高等数学同济第六版课件第二章5函数的微分

,汇报人目录微分的定义微分是函数在某一微分是函数在某一微分是函数在某一微分是函数在某一点的切线斜率点的增量点的变化率点的导数微分的几何意义微分是函数在某一点的切线斜率微分是函数在某一点的增量微分是函数在某一点的变化率微分是函数在某一点的导数微分的基本公式和运算法则基本公式dy/dx=fx微分运算求导数、求极限、求积分等添加标题添加标题添加标题添加标题运算法则加法法则、乘法法则、应用求函数的极值、最值、拐点除法法则、复合函数法则、链式法等则等函数的增减性微分法则求导数，判断函数的增减性增函数导数大于0，函数值随自变量增加而增加减函数导数小于0，函数值随自变量增加而减少应用判断函数的单调性，求解极值和最值曲线的切线方程切线方程的定义在曲线上某一点切线方程的应用求解曲线在某一处的切线方程点的切线方程，用于分析曲线的性质添加标题添加标题添加标题添加标题切线方程的求解利用微分法则求切线方程的性质切线方程的斜率解切线方程等于曲线在该点的导数函数极值的判断极值定义函数极值判断方法极值判断条件极值判断步骤首先计算函数在某点在某点处的值大使用微分法则，如果函数在某点处的导数，然后判于或等于其附近计算函数在某点处的导数为0，断该点两侧的导数所有点的值处的导数且该点两侧的导符号是否相反，最数符号相反，则后判断该点是否为极值点该点为极值点罗尔定理添加罗尔定理是微分中值定理的一种，由法国数学家罗尔提出标题添加罗尔定理的内容如果函数在闭区间上连续，在开区间上可导，且，那么至少存在fx[a,b]a,b fa=fb一个点∈，使得标题ξa,b fξ=0添加罗尔定理的证明利用极限的定义和导数的定义，通过构造辅助函数，证明在上可gx=fx-fa gxa,b导，且，从而得出结论标题ga=gb=0添加罗尔定理的应用在解决一些与函数值、导数值有关的问题时，可以通过罗尔定理找到满足条件的点，从而标题简化问题拉格朗日中值定理定理内容如果函数fx在区间[a,b]上连续，在a,b内可导，那么存在一点ξ∈a,b，使得fξ=fb-fa/b-a证明方法使用极限的定义和导数的定义进行证明应用范围广泛应用于微积分、函数论、数值分析等领域重要性是微积分中一个重要的定理，为解决许多问题提供了有力的工具柯西中值定理l定理内容如果函数fx在区间[a,b]上连续，且在a,b内可导，则存在一点ξ∈a,b，使得fξ=fb-fa/b-al证明方法利用极限的定义和导数的定义进行证明l应用范围广泛应用于微积分、函数论、微分方程等领域l重要性是微分中值定理中最基本、最重要的定理之一，为微积分的发展奠定了基础泰勒公式的基本形式泰勒公式将函数展开为多项式形泰勒公式的应用求极限、求导数、式求积分等添加标题添加标题添加标题添加标题基本形式fx=fa+fax-泰勒公式的推广多元泰勒公式、a+fax-a^2/2!+...傅里叶级数等泰勒公式的应用场景求导数泰勒公式可以用来求求积分泰勒公式可以用来求函数的导数，特别是当函数在函数的积分，特别是当函数在无穷远处趋于0时无穷远处趋于0时求极限泰勒公式可以用来求求级数泰勒公式可以用来求函数的极限，特别是当函数在函数的级数，特别是当函数在无穷远处趋于0时无穷远处趋于0时常见函数的泰勒展开式反双曲函数arcsinhx，arccoshx，arctanhx幂函数x^n，n为整数双曲函数sinhx，添加标题添加标题coshx，tanhx对数函数lnx添加标题添加标题添加标题添加标题添加标题反三角函数arcsinx，指数函数e^xarccosx，arctanx三角函数sinx，cosx，tanx导数在边际分析中的作用导数描述函数在某一点的边际分析中的导数用于计变化率算边际成本、边际收益等边际分析研究经济变量之边际分析的应用价格决策、间的关系和变化成本效益分析等弹性概念与需求价格弹性l弹性概念描述变量之间关系的一种度量l需求价格弹性描述价格变动对需求量的影响程度l计算公式需求价格弹性=需求量变动百分比/价格变动百分比l应用帮助企业制定价格策略，提高利润生产者均衡与消费者均衡l生产者均衡在给定价格和成本条件下，生产者选择最优的生产策略，以实现利润最大化l消费者均衡在给定收入和价格条件下，消费者选择最优的消费策略，以实现效用最大化l微分在经济学中的应用通过微分方法求解生产者均衡和消费者均衡，得到最优的生产和消费策略l应用实例在供需平衡模型中，通过微分方法求解生产者和消费者的最优策略，得到市场均衡价格和数量汇报人。