同济大学线性代数课件第一章

同济大学线性代数课件第一章•线性代数简介CONTENTS目录•矩阵的基本概念•向量的基本概念•线性方程组的基本概念CHAPTER01线性代数简介线性代数的定义线性代数是一门研究线性方程组、向量空间、线性变换等数学对象的学科它通过矩阵、行列式、向量等工具，研究线性关系和线性变换的性质和规律线性代数的重要性线性代数是数学的一个重要分支，广泛应用于科学、工程、经济等领域它为解决实际问题提供了重要的数学工具，如线性方程组求解、矩阵运算、特征值计算等线性代数的发展历程线性代数的发展始于17世纪，随着代数学的发展而逐步形成0119世纪中叶，行列式和矩阵的引入为线性代数的研究提供了重02要的工具20世纪以来，线性代数的研究不断深入，出现了许多重要的理03论和应用成果CHAPTER02矩阵的基本概念矩阵的定义矩阵是一个由数字组成的矩形矩阵的元素通常用方括号括起矩阵的维度表示其行数和列数，阵列，行数和列数可以不同来，行之间用逗号分隔，列之例如一个$3times2$矩阵有3间用分号分隔行和2列矩阵的运算加法两个同维度的矩阵可以相加，对应元素相加得到结果矩阵的对应元素数乘一个标量与一个矩阵相乘，将矩阵的每个元素都乘以该标量乘法一个矩阵与另一个矩阵相乘，结果矩阵的行数等于第一个矩阵的列数，列数等于第二个矩阵的行数特殊类型的矩阵对角矩阵除了主对角线上的元素外，其他元素都为零的矩阵上三角矩阵主对角线以下的元素都为零的矩阵下三角矩阵主对角线以上的元素都为零的矩阵CHAPTER03向量的基本概念向量的定义总结词向量的定义详细描述向量是具有大小和方向的量，通常用有向线段表示在二维空间中，向量可以用有序对表示，而在三维空间中，向量可以用有序三元组表示向量的运算总结词向量的运算详细描述向量有加法、数乘、减法、数乘运算等基本运算向量的加法满足交换律和结合律，数乘满足分配律此外，还有向量的模运算、向量的数量积、向量的向量积、向量的混合积等运算向量的模与向量的空间总结词向量的模与向量的空间详细描述向量的模表示向量的大小，计算公式为$sqrt{x^2+y^2}$（在二维空间）或$sqrt{x^2+y^2+z^2}$（在三维空间）向量空间是由向量构成的集合，满足加法和数乘的封闭性、加法和数乘的结合律、加法和数乘的交换律等性质CHAPTER04线性方程组的基本概念线性方程组的定义线性方程组由有限个线性方程组成的方程组，其中每个方程包含一个或多个未知数线性方程组的一般形式Ax=b，其中A是一个矩阵，x是一个向量，b是一个向量，且A、x、b中的元素都是实数或复数线性方程组的解满足所有方程的未知数的值线性方程组的解法迭代法共轭梯度法高斯消元法通过行变换将增广矩阵化为阶通过迭代的方式逐步逼近方程基于最速下降法和共轭方向的梯形矩阵，从而求解线性方程的解，常用的迭代方法有雅可思想，通过迭代寻找线性方程组比迭代法和SOR方法组的解线性方程组的应用010203物理问题工程问题经济问题线性方程组在物理领域中有着广在工程领域中，线性方程组被广在经济学中，线性方程组被用于泛的应用，如弹性力学、流体力泛应用于结构分析、控制系统等描述和解决各种经济问题，如投学等领域入产出分析、线性规划等。