《微分方程复习课k》课件

微分方程复习课P PT课件,汇报人01添加目录标题02微分方程的基本概念目录03一阶微分方程CONTENTS04高阶微分方程05微分方程组06常系数线性微分方程组单击添加章节标题第一章微分方程的基本概念第二章微分方程的定义微分方程描述函数在某点或某区间上的变化率的方程微分方程的解满足微分方程的函数微分方程的类型常微分方程、偏微分方程、积分微分方程等微分方程的应用物理、化学、生物、工程等领域微分方程的分类添加标题添加标题添加标题添加标题一阶微分方程只含二阶微分方程含有高阶微分方程含有线性微分方程未知有一个未知函数及其两个未知函数及其导三个或三个以上未知函数及其导数都是线导数的方程数的方程函数及其导数的方程性的方程添加标题添加标题添加标题非线性微分方程未常微分方程未知函偏微分方程含有多知函数及其导数至少数及其导数都是常系个未知函数及其导数有一个是非线性的方数的方程的方程程微分方程的解法积分法将微分方分离变量法将代数方法将微数值方法通过程中的微分符号转微分方程中的变分方程转化为代数值计算方法，化为积分符号，求量分离出来，求数方程，求解出求解出微分方程解出函数的积分解出变量的函数代数方程的解的数值解微分方程的应用物理描述物体运动、热传导、电磁场经济描述市场供需、价格波动等现象等现象化学描述化学反应速率、物质扩散等工程描述机械振动、电路分析等现象现象生物描述生物种群增长、生态平衡等计算机科学描述信号处理、图像处理现象等现象一阶微分方程第三章一阶线性微分方程定义一阶线性微分方程是指含有解一阶线性微分方程的解可以通一个未知函数和一个未知函数的导过积分法求解数的方程添加标题添加标题添加标题添加标题形式一般形式为dy/dx+Pxy应用一阶线性微分方程在物理、=Qx化学、生物等领域有广泛应用可分离变量的微分方程定义形如解法将方程应用广泛应注意事项求dy/dx=fy/g分离变量，得用于物理、化解过程中需要x的微分方程到学、生物等领注意积分常数y=fy/gx，域的取值，以及然后积分求解方程的解是否满足初始条件全微分方程定义一阶微分方程的解称为形式fx,ydx+gx,ydy=0全微分方程性质全微分方程的解是应用在物理、工程等领域有fx,ydx+gx,ydy=0的积分广泛应用一阶隐式微分方程定义一阶隐式微求解方法通常应用广泛应用特点求解过程分方程是指含有一采用积分法、分于物理、化学、复杂，需要一定个未知函数和一个离变量法、常数生物、工程等领的数学技巧和经未知函数的导数的方程变易法等域验高阶微分方程第四章高阶线性微分方程定义含有未知函数及其导数的方程特点方程中未知函数的最高阶导数大于1求解方法特征方程法、幂级数法、拉普拉斯变换法等应用在物理、工程、经济等领域有广泛应用欧拉方程欧拉方程是描述高阶微分方程的一种方法欧拉方程的解通常具有解析形式欧拉方程在物理、工程等领域有广泛应用欧拉方程的求解方法包括积分法、级数法等伯努利方程伯努利方程是描述伯努利方程是微分伯努利方程在流体伯努利方程的解可流体力学中流体压方程的一种，属于力学、气象学等领以通过数值方法求力、速度和高度关高阶微分方程域有广泛应用解，如欧拉方法、系的方程龙格-库塔方法等高阶隐式微分方程定义含有未知函数及其特点方程中包含未知函求解方法牛顿法、迭代应用物理、工程、经济导数的方程数及其导数的高阶项法、差分法等等领域微分方程组第五章微分方程组的解法直接积分法适常数变易法适矩阵法适用于特征值法适用拉普拉斯变换法数值解法适用用于线性微分方用于线性微分方线性微分方程组于线性微分方程适用于线性微分于非线性微分方程组程组组方程组程组线性微分方程组l定义含有未知函数及其导数的方程组l特点方程组中的每个方程都是线性的l解存在唯一解或无穷多解l应用广泛应用于物理、工程等领域齐次和非齐次线性微分方程组齐次线性微分方程组所有未知函数都是线性的，且所有方程的系数都是常数非齐次线性微分方程组至少有一个未知函数是非线性的，或者至少有一个方程的系数不是常数齐次线性微分方程组的解可以通过特征值和特征向量求解非齐次线性微分方程组的解通常需要先求解齐次线性微分方程组的解，然后利用叠加原理求解非齐次线性微分方程组的解微分方程组的几何意义微分方程组描述了一组函数之间的关系每个函数对应一个向量场，向量场描述了函数值的变化趋势微分方程组的解对应向量场的积分曲线，积分曲线描述了函数值的变化轨迹微分方程组的解空间是一个流形，流形描述了函数值的变化范围和规律常系数线性微分方程组第六章欧拉-拉格朗日方法步骤首先，引入欧拉-拉格朗日方法主要思想通过引应用欧拉-拉格朗辅助函数，然后，是求解常系数线性入辅助函数，将微日方法在工程、物对辅助函数进行求微分方程组的一种分方程组转化为代理等领域有着广泛导，最后，将微分方法数方程组的应用方程组转化为代数方程组常系数线性齐次微分方程组定义所有系数均为常数的线性微分方程组形式ax+bx=0，其中a,b为常数解存在唯一解，且解的形式为x=Ce^-kt，其中C为常数，k为特征值特征值方程组的解的共同特征，决定了方程组的解的形式和稳定性常系数线性非齐次微分方程组l定义含有常数项的线性微分方程组l特点方程组中的每个方程都有常数项l解一般采用特征值法求解l应用广泛应用于物理、工程等领域解的稳定性与不稳定性稳定性解在不稳定性解稳定性条件不稳定性条件初始条件下保在初始条件下解的稳定性取解的不稳定性持不变或接近发生显著变化决于系数矩阵取决于系数矩不变的特征值阵的特征值变系数线性微分方程组第七章变系数线性齐次微分方程组特点系数随自变量变化求解方法特征值法、矩阵法等定义含有变系数的线性齐应用工程、物理、经济等次微分方程组领域变系数线性非齐次微分方程组的解法l特征值法通过求解特征值和特征向量，得到方程组的解l积分因子法通过求解积分因子，得到方程组的解l拉普拉斯变换法通过拉普拉斯变换，得到方程组的解l傅里叶变换法通过傅里叶变换，得到方程组的解l数值解法通过数值方法，如欧拉法、龙格-库塔法等，得到方程组的近似解变系数线性微分方程组的近似解法特征值法通过求解特征值和特征向量，得到近似解迭代法通过迭代过程，逐步逼近精确解差分法将微分方程离散化，转化为差分方程组，然后求解数值积分法通过数值积分方法，求解微分方程的近似解变系数线性微分方程组的数值解法欧拉方法通龙格-库塔方法牛顿-拉夫森方线性多步法变系数线性微过迭代求解，通过积分求解，法通过迭代通过积分求解，分方程组的数适用于初值问适用于初值问求解，适用于适用于初值问值解法的应用题题初值问题题在工程、物理、化学等领域有广泛应用感谢您的观看汇报人。