高数课件17换元积分法

高数课件17换元积分法2,汇报人目录0102换元积分法的基本换元积分法的常见概念类型0304换元积分法的计算换元积分法的注意步骤事项05换元积分法的应用举例Part One换元积分法的基本概念换元积分法的定义应用范围适用于换元积分法是一基本思想通过主要步骤选择求解含有三角函数、种积分方法，用引入新的变量，适当的换元函数，指数函数、对数函于解决复杂积分将复杂积分转化进行换元，然后数等复杂函数的积问题为简单积分求解分问题换元积分法的应用场景解决复杂积分问简化积分计算过提高积分计算效解决实际问题中题程率的积分问题换元积分法的分类l直接换元法直接对被积函数进行换元，适用于被积函数形式简单、易于换元的情况l间接换元法先对被积函数进行变换，再对变换后的函数进行换元，适用于被积函数形式复杂、难以直接换元的情况l部分换元法只对被积函数中的部分变量进行换元，适用于被积函数中含有多个变量的情况l复合换元法对被积函数进行多次换元，适用于被积函数中含有多个变量的情况，且每个变量都需要进行换元的情况Part Two换元积分法的常见类型第一类换元积分法换元积分法的定义将复杂积分转换元积分法的应用解决复杂积分化为简单积分问题，如三角函数积分、有理函数积分等添加标题添加标题添加标题添加标题换元积分法的步骤选择适当的换换元积分法的优点简化计算，提元变量，进行换元，然后求解高计算效率第二类换元积分法换元积分法的第二类换元积第二类换元积第二类换元积分法的应用定义将复杂分法的特点分法的步骤在解决含有积分转化为简适用于积分区首先将x^2替x^2的积分问单积分间为[a,b]，且换为u，然后题时，可以采被积函数中含对u进行积分，用第二类换元有x^2的积分最后将u替换积分法进行求回x^2解第三类换元积分法l换元积分法的定义将复杂积分转化为简单积分l换元积分法的分类第一类换元积分法、第二类换元积分法、第三类换元积分法l第三类换元积分法的特点适用于积分区间为无穷区间的情况l第三类换元积分法的应用解决积分区间为无穷区间的问题，如积分∫1/x^2dx第四类换元积分法换元积分法的常见类型第第四类换元积第四类换元积分法的特点分法的应用定义通过引一类换元积分适用于积分中在解决复杂积入新的变量，法、第二类换含有三角函数、分问题时，可将原积分转化元积分法、第指数函数、对以采用第四类为新的积分形三类换元积分数函数等复杂换元积分法进式，从而简化法函数的情况行简化计算，计算提高计算效率Part Three换元积分法的计算步骤确定积分变量和自变量确定积分区间根据题目要求，确定积分区间确定自变量根据题目要求，确定积分公式根据题目要确定需要积分的自变量求，确定积分公式确定积分变量根据题目要确定积分结果根据题目要求，确定需要积分的变量求，确定积分结果选择适当的换元函数确定新的积分区间和被积函数寻找合适的换元函数，使得计算新的积分区间上的积分被积函数在换元后更容易积分确定积分区间和被积函数换回原来的积分变量，得到原积分的解确定新的积分上下限确定新的积分变量将原积分变量替换为新的积分变量确定新的积分上下限根据新的积分变量，确定新的积分上下限计算新的积分将新的积分变量代入原积分，计算新的积分确定新的积分值将新的积分值代入原积分，计算新的积分值确定新的积分结果将新的积分值代入原积分，计算新的积分结果进行积分计算确定积分区间和被积函数计算新的积分值选择适当的换元方法代入换元公式，得到原积分的值计算新的积分区间和被积函数Part Four换元积分法的注意事项换元函数的取值范围l换元函数必须连续l换元函数必须可导l换元函数必须满足一定的条件，如单调性、可积性等l换元函数不能导致积分区间的变化换元函数在积分上下限的取值换元函数在积换元函数在积换元函数在积换元函数在积分上下限的取分上下限的取分上下限的取分上下限的取值必须满足连值必须满足可值必须满足可值必须满足单续性导性积性调性换元函数在积分区间上的单调性l换元函数在积分区间上必须是单调的l单调性决定了积分的符号l单调性决定了积分的收敛性l单调性决定了积分的精度特殊情况的考虑和处理换元积分法适用于积分区间为[a,b]的积当被积函数中含有对数函数时，需要特分问题殊处理当积分区间为[a,∞或0,∞时，需要当被积函数中含有指数函数时，需要特特殊处理殊处理当被积函数中含有三角函数时，需要特当被积函数中含有幂函数时，需要特殊殊处理处理Part Five换元积分法的应用举例举例1利用第一类换元积分法求解定积分问题描述求换元法设积分变换求解利用第解定积分u=x^2+1，∫x^2+1dx一类换元积分∫x^2+1dx，du=2xdx=∫udu法求解∫udu，0≤x≤1得到结果1/3举例2利用第二类换元积分法求解定积分问题描述求解定积分∫x^2+1dx换元法设u=x^2+1，du=2xdx积分变换∫x^2+1dx=∫udu求解利用第二类换元积分法求解∫udu，得到结果2x+1/2举例3利用第三类换元积分法求解定积分问题描述求解定积分∫x^2+1dx换元法设u=x^2+1，du=2xdx换元后积分∫udu求解u=x^2+1，du=2xdx，代入原式得∫udu=∫udu=u^2/2+C换回原变量u=x^2+1，代入得∫x^2+1dx=x^2+1^2/2+C举例4利用第四类换元积分法求解定积分问题描述求解定积分∫x^2+1dx换元法令x=t^2-1，则dx=2tdt换元后积分∫t^2-1^22tdt求解利用第四类换元积分法求解，得到结果2/3THANKS汇报人。