高数同济六版课件D122数项级数及审敛法

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06.l数项级数由无穷多个项组成的级数，每一项都是一个数l项数项级数的每一项都是一个数，可以是常数、函数、无穷小量等l项数数项级数的项数可以是无穷多个，也可以是有限多个l分类数项级数可以分为无穷级数和有限级数，其中无穷级数又可以分为正项级数、交错级数和任意项级数收敛性数项级数是否收敛，取决于其通项的极限是否存在绝对收敛性如果数项级数的绝对值级数收敛，则该数项级数绝对收敛条件收敛性如果数项级数的绝对值级数发散，但该数项级数本身收敛，则该数项级数条件收敛发散性如果数项级数的绝对值级数发散，且该数项级数本身发散，则该数项级数发散计算无穷级数解决实际问题用数学建模用于研究函数性质用于研究函数的性质，用于计算无穷级于解决物理、工程建立数学模型，如连续性、可导性等领域的实际问题数的和、极限等解决实际问题等l审敛法是一种判断数项级数是否收敛的方法l审敛法包括比较审敛法、根值审敛法、比值审敛法等l比较审敛法是通过比较两个数项级数的收敛性来判断原级数的收敛性l根值审敛法是通过比较级数的根值来判断原级数的收敛性l比值审敛法是通过比较级数的比值来判断原级数的收敛性比较审敛法比较比值审敛法比较根值审敛法比较积分审敛法通过级数的大小，判断级数的比值，判断级数的根值，判断积分，判断级数的其收敛性其收敛性其收敛性收敛性交错级数一种特殊的级数形式，其项的符号交替出现审敛法判断级数是否收敛的方法莱布尼茨审敛法一种常用的交错级数审敛法，适用于正项级数拉贝拉切审敛法另一种常用的交错级数审敛法，适用于负项级数比值审敛法通过比较级数的根值审敛法通过比较级数的部分和与级数的通项的比值来部分和与级数的通项的根值来判断级数是否收敛判断级数是否收敛审敛法分类包括比值审敛法、积分审敛法通过计算级数的根值审敛法、积分审敛法等部分和的积分来判断级数是否收敛审敛法判断无穷级数是否审敛法的应用在数学分析、微积分、函数论等领域有广泛收敛的方法应用数项级数无穷多个项的和收敛性级数是否有限收敛条件级数各项的和是否趋于一个常数收敛级数满足收敛条件的级数发散级数不满足收敛条件的级数绝对收敛级条件收敛级发散级数各绝对收敛和条数各项的绝对项的绝对值之数各项的绝对件收敛统称为值之和不趋于0，和不趋于0，且值之和趋于0收敛，发散称但级数各项的级数各项的绝为不收敛绝对值之和的对值之和的极极限存在限不存在比较判别法比较级数的通项与1/n的比值根式判别法利用根式判别法判断级数的收敛性积分判别法利用积分判别法判断级数的收敛性比值判别法比较级数的通项与1/n的比值，判断级数的收敛性收敛性数项级数收敛到某个极限值几何意义级数项的和形成一个几何图形，收敛性表示这个图形的极限形状收敛半径级数项的和形成的图形的半径，决定了收敛的速度和范围收敛速度级数项的和形成的图形的收敛速度，决定了收敛的快慢和稳定性l数项级数的收敛性级数是否收敛，取决于其通项的极限是否存在l数项级数的绝对收敛性级数绝对收敛，则其通项的绝对值极限存在l数项级数的条件收敛性级数条件收敛，则其通项的极限不存在，但存在其他条件使其收敛l数项级数的发散性级数发散，则其通项的极限不存在，且不存在其他条件使其收敛数项级数的收数项级数的绝数项级数的条数项级数的发对收敛性如件收敛性如敛性如果级散性如果级果级数的部分果级数的部分数的部分和数数的部分和数和数列绝对收和数列条件收列收敛，则级列发散，则级敛，则级数绝敛，则级数条数收敛数发散对收敛件收敛极限定理数必要条件部充分条件部应用用于判项级数的极限分和数列的极分和数列的极断数项级数的等于其部分和限存在限存在且收敛收敛性，以及数列的极限计算其极限值积分定理数项级数的积分等于其积分条件级数收敛且和函数连续和函数的积分添加标题添加标题添加标题添加标题积分公式∫a到积分应用用于求解数项级数的和、bfxdx=∑从n=1到∞fn极限等数项级数将收敛性判断求和方法使应用实例求定积分转化为级数是否收敛，用积分公式或解定积分，如无穷级数求和确定积分区间数值方法求解∫x^2+1dx，级数∫sinxdx等l数项级数一种特殊的函数表示形式，由无穷多个项组成l微分方程描述函数在某点或某区间上的变化规律的方程l求解微分方程利用数项级数表示微分方程的解l实例求解一阶线性微分方程y=fxy+gx，其中fx和gx是已知函数，yx是未知函数l结论数项级数在求解微分方程中具有广泛的应用价值，可以简化求解过程，提高求解效率l泰勒级数用于近似计算函数值l傅里叶级数用于信号处理和图像处理l拉普拉斯变换用于求解微分方程l幂级数用于求解微分方程和积分方程l泰勒级数用于近似计算函数值l傅里叶级数用于近似计算周期函数l拉普拉斯变换用于近似计算微分方程l幂级数用于近似计算幂函数。