《微分方程复习》课件

微分方程复习单击添加副标题汇报人目录01单击添加目录项标题02微分方程的基本概念03一阶微分方程04高阶微分方程05微分方程的应用06微分方程的数值解法01添加章节标题02微分方程的基本概念微分方程的定义微分方程含有未知函数基本形式dy/dx=fx,y解满足微分方程的函数及其导数的方程初值问题给定初始条件，边界条件给定边界条件，微分方程的性质连续性、可微性、可积性、存在唯求解微分方程求解微分方程一性等微分方程的分类添加标题添加标题添加标题添加标题一阶微分方程只二阶微分方程含高阶微分方程含线性微分方程未含有一个未知函数有两个未知函数及有三个或三个以上知函数及其导数都及其导数的方程其导数的方程未知函数及其导数是线性的方程的方程添加标题添加标题添加标题非线性微分方程常微分方程未知偏微分方程含有未知函数及其导数函数及其导数都是多个未知函数及其都不是线性的方程常数的方程导数的方程微分方程的解法积分法通过积分求解微分代数方法通过代数变换求方程解微分方程分离变量法将微分方程中数值方法通过数值计算求的变量分离，求解出变量的解微分方程函数03一阶微分方程一阶线性微分方程定义一阶线形式一般形解一阶线性应用一阶线性微分方程是式为y+微分方程的解性微分方程在指含有一个未Pxy=Qx可以通过积分物理、工程等知函数和一个法求解领域有广泛应未知函数的导用数的方程一阶非线性微分方程定义一阶非线性求解方法一阶非应用一阶非线性实例例如，一阶微分方程是指含有线性微分方程的求微分方程在物理、非线性微分方程未知函数及其导数解方法包括分离变化学、生物、工程y=fy的求解方法的方程，且方程中量法、积分因子法、等领域有着广泛的包括分离变量法、至少含有一个未知常数变易法等函数的非线性项应用积分因子法等一阶常系数线性微分方程定义一阶微分形式dy/dx+解通过积分法应用广泛应用方程，其系数为Pxy=Qx求解于物理、化学、常数工程等领域04高阶微分方程高阶线性微分方程定义含有未特点方程中求解方法特应用工程、知函数及其导未知函数及其征方程法、幂物理、经济等数的方程导数的次数大级数法、拉普领域的模型分于1拉斯变换法等析与求解高阶非线性微分方程定义含有未知函数及其导数的高阶非线性方程特点解的存在性和唯一性难以确定解法通常采用数值方法求解，如差分法、有限元法等应用广泛应用于物理、化学、生物、工程等领域高阶常系数线性微分方程概念n阶常系数线性微分方程，其形式为yn+an-1yn-1+...+a1y+a0y=fx解法一般采用特征值法求解特征值求解特征方程r^n+an-1r^n-1+...+a1r+a0=0，得到特征值r特征向量求解特征方程对应的齐次方程组，得到特征向量v通解将特征值和特征向量代入通解公式，得到高阶常系数线性微分方程的通解05微分方程的应用物理问题中的应用力学描述物体的运动和受力情况热力学描述温度、压力等物理量的变化规律电磁学描述电磁场的分布和变化规律光学描述光的传播和干涉现象量子力学描述微观粒子的运动和相互作用规律相对论描述高速运动物体的时间和空间变化规律经济问题中的应用经济增长模型描述经济消费储蓄模型分析消费投资决策模型帮助企业汇率模型预测汇率变动增长的动态过程者行为和储蓄决策进行投资决策对经济的影响生物问题中的应用生态学研究种群数量变化生理学研究心脏、血液、和生态系统平衡呼吸等生理系统的动态过程药物动力学研究药物在体遗传学研究基因表达和调内的分布和代谢过程控的动态过程06微分方程的数值解法欧拉方法基本思想将微分方程转化为差分方程，然后求解差分方程优点简单易行，易于实现缺点精度较低，稳定性较差改进方法改进欧拉方法，如改进欧拉方法、龙格-库塔方法等龙格库塔方法-基本思想将微分方程转化为一组差分方程，然后利用迭代方法求解优点计算效率高，稳定性好，适用于求解初值问题缺点收敛速度较慢，不适用于求解边界值问题应用领域广泛应用于工程、物理、化学等领域的微分方程求解步长和误差控制步长选择根据问题的性质和精度要求选择合适的步长误差估计通过误差估计来判断计算结果是否满足精度要求误差控制通过调整步长或改变算法来控制误差稳定性和收敛性保证数值解法的稳定性和收敛性，避免出现数值不稳定或发散的情况数值解法的收敛性和稳定性收敛性数值解法的解是否接近真实解稳定性数值解法在微小扰动下是否仍然保持收敛误差分析数值解法的误差来源和影响因素稳定性条件保证数值解法稳定的条件感谢观看汇报人。