《工学复变函数》课件

《工学复变函数》ppt课件目录CONTENTS•复数与复变函数的基本概念•复变函数的极限与连续性•复变函数的积分•幂级数与泰勒级数•傅里叶变换与拉普拉斯变换•复变函数的应用01复数与复变函数的基本概念复数的定义与性质总结词复数是实数范围的扩展，具有实部和虚部两个部分，满足一定的代数运算规则详细描述复数是由实部和虚部构成的数，形式为$z=a+bi$，其中$a$和$b$是实数，$i$是虚数单位，满足$i^2=-1$复数具有加法、减法、乘法和除法等运算性质，这些性质在复平面上有直观的几何意义复数的几何意义总结词复数可以用几何图形表示，实部为x轴上的点，虚部为y轴上的点详细描述在复平面上，每一个复数$z=a+bi$对应一个点$a,b$实部$a$表示该点在x轴上的坐标，虚部$b$表示该点在y轴上的坐标这种表示方法使得复数的运算具有直观的几何意义复变函数的定义总结词详细描述复变函数是定义在复数域上的函数，其复变函数是数学中研究的一类特殊函数，值也是复数其定义域和值域都是复数域在复变函数VS中，自变量和因变量都是复数，通过定义域内的复数作为自变量，可以得到定义域内的其他复数值作为因变量复变函数在解决实际问题中具有广泛的应用价值02复变函数的极限与连续性复变函数的极限极限的定义复变函数在某点的极限是指当自变量趋于该点时，函数值的趋势极限的性质极限具有唯一性、局部有界性、局部保序性等性质无穷小与无穷大研究复变函数在无穷远处的行为，包括无穷小和无穷大的定义和性质复变函数的连续性连续性的定义01如果复变函数在某点的极限值等于函数在该点的值，则函数在该点连续连续性的性质02连续性具有传递性、局部性、可积性等性质连续函数的图像03连续函数的图像是处处不间断的曲线复变函数的可微性可微性的定义导数的定义如果复变函数在某点的导数存在，则函数在该导数是函数值随自变量变化的速率点可微可微函数的性质可微函数具有局部线性性、局部保序性等性质03复变函数的积分复变函数的积分定义积分定义01对于复数域中的函数fz，如果z的积分存在，则记作∫fzdz积分路径02积分路径必须是单连通曲线，且起点和终点必须相同积分性质03复变函数的积分具有线性性质、可加性、可乘性和可微性等性质柯西积分公式柯西积分公式如果函数fz在简单闭曲线C的内部是解析的，则对于C内的任意一点z，有∫zftdt=1/2πi∫ftdt/t-z应用场景柯西积分公式是复变函数中一个重要的公式，它可以用来求解一些复杂的积分问题，也可以用来证明一些重要的定理，如柯西定理和柯西-黎曼定理解析函数的性质解析函数的导数仍然是解析的01如果一个函数在某点解析，那么它在该点的某一邻域内也是解02析的如果一个函数在某点连续，那么它在该点的某一邻域内可能解03析也可能不解析04幂级数与泰勒级数幂级数展开幂级数展开将函数表示为幂次函数的无穷和，即$fz=a_0+a_1z+a_2z^2+cdots$收敛域应用幂级数的收敛域是指能使级数收敛的z的取幂级数展开在解决初值问题和微分方程等问值范围题中具有重要应用泰勒级数展开泰勒级数展开将函数表示为多项式的无穷和，即$fz=f0+f0z+frac{f0}{2!}z^2+cdots$收敛域泰勒级数的收敛域是指能使级数收敛的z的取值范围应用泰勒级数展开在解决定积分、无穷序列求和等问题中具有重要应用洛朗兹级数展开010203洛朗兹级数展开收敛域应用将函数表示为洛朗兹函数的无穷洛朗兹级数的收敛域是指能使级洛朗兹级数展开在解决复变函数、和，即$fz=数收敛的z的取值范围积分方程等问题中具有重要应用sum_{n=0}^{infty}a_nz-z_0^n$05傅里叶变换与拉普拉斯变换傅里叶变换的定义与性质傅里叶变换的定义傅里叶变换的性质将一个时间域的函数转换为频域的函数，通线性性、时移性、频移性、共轭性、对称性过正弦和余弦函数的线性组合来表示等拉普拉斯变换的定义与性质要点一要点二拉普拉斯变换的定义拉普拉斯变换的性质将一个时域的函数转换为复平面上的函数，通过幂级数展线性性、时移性、复频域平移性、微分性、积分性等开的方式表示傅里叶变换与拉普拉斯变换的应用信号处理控制工程傅里叶变换在信号处理中广泛应用，如频谱拉普拉斯变换在控制工程中用于分析线性时分析、滤波器设计等不变系统的响应和稳定性电路分析图像处理在电路分析中，傅里叶变换和拉普拉斯变换傅里叶变换在图像处理中用于图像的频域分常用于分析交流电路和动态电路析和滤波，如图像去噪、边缘检测等06复变函数的应用在电路分析中的应用电路分析中，复变函数常被用于复数运算在计算交流电路的功率、复数表示的相量图可以直观地描描述交流电路中的电压和电流，能量和储能等方面也具有简化计述正弦稳态电路中电压和电流的通过复阻抗概念来分析电路的频算的作用关系，方便分析和设计电路率响应和稳定性在信号处理中的应用010203复数可以表示信号的幅度和相傅里叶变换是信号处理中常用复数还可以用于表示和处理数位信息，在信号处理中常被用的工具，而复数运算在傅里叶字信号，如离散傅里叶变换于频谱分析和滤波器设计变换中具有简化计算的作用（DFT）和快速傅里叶变换（FFT）在量子力学中的应用量子力学中，波函数通常用复数表示，复数运算在计算量子力学中的概率密度、波函数的模方等物理量时具有简化计算的作用量子力学中的哈密顿算符通常用复数表示，通过求解薛定谔方程可以得到系统的能量本征值和本征态复数还可以用于描述量子态的叠加和演化，以及量子纠缠等量子现象。