二面角的求法

二面角的求法定义法在棱上取一点，然后在两个平面内分别作过棱上点的垂线有时也可以在两个平面内分别作棱的垂线，再过其中的一个垂足作另一条垂线的平行线

1.a a垂面法作与棱垂直的平面，则垂面与二面角两个面的交线所成的角就是二面角的平面角

2.射影定理二面角的余弦值等于某一个半平面在另一个半平面的射影的面积和该平面自己本身的面积的比值

3.三垂线定理及其逆定理法先找到一个平面的垂线，再过垂足作棱的垂线，连结两个垂足即得二面角的平面角

4.向量法分别作出两个半平面的法向量，由向量夹角公式求得二面角就是该夹角或其补角

5.转化法其中，（）、（）点主要是根据定义来找二面角的平面角，再利用三角形的

6.正、余弦定理解三角形12二面角一般都是在两个平面的相交线上，取恰当的点，经常是端点和中点过这个点分别在两平面做相交线的垂线，然后把两条垂线放到一个三角形中考虑有时也经常做两条垂线的平行线，使他们在一个更理想的三角形中由公式射影斜面，作出二面角的平面角直接求出运用这一方法的关键是从图中找出斜面多边形和它在有关平面上的射影，而且它们的面积容易求得s=s cosθ也可以用解析几何的办法，把两平面的法向量，的坐标求出来然后根据，为两平面的夹角这里需要注意的是如果两个法向量都n1n2是垂直平面，指向两平面内，所求两平面的夹角n1·n2=|n1||n2|cosαθ=α求二面角大小的基本步骤（）作出二面角的平面角θ=π-α利用等腰（含等边）三角形底边的中点作平面角；利用面的垂线（三垂线1定理或其逆定理）作平面角；利用与棱垂直的直线，通过作棱的垂面作平面a b角；利用无棱二面角的两条平行线作平面角（）证明该角为平面角；（）c归纳到三角形求角另外，也可以利用空间向量求出利用空间向量（设二面角d23平面角为））先建立直角坐标系，求出各点坐标；）设面的法向量为（，，），面法向量为（，，）；a1）在内找两条线，，让，求出的坐标，也是如此求2s1n x1y1z1s2m x2y2z2出；）然后利用即可求出的值（注由图观察二面角是锐角3s1l1l2n×l1=0n×l2=0n m还是钝角，而且看求出的是正值还是负值若二面角是锐角，则的值应4cosa=n×m/|n|×|m|a为正，反之则然）cosa cosa第二篇教案二面角的求法教学目标学会用不同方法求二面角-知识归纳平面内的一条直线把平面分为两部分，其中的每一部分都叫做半平面，从一条直线出发的两个半平面所组成的图形，叫做二面角（这条直线叫做二面角的棱，每个半平面叫做二面角的面）二面角的大小可以用它的平面角度来度量，二面角的平面角是多少度，就说这个二面角是多少度，平面角是直角的二面角叫做直二面角例题讲解

一、定义法从一条直线出发的两个半平面所组成的图形叫做二面角，这条直线叫做二面角的棱，这两个半平面叫做二面角的面，在棱上取点，分别在两面内引两条射线与棱垂直，这两条垂线所成的角的大小就是二面角的平面角本定义为解题提供了添辅助线的一种规律如例中从二面角中半平面上的一已知点（）向棱作垂线，得垂足（）；在另一半平面内过1s—am—b该垂足（）作棱的垂线（如），这两条垂线（、）便形成该二面角的一abm bam fasm个平面角，再在该平面角内建立一个可解三角形，然后借助直角三角函数、正弦定f amgf bfgf理与余弦定理解题例（全国卷Ⅰ理）如图，四棱锥，，点在侧棱上，12009s-abcd求二面角的大小为矩形，底面，（ad=2dc=sd=2m scabm）证明在侧棱的中点（）s-am-b abcdsd abcd=60°i练习（山东）如图，已知四棱锥，底面为菱形，平面m scii，，，分别是，的中点（Ⅰ）证明（Ⅱ）若为12008p-abcd abcd pa⊥上的动abcd abc=60e fbc pc.ae⊥pd;h点，与平面所成最大角的正切值为，求二面角的余弦值分pd析第题容易发现，可通过证后推出平面，使命题获证，而第6eh pad2e—af—c.题，则首先必须在找到最大角正切值有关的线段计算出各线段的长度之后，考虑到1ae⊥ad ae⊥apd2运用在二面角的棱上找到可计算二面角的平面角的顶点，和两边与，进而计算二面角的余弦值af s se sc

二、三垂线法三垂线定理在平面内的一条直线，如果和这个平面的一条斜线的射影垂直，那么它也和这条斜线垂直通常当点在一个半平面上则通常用三垂线定理法求二面角的大小.p本定理亦提供了另一种添辅助线的一般规律如（例）过二面角中半平面上的一已知点作另一半平面的垂线，得垂足；再过该垂足作棱2b-fc1-c的垂线，得垂足，连结起点与终点得斜线段，便形成了三垂线定理的基本bfc bfc1c oo构图（斜线、垂线、射影）再解直角三角形求二面角的度数fc1p pb例（山东卷理）如图，在直四棱柱中，底面为等腰pb boop梯形，，，，，、

2.2009abcd-a1b1c1d1abcd、分别是棱、ab//cd ab=4bc=cd=2aa1=2e e、的中点（）证明直线平面；（）求二面角的余弦1f adaa值1ab1ee1//fcc12b-fc1-c练习（天津）如图，在四棱锥中，底面是矩形已知，，，，（Ⅰ）证明平面；（Ⅱ）求异面直线22008p-abcd abcd.ab=3与所成的角的大小；（Ⅲ）求二面角的大小ad=2pa=2pd=22pab=60ad pab pc分析本题是一道典型的利用三垂线定理求二面角问题，在证明平面ad p-bd-a.后，容易发现平面平面，点就是二面角的半平面上的一个ad⊥pab点，于是可过点作棱的垂线，再作平面的垂线，于是可形成三垂线定pab⊥abcdpp-bd-a理中的斜线与射影内容，从而可得本解法p bdabcd

三、补棱法本法是针对在解构成二面角的两个半平面没有明确交线的求二面角题目时，要将两平面的图形补充完整，使之有明确的交线（称为补棱），然后借助前述的定义法与三垂线法解题即当二平面没有明确的交线时，一般用补棱法解决例（湖南）如图所示，四棱锥的底面是边长为的菱形，＝，是的中点，底面，＝（Ⅰ）证明平面平面32008p-abcd abcd1（Ⅱ）求平面和平面所成二面角（锐角）的大小分析本题的平面∠bcd60°e cdpa⊥abcd pa

2.pbe⊥和平面没有明确的交线，依本法显然要补充完整（延长、相交于点pab;pad pbe.，连结）再在完整图形中的上找一个适合的点形成二面角的平面角解之pad pbe ad be练习已知斜三棱柱的棱长都是，侧棱与底面成的角，侧面f pf.pf.底面3abc—a1b1c1a60（）求证；bcc1b1⊥abc（）求平面与平面所成的二面角（锐角）的大小1ac1⊥bc提示本题需要补棱，可过点作的平行线2ab1c1abca cb l

四、射影面积法（）ocosq=s s）求出二面角的大小（Ⅱ）求二面角凡二面角的图形中含有可求原图形面积和该图形在另一个s s半平面上的射影图形面积的都可利用射影面积公式（例（北京理）pc ab如图，在三棱锥cos

4.2008，，，的大小；p-abcac=bc=2acb=90ap=bp=abpcaco分析本题要求二面角的大小，如果利用射影面积法解题，不难想到在b-ap-c平面与平面中建立一对原图形与射影图形并分别求出原与射于是得到b—ap—c下面解法abp acps s练习如图，为正方体－的棱的中点，求平面和底面所成锐角的余弦值分析平面与底面交线即二面角的45e abcda1b1c1d1cc1ab1e棱没有给出，要找到二面角的平面角，则必须先作两个平面的交线，这给解题带来a1b1c1d

1.ab1e a1b1c1d1一定的难度考虑到三角形在平面上的射影是三角形，从而求得两个三角形的面积即可求得二面角的大小ab1ea1b1c1d1a1b1c1

五、向量法向量法解立体几何中是一种十分简捷的也是非常传统的解法，可以说所有的立体几何题都可以用向量法求解，用向量法解立体几何题时，通常要建立空间直角坐标系，写出各点的坐标，然后将几何图中的线段写成用坐标法表示的向量，进行向量计算解题例（天津卷理）如图，在五面体中，平面，，，为的中点，（）求异面直线与42009abcdef faabcd所成的角的大小；（）证ad//bc//fe abad mec af=ab=bc=fe=1ad ibf de明平面平面；求二面角的余弦值ii练习2amd cdea-cd-e、（湖北）如图，在直三棱柱中，平面侧面（Ⅰ）求证（Ⅱ）若直线与平面所成的角为，二面角52008abc-a1b1c1abc a1abb

1.的大小为，试判断与的大小关系，并予以证明ab bcac1abc a1-bc-a上述五种二面角求法中，前三种方法可以说是三种增添辅助线的一般规律，后两种.是两种不同的解题技巧第三篇二面角大小的求法归类分析二面角大小的求法归类分析

一、定义法直接在二面角的棱上取一点（特殊点），分别在两个半平面内作棱的垂线，得出平面角，用定义法时，要认真观察图形的特性

二、三垂线法已知二面角其中一个面内一点到一个面的垂线，用三垂线定理或逆定理作出二面角的平面角

三、、垂面法已知二面角内一点到两个面的垂线时，过两垂线作平面与两个半平面的交线所成的角即为平面角，由此可知，二面角的平面角所在的平面与棱垂直

四、射影法利用面积射影公式射＝原，其中为平面角的大小，此方法不必在图形中画出平面角二面角sscosθθ第四篇立体几何二面角求法练习题立体几何二面角求法练习题、正方形中二面角的大小为

1、将为的棱形沿对角线折叠使、的距离等于则二面1abcd-a1b1c1d1b-a1c-a____角的余弦值是2∠a60°abcd bda cbd、正四棱柱中对角线a-bd-c__与侧面所成的为则二面角的大小为3abcd—a1b1c1d1bd

1、从点出发引三条射线、、每两条的夹角都是则二面角8bd1b1bcc30°c1—bd1—b1______的余弦值是4p papb pc60°b-pa-c、二面角的平面角为、______若则的长5α-l-β120°a b、为菱形面且则面与面∈l acαbdβac⊥l bd⊥l ab=ac=bd=1cd______所成的锐二面角的大小为6abcd∠dab60°pd⊥abcd pdad pab、空间三条射线、、pcd______求7ca cpcb第五篇《二面角的一种求法》的说课稿

一、教材简析∠pca=∠pcb=600acb=900∠地位与作用本节是高二数学下册第九章《直线、平面、简单几何体》中相关二面角的求解

1.问题是在立体几何知识学习完毕，学生已具有了一定的空间想象能力，掌握了一§96定的立体几何的研究方法的基础之上，对二面角求解方法进行的一个补充二面角的求解是立体几何部分的一个重点也是一个难点，本节内容为学生提供一个新的视角教学内容及目标教学内容

2.将异面直线两点间距离公式变形应用于求二面角，变形所得公式就是本节所学主要内容，暂且称这个公式为二面角余弦公式教学目标知识目标异面直线两点间距离公式在求二面角中的应用；能力目标（）推广引申不但能加深对原题的理解，而且对于扩大解题效果，提高解题能力，培养发散思维，激发创新意识，都有不可忽视的积极作用

1.（）通过转化问题探究公式条件的过程，培养学生探索问题的精神，提高学生化归的意识和转化的能力

2.情感目标通过问题的转化过程，让学生认识万物都处于联系之中，我们要用联系的观点看待问题教学重点和教学难点重点二面角余弦公式条件的发现，结构的确定；

3.难点二面角余弦公式条件的发现，结构的确定；

二、学情分析起点能力分析立体几何知识学习完毕，学生已具有了一定的空间想象能力，掌握了一定的立体几

1.何的研究方法，并成为本节的学习基础一般特点分析高二学生观察力已具有一定的目的性、精细性、持久性，有意识记占主导地位、意

2.义识记以占重要地位，同时概念理解能力、推理能力有所提高，具有一定的掌握和运用逻辑法则的能力，但由于认知水平的不同，学生掌握和运用逻辑法则的能力存在不平衡性

三、教法分析本节采用启导法，以质疑启发、直观启发为主，通过一系列带有启发性、思考性的问题，创设问题情境，引导学生思考，教师适时演示，利用多媒体的直观性，激发学生的学习兴趣，化静为动，使学生始终处于主动探索问题的积极状态，从而培养学生的思维能力

四、学法指导根据学法指导自主性和差异性原则，让学生在观察发现推理应用的学习过程中，自主参与知识的发生、发展、形成的过程，使学生掌握知识，发展思“——————”维能力

五、教学程序教学思路设疑导入构建条件形成公式公式应用教学反思

1.教学环节安排→→→→

（一）情境设置

2.习题教科书页题.设计意图由此题与学生共同回顾二面角的定义及其求解方法，并且根据题设条18010件，由学生发现该二面角的求解由异面直线、的位置关系来确定，提出为什么异面直线可以确定二面角，异面直线怎样确定二面角呢引出问题二，从而进入ac db第二环节探索研究

（二）、探索研究——问题二问什么是异面直线的公垂线两异面直线有多少条公垂线问设异面直线、公垂线为，则、、三条直线可以确定多少个平面1问这两相交平面可以构成两对二面角，这两对二面角大小有什么关系（设计2a bl abl意图到此完成由异面直线构造二面角）3问从四个二面角任选一个二面角，该二面角的大小与异面直线位置有什么关系4通过问题的层层深入，让学生自己观察、思考得出异面直线的位置可以确定二面角的大小的结论再通过教具的演示让学生发现线段、、、任意一个的改变都会影响异面直线的位置，说明这四条线段可以共同确定二面角，从而发现公am bn ab mn式的结构，突破难点；问令＝，＝，，且＝，＝，＝，＝，求二面角5a∩l ab∩l bm∈a n∈b mam nbnab d mnl通过问题将异面直线的位置量化，由学生自己推导，得出二面角的余弦公式α―l―β设计意图通过问题设出四条线段的长，求二面角的大小，从做辅助线、确定5二面角平面角，到在三角形中计算求值，最后整理解题过程，由学生自主解决，教5师适时引导，多问学生为什么，纠正学生语言表达上的错误，提示解题不符逻辑关系的地方，让学生在相互补充，相互找不足的这一自我评价、自我调整过程中，完善推理过程，得出二面角的余弦公式通过这一数学交流活动，暴露学生的思维过程，提高学生语言表达能力，培养学生合情推理能力，注重学生作为个体发展能力的同时，也注重培养学生协同合作共同探索、的精神并且让学生体会数学学习不仅重在学习一个结论，而是注重学习的过程，让学生在自己发现结论、自己推得公式中体验成功问题三用问题二的方法求解习题一设计意图巩固公式的应用，明确如何应用公式；通过对比公式与习题一的条件，让学生认识到本节所学求二面角的方法是对教科书习题一般化所得的结论，体会数学从特殊到一般，再从一般到特殊的研究过程问题四将公式条件中二面角两半平面的线段放到了以棱上线段为公共边的三角形“”“”“”“”中，作为了两三角形的高设计意图通过这一过程，进一步深化所推公式中量的理解，其作用是半平面用三角形表示，更有利于在柱体或锥体中解决二面角的求解问题；

（三）、巩固训练习题（改编自教科书页题）把长、宽分别为、的长方形沿对角线折叠，使长为，求二面角

21.8011（教科书页题）把长、宽分别为43abcd acbd7/5b―ac―d、的长方形沿对角线折叠成直二面角，求顶点与之间的距离

2.8011设计意图43abcd acbd题是对问题四结论的简单应用此题题设是将平面图形折成立体图形，求形成的二面角的大小，巩固平面图形折叠过程中量的变化情况1题让学生认识二面角余弦公式建立了四个线段、一个角五个量间的关系，知道其中任意四个，都可以求第五个量，加深对公式的认识，熟悉公式的变形应用2习题（选自年湖南高考题）已知四边形是上、下底边分别为和，高为的等腰梯形，将它沿对称轴折成直二面角，求二面角的大32005abcd2小6oo′o―ac―o′设计意图让学生创设公式应用条件，自主解决问题，同时再次巩固立体空间中量的求解用平面解决的思想方法

（四）总结提炼.说明本节所学求二面角方法的可行性；说明本节所学求二面角方法的合理性；

1.本节所学求二面角的方法不是教科书中的定理、公式，因此不能作为已知结论在

2.解答题中应用但学习重视结果，更注重学习的过程，这节课学习的意义，不是公

3.式本身，而是用已知的知识探究出新的解决问题的方法的过程

（五）作业习题、为必做题，习题为选做题设计意图布置作业有弹性，避免一刀切，将上述思维发散的过程延伸到课后，使45学生活跃的思维得以发展，进而形成思维习惯总之，在整个课堂教学中，努力挖掘蕴含于知识生成过程中的数学思想方法，有机结合，有意渗透，以培养学生的思维能力。