《北邮复变函数》课件

《北邮复变函数》ppt课件•引言•复数与复变函数•复变函数的导数与积分•复变函数的级数展开目•复变函数的积分公式与全纯函数的性质•复变函数的几何意义与物理应用录contents01CATALOGUE引言课程简介课程名称《北邮复变函数》适用对象主要内容本课程适用于通信、电子、计算机等理工科复变函数的基本概念、性质、定理及其应用专业的学生课程目标01掌握复变函数的基本概念、性质和定理02理解复变函数在通信、电子、计算机等领域的应用03培养学生的数学思维能力和分析解决问题的能力02CATALOGUE复数与复变函数复数及其性质复数的性质复数具有加法、减法、乘法复数的几何表示和除法等运算性质，满足交换律、结合律和分配律复数可以用平面上的点来表复数的定义示，横轴为实部，纵轴为虚部复数是实数域的扩展，形式为a+bi，其中a和b是实数，i是虚数单位，满足i^2=-1复变函数的概念定义域与值域复变函数是复数域上的函数，即从复数域到复数域的映射单值函数与多值函数根据值域的个数，复变函数可以分为单值函数和多值函数解析函数如果一个复变函数在其定义域内可微，则称其为解析函数复变函数的极限与连续性极限的定义连续性的定义复变函数的极限是指当自变量趋于某一点时，如果一个复变函数在某一点处的极限值等于该函数的值趋于某一确定的复数点的函数值，则称该函数在该点连续极限与连续性的关系极限的性质可以用来研究函数的连续性，反之亦然03CATALOGUE复变函数的导数与积分导数的概念与性质导数的定义与性质导数描述了函数在某一点的切线斜率，反映了函数在该点的变化率导数具有一些重要的性质，如线性性质、链式法则、乘积法则、商的导数等可导的条件函数在某点可导需要满足一定的条件，如连续性、左右极限相等等此外，一些常见函数的导数也需要记住，如常数函数、幂函数、三角函数等积分概念与性质积分的定义与性质积分是微分的逆运算，用于计算函数与某曲线之间的面积积分的性质包括线性性质、积分区间可加性、积分的几何意义等不定积分与定积分不定积分是求函数的原函数的过程，而定积分则是计算函数在某个区间上的面积不定积分与定积分之间存在密切的联系，如牛顿-莱布尼茨公式等全纯函数与亚纯函数全纯函数与亚纯函数的定义全纯函数是指在其定义域内解析的复函数，而亚纯函数则是在其定义域内除有限个极点外解析的复函数全纯函数与亚纯函数的性质全纯函数具有一些重要的性质，如柯西积分公式、留数定理等这些性质在复变函数的分析和计算中具有重要的作用04CATALOGUE复变函数的级数展开幂级数展开幂级数展开是复变函数级数展开的一种形式，它通过将复数函01数表示为幂函数的无穷级数来逼近函数本身幂级数展开具有形式简单、收敛速度快等优点，因此在数值计02算和近似分析中得到广泛应用幂级数展开的收敛范围取决于收敛半径，收敛半径的大小与幂03级数的系数有关洛朗兹级数展开01洛朗兹级数展开是复变函数的一种级数展开形式，它以洛朗兹函数为基底进行展开02洛朗兹级数展开具有形式简洁、易于计算等优点，适用于处理具有特定对称性的复变函数03洛朗兹级数展开的收敛性取决于洛朗兹函数的性质和函数的定义域泰勒级数展开泰勒级数展开是复变函数的一种级数展开形式，它以多项式和三角函数的组合形式逼近函数本身泰勒级数展开具有形式简单、易于理解等优点，适用于处理具有特定性质的复变函数泰勒级数展开的收敛性取决于多项式和三角函数的系数以及函数的定义域05CATALOGUE复变函数的积分公式与全纯函数的性质柯西积分公式柯西积分公式是复变函数中一个重要的积分公式，它给出了全纯函数在给定区域内的一个积分表示公式形式为∫​​​​​​​fz/dz=∫​​​​​​​ft/t−zdt|t∂t=z|,其中fz是全纯函数，z是积分路径上的点，t是积分区域内的点柯西积分公式在解决全纯函数的积分表示、解析延拓等问题中有着广泛的应用留数定理010203留数定理是复变函数中一个重定理形式为留数定理在解决全纯函数的积要的定理，它给出了全纯函数∫​​​​​​​fzdz=2πiRes[fz,p]，其中分表示、全纯函数的零点个数在闭曲线上的积分与其留数的fz是全纯函数，p是奇点，等问题中有着广泛的应用乘积等于零Res[fz,p]表示fz在p处的留数全纯函数的性质与应用全纯函数具有一些重要的性质，如全纯函数的导数仍然是全纯函数、全纯函数的积分与路径无关等全纯函数在数学、物理、工程等领域中有着广泛的应用，如傅里叶分析、量子力学、信号处理等06CATALOGUE复变函数的几何意义与物理应用复平面与几何解释复数的几何解释复数可以用点来表示，实部为横坐标，虚部为纵坐复平面与实数轴的关系标复数的模表示点到原点的距离，辐角表示点在平面上的角度复数可以用实数轴和虚数轴构成的平面来表示，实部对应于x轴，虚部对应于y轴复数的几何运算复数的加法、减法、乘法和除法可以通过几何图形上的点进行相应的平移、旋转和缩放来实现电容、电感与复阻抗电容和电感的定义电容是存储电荷的元件，电感是存储磁能的元件1复阻抗的概念在交流电路中，由于电压和电流的相位差，阻抗2表现为复数形式，实部为电阻，虚部为电抗复阻抗与电容、电感的关系电容的阻抗为1/ωC，电感的阻抗为ωL，其中3ω是角频率波动方程与热传导方程的复数形式波动方程的复数形热传导方程的复数复数形式的优势式形式波动方程是描述波动现象的偏微热传导方程是描述热量传递的偏复数形式的波动方程和热传导方分方程，通过傅里叶变换将其转微分方程，通过傅里叶分析将其程可以更容易地处理边界条件和换为频域表示后，可以将其表示转换为频域表示后，也可以将其初始条件，并且可以更方便地进为复数形式表示为复数形式行数值计算和模拟THANKS感谢观看。