线性代数课件4-4向量空间

CATALOG DATEANALYSIS SUMMARYREPORT线性代数课件4-4向量空间EMUSER•向量空间的概念目录•向量空间的基与维数CONTENTS•向量空间的子空间•向量空间的线性映射CATALOG DATEANALYSIS SUMMARREPORTY01向量空间的概念EMUSER向量空间的定义01向量空间是一个非空集合，满足加法和标量乘法的封闭性、结合性、交换性和分配性02向量空间中的元素称为向量，向量之间的加法和标量乘法满足向量运算法则向量空间的性质向量空间具有加法的零元，即存向量空间具有标量的零元，即任向量空间具有加法的逆元，即对在零向量，使得任意向量与零向意向量与标量0的乘法结果仍为于任意非零向量，存在一个相反量的加法结果仍为该向量本身该向量本身的向量，与原向量的加法结果为零向量向量空间的例子矩阵集合构成一个向量空间，其中矩实数域上的全体二维向量构成一个二阵的加法和标量乘法满足向量运算法维向量空间则复数域上的全体二维向量构成一个二维复向量空间CATALOG DATEANALYSIS SUMMARREPORTY02向量空间的基与维数EMUSER向量空间的基010203基的定义基的个数基的选择一个向量空间V的一组基一个向量空间的基的个数不同的基可以表示同一个是V中线性无关的向量，是有限的，且等于该空间向量空间，但基的个数是且V中任意向量可以由这的维数固定的组基线性表示向量空间的维数维数的定义维数的性质维数与几何意义一个向量空间的维数是该一个向量空间的维数是由在几何上，一个n维向量空空间中独立向量的最大个其基决定的，不同的基对间可以看作是所有n维向量数应不同的维数的集合，其维数表示了向量的自由度基与维数的关系基与维数的等价性一个向量空间的基和维数是等价的，知道其中一个就可以确定另一个基与维数的相互转化通过选择一组基，我们可以将向量空间的维数转化为具体的数值，反之亦然基与维数在计算中的应用在矩阵计算和线性变换中，了解基与维数的关系可以帮助我们更好地理解和应用相关概念和公式CATALOG DATEANALYSIS SUMMARREPORTY03向量空间的子空间EMUSER子空间的定义子空间如果向量空间V的非空子集W对于V的加法和标量乘法也是向量空间，则称W为V的子空间线性子空间如果W对于V的加法和标量乘法是封闭的，则称W为V的线性子空间子空间的性质01020304子空间对于加法和标量任何包含零向量的集合子空间的交集不一定是子空间的并集不一定是乘法的封闭性是其成为都是子空间子空间子空间子空间的必要条件子空间的例子实数域上的所有一维向量空间，即所有形如a*[1,0,0,...]的向量集合，构成实数域上的向量空间R^n的子空间任何矩阵A生成的子空间，即所有形如Ax的向量集合，构成R^n的子空间其中x是任意向量CATALOG DATEANALYSIS SUMMARREPORTY04向量空间的线性映射EMUSER线性映射的定义线性映射一个从向量空间V到向量空间W的映射，如果对于V中的任意向量α、β和标量k，满足条件fkα+β=k fα+fβ，则称f是V到W的线性映射线性映射的性质线性映射保持向量的加法和数乘运算不变，即fα+β=fα+fβ和fkα=k fα线性映射的性质线性映射是连续的如果向量空间V和W都是有限维的，那么线性映射是连续的线性映射是可逆的如果存在一个线性映射g W→V使得fgα=α和gfα=α，那么称f是可逆的线性映射的例子矩阵表示对于两个向量空间V和W，如果存在一个矩阵A使得对于V中的任意向量α，有fα=Aα，那么称f是由矩阵A表示的线性映射内积映射对于向量空间Rn，其中n是正整数，内积定义为α⋅β=∑i=1nαiβi，则可以定义一个从Rn到R的线性映射fα=α⋅β，其中β是Rn中的单位向量CATALOG DATEANALYSIS SUMMARREPORTYTHANKS感谢观看EMUSER。