《函数极值》课件

《函数极值》课件ppt•函数极值简介contents•极值的判定•极值的应用目录•极值计算方法•极值与最优化问题01函数极值简介极值的定义极值点函数在某点的导数为零或不存在，且在这一点左侧单调递增，右侧单调递减，则称该点为极小值点；反之，则称为极大值点极值极小值和极大值的统称极值的性质010203单调性局部性可导性在极值点处，函数由单调极值只是相对于其附近的极值点必须是可导的，不递增变为单调递减或由单函数值而言，对整个函数可导点不能是极值点调递减变为单调递增而言不一定是最小或最大的极值的分类极大值与极小值根据定义，极大值和极小值是两种不同的极值第一类极值和第二类极值根据不同的分类标准，可以将极值分为两类第一类极值是相对较小的极值，而第二类极值则是相对较大的极值单侧极值和双侧极值根据定义，单侧极值是指函数在某一点的左侧或右侧存在单调性改变的极值点；而双侧极值则是指函数在某一点的两侧都存在单调性改变的极值点02极值的判定一阶导数判定法总结词举例考虑函数$fx=x^3$，其一阶导数通过判断一阶导数的正负来判断函数为$fx=3x^2$，在$x=0$处，一在某点的极值阶导数由正变负，故函数在$x=0$处取得极小值详细描述当一阶导数在某点的左右两侧由正变负或由负变正时，函数在该点取得极值二阶导数判定法详细描述当二阶导数在某点的左右两侧符号总结词相反时，函数在该点取得极值通过判断二阶导数的正负来判断函数在某点的极值举例考虑函数$fx=x^4$，其二阶导数为$fx=4x^3$，在$x=0$处，二阶导数由正变负，故函数在$x=0$处取得极值不等式判定法总结词详细描述举例通过解不等式来确定函数根据函数的单调性，通过考虑函数$fx=x^3-在某区间上的极值点解不等式找到函数的拐点，3x^2+2x$，解不等式从而确定极值点$fx=0$得到极值点符号判定法总结词详细描述举例通过判断函数在某区间内的符号根据函数在区间端点和拐点处的考虑函数$fx=x^2-2x$，在变化来判断函数的极值符号变化，判断函数在该区间的区间$0,2$内，函数在端点和拐极值情况点处的符号变化可以判断出该区间内的极值情况03极值的应用在经济领域的应用供需平衡在经济学中，极值分析有助于确定商品的供给和需求平衡点，从而制定合理的价格策略例如，通过研究需求函数和供给函数的极值点，可以找到使得供需相等的价格，即市场均衡价格成本最小化在生产过程中，企业常常面临如何最小化生产成本的问题通过极值理论，可以找到使得成本最小的生产要素投入比例，从而实现成本最小化目标在物理领域的应用运动轨迹分析在物理学中，极值原理可以用于分析物体的运动轨迹例如，在分析行星的运动轨迹时，可以利用极值原理确定行星在各个时刻的位置和速度能量最小化在力学和电磁学等领域，极值原理可以用于寻找系统能量的最小值例如，在分析弹簧振荡器的运动时，可以利用极值原理确定振荡器的平衡位置和能量最小值在数学领域的应用优化问题求解在数学中，极值理论是解决优化问题的重要工具通过极值条件，可以找到使得目标函数取得最大值或最小值的自变量取值，从而解决各种优化问题数学建模在数学建模中，极值问题是一个常见的问题类型例如，在解决几何问题时，可以利用极值原理确定点、线或面的位置和形状04极值计算方法直接代入法基础方法直接代入法是求函数极值的基础方法，适用于一元函数通过将导数等于0的点代入原函数，可以找到可能的极值点牛顿迭代法数值计算方法牛顿迭代法是一种数值计算方法，通过迭代的方式逼近函数极值点在每一步迭代中，使用泰勒级数展开式来逼近函数值，直到达到所需的精度拉格朗日中值定理法理论分析方法拉格朗日中值定理法是利用函数的导数与函数值之间的关系来分析函数极值的方法通过分析导数的符号变化，可以判断函数在某区间内是否取得极值，并确定极值点的位置05极值与最优化问题单变量最优化问题单变量最优化问题是指目标函单变量最优化问题可以通过求单变量最优化问题在生产、生数只有一个自变量的问题导数、判断单调性或使用不等活和科学研究中有广泛的应用，式等方法求解如成本最小化、利润最大化等多变量最优化问题多变量最优化问题是指目标函数多变量最优化问题需要同时考虑多变量最优化问题在解决实际问有多个自变量的问题多个因素，因此求解更加复杂题时具有更大的挑战性，如多目标决策、多因素优化等最优化问题的求解方法01020304梯度下降法牛顿法遗传算法模拟退火算法通过计算目标函数的梯度，沿通过构造目标函数的Hessian模拟生物进化过程的自然选择模拟固体退火过程的随机搜索着梯度负方向寻找最小值矩阵，求解方程组得到最优解和遗传机制，通过迭代搜索最算法，能够在全局范围内找到优解最优解THANK YOU。