②④①师这就对了，还可以用下面的思路先在男中选男各据一侧，

22.是排列问题，有种方法；再在女中选女与之搭配，是组合问题，有

22.n=2c8c782种方法，一共有种搭配方法（板书）222p8272解法解法c7n=p8c

7.师最后看例（打出片子例）221n=2c8c7222n=p8c7例高二（）班要从名运动员中选出名组成米接力队，参加校运会，554——4其中甲、乙二人都不跑中间两棒的安排方法有多少种（教师读题，引导分析）41744×100师从人中选人分别安排第

一、74

二、

三、四棒这四个不同任务，一定与组合和排列有关，对甲、乙有特殊要求，这就有了不同情况，要分类相加了先不考虑谁跑哪棒，就说人的选择有几类情况呢生三类，第一类，没有甲乙，有种选法；第二类，有甲没乙或有乙没甲，.4有种选53c4法；第三类，既有甲也有乙，有种选法2c5师如果把上述三类选法数相加再乘以行不行生不行，对于上面三类不2c

5.同选法，并不能都有种安排方法考虑甲、乙二人都不跑中p44间两棒，应有不同的安排方法数是p

44.师第二项中的是什么意思呢生第二类中甲、乙两人只有人选中44313222n=c5p42c5p2p3c5p2p

2.时，甲（乙）的排法数量是，其他三人的排法数是p21p331p21p

33.师很好，这个排列组合综合题在求解中的分类十分重要，大家要认真体会，了解其思路和方法

（三）小结.我们通过对个例题的分析和讨论，总结了分配问题，分离排列问题的解法，以及排列、组合综合题的解法4解排列、组合综合题，一般应遵循先组后排的原则解题时一定要注意不重复、.不遗漏.

（四）作业.四名优秀生保送到三所学样去，每所学样至少得名，则不同的保送方案总数是种（

1.1）.有印着，，，，，的六张卡片，如果允许当作用，那么从中任意以23c4p336组成多少个不同的三位数（或）

2.01357996课堂教学设计说明6p2c4p2p22c4p3c4p2p2p4152关于排列组合的应用题，由于其内容独特，自成体系；种类繁多，题目多变；解法5p4c1c4p2152别致，思维抽象；条件隐晦，难以捉摸；得数较大，不易检验所以这一课历来是学生学习中的难点为了降低解题的难度，在教会学生基本方法的同时，一定要使.学生学会转化，分类的思想方法，将复杂的排列、组合综合题转化为若干个简单的.排列、组合问题基于这一点，在例题的选排上，特别安排了例，在复习巩固前面所学基本解法的基础上，总结了分配问题的解法，并引出了简单的排列组合综合.1问题通过例来讨论排列中常见的相邻排列和分离排列问题，以及排除法、插空法等解法在应用中需注意的事项例.

2、例是典型的排列、组合综合题，分别侧重了分步和分类两个难点

2111211233212256.教学方法上，以问答形式，通过讨论分析，引导学生正确思维，培养学生分析问题

34.和解决问题的能力操作过程中也要根据学生的具体情况，采取多变的方式学生配合的好，就以学生为主，学生回答问题不尽如人意时，就需要教师在提高语言、方..式等方面多做文章，或以教师的讲授为主.57第二篇排列组合常见问题答案学大教育科技（北京）有限公司58教学设计方案排列组合问题常见解法排列组合问题是高考考察的重点，每年必考内容，常是一个选择题或一个填空题，分值为分，难度为中等难度，在分布列计算中也常用到排列组合的计算，先将排列组合问题解法介绍如下，供同学们参考5

一、元素分析法在解有限定元素的排列问题时，首先考虑特殊元素的安排方法，再考虑其他元素的排法例（全国）安排位工作人员在月日至月日值班，每人值班一天，其中甲、乙二人都不安排在月日和日不同的安排方法共有10675157种（用数字作答）512解因甲、乙二人都不安排在月日和日，所以先安排甲、乙，在月日至月日天中选天安排甲、乙有种方法，再安排其余人，有种51253方法，故共有种5752a525a55

二、位置分析法a55a52=2400在解有限定位置的排列问题时，首先考虑特殊位置的安排方法，再考虑其他位置的排法例题同例解因月日和日不能安排甲、乙，所以先安排月日、日，在除甲、乙外人中选人安排到月日、日，有种方法，再2151251安排其余天，有种方法，故共有种252512a52

三、间接法又叫排除法，在解有限定条件的排列问题时，首先求出不加限定条件的5a55a52a55=2400排列数，再减去不符合条件的排列数例题同例解安排人在月日至月日值班，有种方法，其中甲、乙二人都31安排在月日和日有种，甲、乙仅一人安排在月日和72575157a7日有种不同的安排方法共有种512a2a51125725112551

四、树图法2c2c5a2a5a7-a2a5-c2c5a2a5=2400又称框图法，用树图或框图列出所有排列（或组合），从而求出排列数适合限定条件在个以上，排列组合问题例已知集合，，，，，，在从集合到集合的所有映射3中，满足（）（）（）的映射有多少个4m={a bc}n={10-1}m nf解满足条件的映f a+f b=f c所以满足条件的映射有个

五、逐一插入法7若干元素必须按照特定的顺序排列的问题，先将这些特殊元素按指定顺序排列，再将普通元素逐一插入其间或两端“”“”例（湖北）某工程队有项工程需要单独完成，其中工程乙必须在工程甲完成后才能进行，工程丙必须在工程乙完成后才能进行，有工程丁必须在工程丙完成5066后立即进行那么安排这项工程的不同排法种数是（用数字作答）6解（逐一插入法）先将工程甲、乙、丙、丁按指定的顺序排成一排，有种方法，将丙丁看成一项工程，再在甲、乙、丙（丁）之间和两端的个空档安排其1余项工程项工程，有种方法，再在这项工程之间和两端4第页21a44学大教育科技（北京）有限公司1学大教育科技（北京）有限公司教学设计方案1的个空档安排其余项工程，有种方法，所以共有种方法

六、消序法11151a5a4a5=20若干元素必须按照特定的顺序排列的问题，先将所有元素全排列，再将特殊元素在其位置上换位情况消去（通常除以特殊元素的全排列数），只保留指定的一种顺序例（江苏）今有个红球、个黄球、个白球，同色球不加以区分，将这个球排成一列有种不同的方法（用数字作答）6062349解先将个球排成一排有种不同的方法，其中，个红球有排法，个黄球有排法，个白球有排法，因同色球不加以区分，所以个红球、9a992a223个黄球、个白球都各有中排法，消去它们的顺序得将这个球排成一列有a334a423种4194

七、优序法a922944aaa33=1260若干元素必须按照特定的顺序排列的问题，先从所有位置中按特殊元素个数选出若干位置，并把这些特殊元素按指定顺序排上去，再将普通元素在其余位置上全排“”列例（湖北）某工程队有项工程需要单独完成，其中工程乙必须在工程甲完成后才能进行，工程丙必须在工程乙完成后才能进行，有工程丁必须在工程丙完成7066后立即进行那么安排这项工程的不同排法种数是（用数字作答）6解先将丙丁看作项工程，再在个位置中选个位置，按指定顺序安排甲、乙、丙（丁）项工程，有种方法，再在其余个安排其余项工程，有153种方法，所以共有种方法3c5322a22

八、捆绑法a22c5=20若某些元素必须相邻，先把这几个相邻元素捆在一起看成一个元素，再与其他元素3全排列，最后再考虑这几个相邻元素的顺序例（辽宁）用、

805、

1、

2、

3、

4、

5、组成没有重复数字的八位数，要求与相邻，与相邻，与相邻，6与不相邻，这样的八位数共有781234567个（用数字作答）8解先将与、与

1、与各看成一个元素，将这个元素排成一排，有种方法，再在这个23元素之间和两端的个空档中选个安排与，有4563a33种方法，再排与

4378、与a

41、与的顺序，各有种方法，所以共有种方法，因每一种排法23对应一个八位数，所以这样的八位数共有个4562a3a423=257

九、插空法257332若某些元素不相邻，先将普通元素全排列，然后再从排就的每两个元素之间及两端2选出若干个空挡插入这些特殊元素例有一排个相同的座位，选个座位坐人，要求每人两边都有空位，这人有多少不同的安排方法解因个坐人的座位不相邻，用插空法，先将个空983335位排成一排有种方法，然后在个空位的空档选个空档安排坐人的个座位，有种不同的方法，这人有不同的安排方法15433

十、查字典法a4=24324对数的大小顺序排列问题常用此法（）先把每一个数字（符合条件）打头的排列数计算出来；（）再找下一位数字1例在由，，，，组成的所有没有重复数字的五位数中，大于且2小于的数共有

（101234523145）43521a.56b.57c.58第页d.60学大教育科技（北京）有限公司学大教育科技（北京）有限公司2教学设计方案3解首位为第二位为第三位为比大的数只有个；首位为第二位为第三位比大的数有122312314512个；首位为第二大于的数个；首位为的数有个；31a2a2首位为第二位比小的数有13134=423a2a3=123a424个；首位为第二位为第三位比小的数有个；首位为第二位为43a2a3=12第三位为比小的数有个所以大于且小于的数共有12435a2a2=44个354352112314543521

十一、分组问题1+4+12+24+12+4+1=58（）若各组元素个数均不相同，则逐组抽取（）若其中有若干组元素个数相同，则逐组选取，因元素个数相同，所以组间无1差别，故除以元素个数相同组数的全排列以消序2例（江西）将个人分成三个组，一组人，另两组人，不同的分组数为，则为

（1106732）a aa.105b.105c.210解先在人选人作为组，有种方法，再从其余人中选人作为d.210组，有种方法，再把余下人作为组有种方法，因后组人数相同，731c73421故应认为这组无序，应除以c4221c222不同的分组有种2a22

十二、隔板法∴c7c4c2a22322=105又叫隔墙法，插板法，件相同物品（个名额）分给个人，名额分配，相同物品分配常用此法n n m若每个人至少件物品（个名额），则件物品（名额）排成排，中间有个空挡，在这个空档选个空挡放入隔板，隔板种插法对应种分11n n1n-法，所以有种分法1n-1m-111若允许有人分不到物品，则先把件物品和块隔板排成一排，有个位cn1置，从这个位置中选个位置放隔板，有种方法，再将件物品放nm-1n+m-1入余下的位置，只有种方法，块隔板将物品分成块，从左到右可看成每m-1cn m1n个人分到的物品数，每种隔板的放法对应一种分法，所以共有1m-1m种分法1cn m例个颜色大小相同的分别放入编号分别为，，，，，的个盒中，1要求每个盒中至少放个小球，有多少种方法1291234566解（法）将个小球排成一排，个小球之间有个空挡，在这个空挡选1个空挡放个隔板，将个小球分成份，每份至少个球，将这份放到个199885盒中，有种方法596166（法）先给每个盒中放个球，然后将余下的个小球和块隔板排成一排，排c8=56列位置有个，先从个位置中选个放隔板，有种方法，再余下位置放2135小球只有种方法，块隔板将小球分成块，从左到右看成个盒所得球数，每885c8=56一种隔板放法对应种分法，故有种方法1566

十三、排列组合综合问题1c8=56排列组合综合问题，应先取后排；较复杂的排列组合问题，如含至多、至少、多个限定条件问题，注意分类讨论“”“”例（陕西）某校从名教师中选派名教师同时去个边远地区支教（每地人），其中甲和乙不同去，甲和丙只能同去或同不去，则不同的选派方案共有14068441种解由题知，若选甲，则必不选乙，必选丙，须从除甲乙丙外人中选人，有种方法；若不选甲，则必不52第页c5学大教育科技（北京）有限公司3学大教育科技（北京）有限公司教学设计方案3555m1m1m1选丙，须从除甲丙外人中选人，有种方法，再将选出的人分到个地区，有方法，所以不同的选派方案共有（）种64c6444例现有名青年，其中有名能胜任英语翻译工作；有名青年能胜任德语翻a44c53+c64a44=600译工作，现在要从中挑选名青年承担一项任务，其中名从事英语翻译工作，14854名从事德语翻译工作，则有多少种不同的选法532解（法）我们可以分成类让两项工作都能担任的青年从事英语翻译工作，有；13让两项工作都能担任的青年从事德语翻译工作，有；

①c42c32让两项工作都能担任的青年不从事任何工作，有；1

②c43c3由分类计数原理，总的方法一共有十

③c43c32

四、一一映射转化法1∴c42c32+c43c3+c43c32=42例一个楼梯共有级台阶，每步走阶或阶，步走完，一共有多少种走法1511127解级台阶，要求步走完，每步走阶或阶，显然，必须有步走阶，步走阶设每步走阶为每步走阶为，则原问题相当于在个格子选个1171242格子填，其余填，这是一个组合问题，所以一共有种不同的走法311a2b8第页a bc7=35学大教育科技（北京）有限公司34第三篇排列组合排列组合方法一相邻元素捆绑法所谓捆绑法就是在解决对于某几个元素要求相邻问题时，可整体考虑将相邻元素视为一个大元素“”例名同学排成一排，其中甲，乙两人必须在一起的不同徘法共有（）种“”种种种6c a.720b.360c.240d.120因甲，乙两人排在一起，故甲乙两人捆在一起视作一人，与其余四个全排列种排法，但甲乙两人之间有种排法，由分布计数原理可知共有52a5种不同排法，故选方法二相离问题插空法不相邻问题是指要求a252某些元素不能相邻，由其他元素将它隔开，此类问题可以先将其他元素排好，再将a5a2240c所指定的不相邻的元素插入到它们的空隙及两端位置，故称插空法例要排一张有个歌唱节目和个舞蹈节目的演出节目单，任何两个舞蹈节目“”不得相邻，问有多少种不同的排法64先将个歌唱节目排好，其不同的排法种，这个歌唱节目的空隙及两端共个位置中再排个舞蹈节目有种排法，由分步计数原理可知，任何两个646a66舞蹈节目不得相邻的排法为方法三定序问题缩倍法在排列问题中限制74a746某几个元素必须保持一定顺序成为定序问题，这类问题用缩小倍数的方法求解比较a

7.a6方便例信号兵吧红旗与白旗从上到下挂在旗杆上表示信号，现有面红旗，面白旗，把这面旗都挂上去，可表示不同信号的种数是（种）32解法一面旗全排列有种挂法，由于面红旗与面白旗分别全排列只能5_________10做一次挂法，故共有不同的信号总数是种解法二定序问题55a532属组合五面旗占五个位置，从中选取两个位置挂白旗其余位置则挂红旗有5a53=102a3a22种方法方法四定位问题优限法所谓优限法，即有限制条件的元素（或位置）在解题c5=10时优先考虑“”例计划展出幅不同的画，其中幅水彩画，幅油画，幅国画，排成一列陈列，要求同一品种的话必须连在一起，并且水彩画不放在两端，那么不同的陈列10145方式有（）种d种种34324545145a.a4a4a5种c.c3a4a5a5先把种品种的画看成整体，而水彩画受限制应优先考虑不能放在头尾，故b.a3a4a5只能放在中间，又油画与国画有种方法，再考虑国画与油画本身又可以全排d.a223列，故排列的方法为，故选方法五至少问题间接法含至多，至少a2的排列组合问题，是需要分类的问题可用间接法，即排除法（总体去杂），但仅a2a4a5d“”“”适用于反面情况确且易于计算的情况例从台甲型和台乙型电视机中任意取出台，其中至少要甲型与乙型电视机各一台，则不同的选法共有（）45种3c a.140种b.80种种c.70在被取出的台中，若不含甲型或乙型的抽取方式均不合题意，故符合题意的取d.35法有种，故选方法六选排问题先取后排法对于排列组合的3混合应用题，一般解法是先取（组合）后排（排列）c9c4c570c例四个不同的小球放入编号为，，，的四个盒子中，则恰有一个空盒子的方法共有种（用数字作答）3332451234先从四个小球中取两个放在一起，有种不同的取法，再把取出的两个小球与__________144另外两个小球看做三堆，并分别放入四个盒子中的三个盒子中，有种不同2c4的放法，据分部计数原理，共有种不同的放法方法七多元问题分类323a4法元素多，取出的情况也有多种情形，可按结果要求，分成互不相容的几类情况c4a4分别计算，最后总计例由数字，，，，，组成没有重复数字的位数，其中个位数字小于十位数字的共有

（0123456）个个a.210个b.300个c.464解法一按题意个位数字只能是，，，，共中情况，符合题d.600意的分别有，，，个，合并总计，共有511311313012345（个）a5a4a3a3a3a3a3a3a3511311313解法二排成的六位数中各位小于十位的和个位大于十位的数字一样多a5a4a3a3a3a3a3a3a3300，故选共有（个）方法八部分符合淘汰法在选取总数中，只有一部分符合条件，可从总数中减去不符合条件数，即为所求例四面体的顶1b5a553002点与各棱中点共有个点，在其中取四个不共面的点，不同取法共有（）种种种种10d a.150个点取个点共有种取法，其中内的个点任取个必共面，这样b.147c.144d.141的面共有个；又各棱中点共个点中，有四点共面的平面有个，一条棱上的4104c10abc64三点与其对棱中点在一平面内，这样的面有个，故符合条件不共面的平面有463，故选644方法九有序分配问题逐分法有序分配问题是指元素按要求分成若干组，常采用c104c663141d逐步分组法求解例有甲，乙，丙三项任务，甲需要人承担，乙，丙各需人承担，从人中选派四人承担这三项任务，不同的选法共有（）2110种种种种c先从人中选出人承担甲项任务，再从剩下人中选人承担乙项任务，最后a.1260b.2025c.2520d.5040从另外人中选人承担丙项10281任务，根据分步计数原理可知不同的选法共有种，故选方71法十标号排位问题分步法把元素排在指定号码的位置上称为排位问题，求解这211c10c8c72520c.类问题可先把某个元素按规定排入，第二步再排另一个元素，如此继续下去，依次即可完成例同室出人各写一张贺年卡，先集中起来，然后每人从中拿一张别人送来的贺卡，则四张贺年卡不同的分配方式有（）.种种种种b此题可以看成是将数字，，，填入标号为，，，的四个方格里，每格a.6b.9c.11d.23填一个数且每个方格的标号与所12341234填数不同的填法问题所以先将填入至号的个方格里有种填法，第二步把被填入方格的对应数字，填入其他个方格，又有种填法，第三步将11243c3余下的两个数字填入余下的两格中，只有一种填法，故共有种填法，13c3故选方法十一插板法对名额分配问题，可将代表名额的元素排成一列，然3319后再各元素的间隙中按要求插入隔板即可b.例某中学准备组建一个人的足球队，这人由高一年级个班的学生组成，每个班至少一个，名额分配181810方案共种（）构成一个隔板模型，取枚棋子排成一列，在相邻的每两枚棋子形成的个间2_______24310隔中选取个插入隔板将枚棋子分隔成个区间，第（）个区间1817的棋子数对应第个班级学生的名额，因此，名额分配方案91810i1i10的种数与隔板插入数相等，因隔板插入数为，故名额分配方案共有i种99c17方法十二平均分组问题若将个元素平均分成组，c1724310则分法总数为mnmmnm mnmncc mn例北京《财富》全球论坛期间，其高校有名志愿者参加接待工作，若每天mn cn早，中，晚三班，每班人，每人每天最多值一班，则开幕式当天不同的排班种14数为（）4a a.ccc121441248b.caa121441248c.首先从人中选中人为，然后将人平均分为组为，然后这两步相乘，得将三124c14c12c841243d.c14c12c84a33a31412c1214组分配下去为，故选练习1244124c14c8c4c14c12c84123

一、有种不同的书甲，乙，丙人每人本，有多少种不同的分发33a3a3124c14c12c84a.分成堆，每堆本，有多少种不同的分堆方法

6.

1.32分成堆，一堆本，一堆本，一堆本，有多少种不同的分堆方法分给

2.32甲，乙，丙人，一人本，一人本，一人本，有多少种不同的分配方法

3.

3123.

4.分成堆，有堆各本，另一堆本，有多少种不同的分堆方法3123摆在层书架上，每层本，有多少种不同的摆法

二、有名男生，名女生，

5.3214排成一排

6.

32.34选其中人排成一行；甲，乙二人必须在两头；

1.5甲不在排头，乙不在排尾；

2.男，女各占一边；

3.男生必须排在一起；

4.男，女生各不相邻；

5.男生不能排在一起；

6.甲乙丙三人中甲必须在前，丙必须在后，但三人不一定相邻；

7.前排人，后排人；

8.甲，乙中间必须有人；

9.34甲，乙两人的两边必须有其他人各有多少种不同的排法

10.3第四篇排列组合排列与组合习题

11.个人分乘两辆不同的汽车，每辆车最多坐人，则不同的乘车方法数为

1.64有个座位连成一排，现有人就坐，则恰有两个空座位相邻的不同坐法有_______________

2.63只用，，三个数字组成一个四位数，规定这三个数必须同时使用，且同一数_______________字不能相邻出现，这样的四位数有

3.123_______________男女学生共有人，从男生中选取人，从女生中选取人，共有种不同的选法，其中女生有

4.82130某幢楼从二楼到三楼的楼梯共级，上楼可以一步上一级，也可以一步上两_______________级，若规定从二楼到三楼用步走完，则方法有

5.10某公司招聘来名员工，平均分配给下属的甲、乙两个部门，其中两名英语翻译8_______________人员不能分在同一个部门，另外三名电脑编程人员也不能全分在同一个部门，则不

6.8同的分配方案共已知集合＝，＝，，＝，，，从这三个集合中各取一个元素构成空间直角坐标系中点的坐标，则确定的不同点的个数为

7.a{5}b{12}c{134}由_______________、

8.、

1、

2、

3、组成没有重复数字且

4、都不与相邻的六位偶数的个数是56如果在一周内（周一至周日）安排三所学校的学生参观某展览馆，每天最多只安135_______________排一所学校，要求甲学校连续参观两天，其余学校均只参观一天，那么不同的安排

9.方法有安排位工作人员在月日到月日值班，每人值班一天，其中甲、乙二人都不能安排在月日和日，不同的安排方法共有_______________

10.75157种（用数字作答）512今有个红球、个黄球、个白球，同色球不加以区分，将这个球排成一________.列有种不同的排法（用数字作答）

11.2349将位志愿者分成组，其中两个组各人，另两个组各人，分赴世博会的________.四个不同场馆服务，不同的分配方案有种（用数字作答）

12.6421要在如图所示的花圃中的个区域中种入种颜色不同的花，要求相邻区域不________.同色，有种不同的种法（用数字作答）

13.54将标号为，，，，，的张卡片放入个不同的信封中若每个信封放________.张，其中标号为，的卡片放入同一信封，则不同的方法共有

14.

12345663.某单位安排位员工在月日至日值班，每天人，每人值班天，若212___________________位员工中的甲、乙排在相邻两天，丙不排在月日，丁不排在月日，则

15.71017117不同的安排方案共有101107___________________由、

16.、

1、

2、

3、组成没有重复数字且

4、都不与相邻的六位偶数的个数是56在某种信息传输过程中，用个数字的一个排列（数字允许重复）表示一个信135________________息，不同排列表示不同信息，若所用数字只有和，则与信息至多有两个

17.4对应位置上的数字相同的信息个数为010110现安排甲、乙、丙、丁、戌名同学参加上海世博会志愿者服务活动，每人从___________________事翻译、导游、礼仪、司机四项工作之一，每项工作至少有一人参加甲、乙不会

18.5开车但能从事其他三项工作，丙丁戌都能胜任四项工作，则不同安排方案的种数是甲组有名男同学，名女同学；乙组有名男同学、名女同学若从甲、乙两组中各选出名同学，则选出的人中恰有名女同学的不___________________

19.5362同选法共有241将甲、乙、丙、丁四名学生分到三个不同的班，每个班至少分到一名学生，且___________________甲、乙两名学生不能分到同一个班，则不同分法的种数为

20.位男生和位女生共位同学站成一排，若男生甲不站两端，位女生中有___________________且只有两位女生相邻，则不同排法的种数是

21.2353从名大学生毕业生中选个人担任村长助理，则甲、乙至少有人入选，___________________而丙没有入选的不同选法的种数位

22.1031位男生和位女生共位同学站成一排，若男生甲不站两端，位女生中有___________________且只有两位女生相邻，则不同排法的种数是

23.3363个篮球队中有个强队，将这个队任意分成个组（每组个队），则________________个强队恰好被分在同一组的概率为

24.1231234甲、乙、丙人站到共有级的台阶上，若每级台阶最多站人，同一级台阶上的人3___________________不区分站的位置，则不同的站法种数是

25.（用数字作答）.锅中煮有芝麻馅汤圆个，花生馅汤圆个，豆沙馅汤圆个，这三种汤圆的外部特征完全相同从中任意舀取个汤圆，则每种汤圆都至少取到个的概率

26.654为41将名大学生分配到个乡镇去当村官，每个乡镇至少一名，则不同的分配方______________案有种（用数字作答）

27.43将个颜色互不相同的球全部放入编号为和的两个盒子里，使得放入每个___________________.盒子里的球的个数不小于该盒子的编号，则不同的放球方法有

28.412将名实习教师分配到高一年级的３个班实习，每班至少１名，最多２名，则不___________________

29.同的分配方案有5某校从名教师中选派名教师同时去个边远地区支教（每地人），其中___________________甲和乙不同去，甲和丙只能同去或同不去，则不同的选派方案共有种

30.8441用数字，，，，组成没有重复数字的五位数，则其中数字，相邻的偶数有个

31.0123412有一排个发光二极管，每个二极管点亮时可发出红光或绿光，若每次恰有个二极管点亮，但相邻的两个二极管不能同时点亮，根据这三个点亮的二极管的不

32.83同位置和不同颜色来表示不同的信息，求这排二极管能表示的信息种数共有多少种按下列要求把个人分成个小组，各有多少种不同的分法（）各组人数分别为，，个；（）平均分成个小组；（）平均分成个

33.123小组，进入个不同车间12462333男女站成一排，求满足下列条件的排法共有多少种

3.（）任何名女生都不相邻有多少种排法（）男甲不在首位，男乙不在末

34.64位，有多少种排法（）男生甲、乙、丙排序一定，有多少种排法（）男甲122在男乙的左边（不一定相邻）有多少种不同的排法34已知（）试求（）对于使是正整数，中的的的系数的最小值的系数为最小的

35.12，求出此时的系数的展开式中的系数为，（）利用上述结果，求的近似值（精确到）7第五篇排列组合中的分组问题排列组合中的分组问题

30.01山西省交城中学校王峰峰分组问题是排列组合教学中的一个重点和难点某些排列组合问题看似非分组问题，实际上可运用分组问题的方法来解决

一、分组与分配的区别将个不同元素按照某些条件分配给个不同的对象，称为分配问题分定向分配和不定向分配两种情况n k将不同元素按照某些条件分成组，称为分组问题分组问题有整体平均分组、部分平均分组、不平均分组三种情况n k分组问题和分配问题是有区别的，前者组与组之间只要元素个数相同是不区分的；而后者即使两组元素个数相同，但因对象不同，仍然要区分的对于后者必须先分组后排列

二、基本的分组问题例六本不同的书，分为三组，每组两本，有多少种分法分析分组与顺序无关，是组合问题分组数是（种），这种

1.分组实际上重复了次我们不妨把六本不同的书写上22c26c4c2=

9090、

6、

1、

2、

3、六个号码，考察以下两种分法（，）（，）（，）与（，）4（，）（，），由于书是均匀分组的，三组的本数一样，又与顺序无关，所5612345634以这两种分法是同一种分法以上的分组方法实际上加入了组的顺序，因此还应取1256消分组的顺序，即除以组数的全排列数，所以分法是（种）整体平均分组是指将所有元素分成所有组元素个数相等的组a33222c6c4c2=15例六本不同的书，分为三组，一组四本，另外两组各一本，有多少种分法3a3分析先分组，方法是那么其中有没有重复的分法呢我们发现，

2.（种），其中两组的书的本数都是一本，因此这两组有了顺序，而与四11c4本书的那一组，由于书的6c2c1=30本数不一样，不可能重复所以实际分法是（种）部分平均分组是指将所有元素分成部分组元素个数相等的组411c6c2c1=152a2例六本不同的书，分为三组，一组一本，一组二本，一组三本，有多少种分法

3.分析先分组，方法是，那么还要不要除以我们发现，由于每组的书233c16c5c3a3的本数是不一样的，因此不会出现相同的分法，即共有（种）分法23c16c5c3=60不平均分组是指将所有元素分成元素个数彼此不相等的组通过以上三个例题的分析，我们可以得出分组问题的一般方法一般地，个不同的元素分成组，各组内元素数目分别为，，，，，其中组内元素数目相等，那么分组方案是n pm1m2m3mp k

三、基本的分配问题定向分配问题23pcn1cn m1cn m1m2„cmpmmmmakk例六本不同的书，分给甲、乙、丙三人，求在下列条件下各有多少种不同的分

1.配方法

1.（）甲两本、乙两本、丙两本；（）甲一本、乙两本、丙三本；（）甲四本、乙一本、丙一本123分析由于分配给三人，每人分几本是一定的，属分配问题中的定向分配问题，由分布计数原理不难解出（）（）（）2221c6c4c90不定向分配问题1232c6c5c3604113c6c2c130例六本不同的书，分给甲、乙、丙三人，求在下列条件下各有多少种不同的分

2.配方法

2.（）每人两本；（）一人一本、一人两本、一人三本；（）一人四本、一人一本、一人一本1分析此题属于分配中的不定向分配问题由于分配给三人，同一本书给不同的人23是不同的分法，所以是排列问题实际上可看作分为三组，再将这三组分给甲、乙、“丙三人，因此需要将分组方法数再乘以，即3”a36（）（）（）222c6c4c31a3903a312332c6c5c3a336032c13结论一般地，如果把不同的元素分配给几个不同对象，并且每个不同对象c6c2a390可接受的元素个数没有限制，那么实际上是先分组后排列的问题，即分组方案数乘a2411以不同对象数的全排列数（解不定向分配题的一般原则先分组后排列）例六本不同的书，分给甲、乙、丙三人，每人至少一本，有多少种分法分析六本书和甲、乙、丙三人都有归宿，即书要分完，人不能空手因此，考

3.虑先分组，后排列先分组，六本书怎么分为三组呢有三类分法（）每组两“”本，（）分别为一本、二本、三本，（）两组各一本，另一组四本所以根据1加法原理，分组法是（种）再考虑排列，即再乘23以所以一共有种不同的分法222411c6c4c2+123+c6c2c1=90

四、分组、分配问题的变形问题3540c6c5c3a332a3a2例四个不同的小球放入编号为，，，的四个盒子中，恰有一个空盒的放法有多少种

1.1234分析恰有一个空盒，则另外三个盒子中小球数分别为，，实际上可转化为先将四个不同的小球分为三组，两组各个，另一组个，分组方法112有（种），然后将这三组再加上一个空盒进行全排列，即共有112c4c3c212（种）例有甲、乙、丙三项任务，甲需人承担，乙、丙各需2a2112c4c3c24人承担，从人中选派人承担这三项任务，不同的选法有多少种a4=1442a

22.21分析先考虑分组，即人中选人分为三组，其中两组各一人，另一组二人，104共有（种）分法再考虑排列，甲任务需人承担，因此人的那个104组只能承担甲任务，而一个人的两组既可承担乙任务又可承担丙任务，所以112c10c9c822共有（种）不同的选法例设集合，，，2a2，，，，为定义域，为值域，则从集合到集合的不同的函112c10c9c82=2520a22a

23.a123数有多少个4b678a ba b分析由于集合为定义域，为值域，即集合、中的每个元素都有归宿，而集合的每个元素接受集合中对应的元素的数目不限，所以此问题实际上还a ba b“”是分组后分配的问题先考虑分组，集合中个元素分为三组，各组的元素数ba目分别为a

4、、，则共有（种）分组方法再考虑分配，即排列，再乘以，所以共有1112c4c3c（个）不同的函数212a33练习2a2112c4c3c23=36a32a2浙江卷在张奖券中有

1.[2014·]8

一、

二、三等奖各张，其余张无奖将这张奖券分配给个人，每人张，不同的获奖情况有种（用数字作答）全国卷有名男医生、名女医

15.842生，从中选出名男医生、名女医生组成一个医疗小组，则不同的选法共有（________.

2.[2014·]65）种21种a.60种b.70种c.75（年北京卷）将序号分别为，，，，的张参观券全部分给人，d.150每人至少张，如果分给同一人的张参观券连号，那么不同的分法种数是

3.20131234554（年新课标卷）将名教师，名学生分成个小组，分别安排到12甲、乙两地参加社会实践活动，每个小组由名教师和名学生组成，不同的安_________.

4.2012242排方案共有

（12）（）种（）种a12（）种b10（）种c9d8。