复变函数课件2-3初等函数

复变函数课件2-3初等函数目录•引言•初等函数•解析函数•幂级数展开式•初等函数的幂级数展开式01引言复数与复变函数02由实数和虚数组成的数，表示复变函数为a+bi，其中a和b是实数，i是虚数单位01复数复数域上的函数，即对于每一个复数z，都有一个唯一的复数w=fz与之对应复变函数的几何意义0102复平面函数图像由横轴表示实部，纵轴表示虚部的平面复变函数的图像是复平面上的一条曲线或曲面复变函数的应用物理学在电磁学、波动理论和量子力学等领域中，复变函数被广泛用于描述和解决各种问题工程学在电子工程、控制理论和信号处理等领域，复变函数被用于分析和设计各种系统02初等函数指数函数010203指数函数定义指数函数的性质指数函数的导数复数域上的指数函数定义为指数函数具有连续性、可微性、可积性等对于复数域上的指数函数，其导数为z=e^{a+bi}，其中a和b是实数，性质在复平面上，指数函数e^z的图e^z的形式，满足dz/dz=e^z的关z是复数像是一个以原点为中心的等距螺线系三角函数010203三角函数的定义三角函数的性质三角函数的导数复数域上的三角函数定义为三角函数具有周期性、对称性对于复数域上的三角函数，其sinz、cosz和tanz，等性质在复平面上，三角函导数可以通过链式法则求得，其中z是复数数的图像是封闭的曲线或曲面例如cosz=-sinz和sinz=cosz幂函数幂函数的定义幂函数的导数对于复数域上的幂函数，其导数为复数域上的幂函数定义为z^n，其nz^{n-1}的形式，满足dz/dz=中n是实数，z是复数nz^{n-1}的关系幂函数的性质幂函数具有连续性、可微性、可积性等性质在复平面上，幂函数的图像是一个以原点为中心的等距圆盘03解析函数解析函数的定义解析函数如果一个复变函数在某区域内的全纯函数，则称该函数为解析函数解析函数一定有定义，且在定义域内是连续的解析函数的导数仍然是解析的，且导数在定义域内也是连续的解析函数的性质010203解析函数的导数仍然是解析解析函数在其定义域内是无解析函数的实部和虚部都是的限次可微的实可微的，且满足Cauchy-Riemann方程解析函数的判别法柯西-黎曼方程如果一个复变函数在某点处满足柯西-黎曼方程，则该函数在该点处是解析的柯西积分公式如果一个复变函数在某区域内是解析的，则该函数在该区域内的积分可以用该函数在该区域内的值来表示解析函数的零点性质如果一个解析函数在某点处的值为零，则该函数在该点处的一阶导数也为零04幂级数展开式幂级数展开式的定义幂级数展开式将一个复数函数表示为无穷级数的形式，其中每一项都是该函数的幂次与一个常数的乘积幂级数展开式的一般形式为fz=a0+a1*z+a2*z^2+a3*z^3+...+an*z^n+...幂级数展开式的性质010203唯一性收敛性可微性一个复数函数在其定义域幂级数展开式在复平面上如果一个复数函数在其定内只有唯一的幂级数展开的收敛域内是收敛的，即义域内可微，那么它的幂式当z在收敛域内时，幂级级数展开式在收敛域内也数展开式无限趋近于fz是可微的幂级数展开式的应用近似计算在工程和科学计算中，常常需要计函数逼近算复杂函数的值，通过幂级数展开式可以快速近似计算出函数的值通过幂级数展开式，可以用多项式逼近复杂的函数，从而简化计算和分析解析延拓通过幂级数展开式，可以将一个函数在某个区域内的性质扩展到其他区域05初等函数的幂级数展开式指数函数的幂级数展开式指数函数幂级数展开式01$e^z=sum_{n=0}^{infty}frac{z^n}{n!}$展开式的收敛域02对于任意复数z，幂级数展开式在复平面上是处处收敛的应用03利用指数函数的幂级数展开式，可以方便地计算复数幂次和指数函数的值三角函数的幂级数展开式三角函数幂级数展开式$sinz=sum_{n=0}^{infty}-1^n1frac{z^{2n+1}}{2n+1!}$，$cosz=sum_{n=0}^{infty}-1^n frac{z^{2n}}{2n!}$展开式的收敛域对于实数z，三角函数幂级数展开式在复平面上2是处处收敛的应用利用三角函数的幂级数展开式，可以方便地计算3复数三角函数的值幂函数的幂级数展开式幂函数幂级数展开式$z^n=sum_{k=0}^{infty}binom{n}{k}frac{z^k}{k!}$展开式的收敛域对于任意非负整数n，幂函数幂级数展开式在复平面上是处处收敛的应用利用幂函数的幂级数展开式，可以方便地计算复数幂次和幂函数的值THANKS。