《数列极限收敛准则》课件

《数列极限收敛准则》课件ppt•数列极限的基本概念contents•收敛准则的介绍•收敛准则的应用目录•收敛准则的证明与推导•收敛准则的习题与解析01数列极限的基本概念数列的定义与表示总结词数列的定义与表示是数列极限理论的基础详细描述数列是由自然数集或整数集的有限或无限子集通过逐一列举的方式得到的数列通常用字母表示，如$a_n$，其中$n$表示项数，从$n=0$开始计数数列的极限定义总结词极限是数列的一种特性，描述了数列的变化趋势详细描述数列的极限定义是指当$n$趋向于无穷大时，数列的项无限接近某个常数记作$lim_{n to infty}a_n=A$，其中$A$是常数极限的性质与定理总结词极限的性质与定理是研究数列极限的重要工具详细描述极限的性质包括唯一性、有界性、保序性等极限的定理包括夹逼定理、单调有界定理等，这些性质和定理为研究数列的收敛性和求解极限问题提供了理论依据02收敛准则的介绍柯西收敛准则柯西收敛准则如果对于任意给定的正数$varepsilon$，存在一个正整数$N$，使得对于所有的$nN$，有$|a_n-a_{n+1}|varepsilon$，则数列收敛柯西收敛准则的证明通过反证法，假设存在一个数列不收敛，则对于任意正整数$N$，存在一个$nN$使得$|a_n-a_{n+1}|geq varepsilon$这与柯西收敛准则的条件矛盾，因此假设不成立，数列收敛狄利克雷收敛准则狄利克雷收敛准则如果存在一个常数$a$，对于任意正整数$n$，有$a_n=a$，则数列收敛狄利克雷收敛准则的证明由于对于任意正整数$n$，有$a_n=a$，则对于任意给定的正数$varepsilon$，存在一个正整数$N$，使得对于所有的$nN$，有$|a_n-a|varepsilon$因此数列收敛莱布尼茨收敛准则莱布尼茨收敛准则莱布尼茨收敛准则的证明如果存在一个非负整数列${b_n}$满足由于$lim_{n toinfty}b_n=0$，存在一$sum_{k=0}^n b_kinfty$且$lim_{n个正整数$N_1$，使得对于所有的toinfty}b_n=0$，则数列VS$nN_1$，有$b_nfrac{1}{2}$又因$sum_{k=0}^n a_{k+1}b_k$收敛为$sum_{k=0}^n b_kinfty$，存在一个正整数$N_2$，使得对于所有的$nN_2$，有$sum_{k=0}^n b_k frac{1}{2}$取$N=max{N_1,N_2}$，对于所有的$nN$，有$sum_{k=0}^nb_k1$且$b_nfrac{1}{2}$因此数列$sum_{k=0}^n a_{k+1}b_k$收敛拉格朗日收敛准则拉格朗日收敛准则拉格朗日收敛准则的证明如果存在一个非负整数列${b_n}$满足由于$lim_{n toinfty}b_n=0$，存在一个$sum_{k=0}^n b_kinfty$且$lim_{n to正整数$N_1$，使得对于所有的$nN_1$，infty}b_n=0$，则数列$sum_{k=0}^n有$b_nfrac{1}{2}$又因为a_{k+1}b_k-a_{k+1}sum_{k=0}^n b_k$$sum_{k=0}^n b_kinfty$，存在一个正收敛整数$N_2$，使得对于所有的$nN_2$，有$sum_{k=0}^n b_kfrac{1}{2}$取$N=max{N_1,N_2}$，对于所有的$nN$，有$sum_{k=0}^n b_k1$且$b_n frac{1}{2}$因此数列$sum_{k=0}^na_{k+1}b_k-a_{k+1}sum_{k=0}^n b_k$收敛03收敛准则的应用在数学分析中的应用证明数列收敛01收敛准则可用于证明数列的收敛性，通过满足收敛准则的条件，可以确定数列的极限求解极限问题02收敛准则提供了求解数列极限问题的方法，通过将数列分解为若干个部分，利用收敛准则分别求出各部分的极限，再取极限的极限，得到原数列的极限研究函数的性质03收敛准则可以应用于研究函数的性质，例如利用数列极限的性质推导函数的连续性和可导性等在实数完备性定理中的应用实数完备性定理实数完备性定理是一组关于实数的性质和定理的集合，包括单调有界定理、闭区间套定理、有限覆盖定理等收敛准则在实数完备性定理的证明中起着重要的作用证明实数完备性定理通过收敛准则，可以证明实数完备性定理中的一些重要结论，例如闭区间套定理中的套紧性、有限覆盖定理中的覆盖性质等应用实数完备性定理实数完备性定理在数学分析中有着广泛的应用，例如在微积分学、微分方程、积分方程等领域中都有重要的应用收敛准则在这些应用中也有着重要的作用在微积分学中的应用无穷小量导数和积分收敛准则可以应用于研究无穷小量，例如在导数和积分是微积分学中的重要概念，收敛证明无穷小量的性质和定理时，可以利用收准则可以应用于研究导数和积分的性质和计敛准则来推导和证明算方法，例如在计算定积分时可以利用收敛准则将积分转化为极限的求解04收敛准则的证明与推导柯西收敛准则的证明要点一要点二柯西收敛准则证明如果对于任意给定的$varepsilon0$，存在一个正整数假设数列${a_n}$不收敛，则对于任意正整数$N$，存在$N$，使得当$n,mN$时，有$|a_n-a_m|某个$nN$，使得$|a_n-L|varepsilon$，其中$L$varepsilon$，则数列${a_n}$收敛是数列的极限由于${a_n}$是有限的，可以选取两个不同的子列${a_{n_k}}$和${a_{m_k}}$，使得$n_km_k N$且$|a_{n_k}-a_{m_k}|geq varepsilon$这与假设矛盾，因此数列${a_n}$收敛狄利克雷收敛准则的证明狄利克雷收敛准则如果存在一个常数$L$，使得对于任意正整数$n$，有$lim_{{k toinfty}}a_{n+k}=L$，则数列${a_n}$收敛于$L$证明假设数列${a_n}$不收敛于$L$，则存在某个$varepsilon0$，对于任意正整数$N$，存在某个$nN$，使得$|a_n-L|varepsilon$由于${a_{n+k}}$是有限的，可以选取两个不同的子列${a_{n+k_j}}$和${a_{m+k_i}}$，使得$n+k_jm+k_iN$且$|a_{n+k_j}-a_{m+k_i}|geq varepsilon$这与假设矛盾，因此数列${a_n}$收敛于$L$莱布尼茨收敛准则的证明•莱布尼茨收敛准则如果存在一个常数$L$，使得对于任意正整数$n$，有$\lim{{k\to\infty}}a{n+1}a{n+2}\cdots a{n+k}=L^k$，则数列${a_n}$收敛于$L$•证明假设数列${a_n}$不收敛于$L$，则存在某个$\varepsilon0$，对于任意正整数$N$，存在某个$nN$，使得$|an-L|\varepsilon$由于${a{n+1}a{n+2}\cdots a{n+k}}$是有限的，可以选取两个不同的子列${a{n+1}a{n+2}\cdots a_{n+kj}}$和${a{m+1}a{m+2}\cdots a{m+ki}}$，使得$\frac{a{n+1}a{n+2}\cdotsa{n+kj}}{a{m+1}a{m+2}\cdots a{m+k_i}}\geq\frac{L^{k_j}}{L^{k_i}}=L^{k_j-ki}$且$\frac{a{n+1}a{n+2}\cdotsa{n+kj}}{a{m+1}a{m+2}\cdots a{m+k_i}}-1\geq\frac{\varepsilon}{L}$这与假设矛盾，因此数列${a_n}$收敛于$L$拉格朗日收敛准则的证明拉格朗日收敛准则证明如果存在一个常数$alpha0$，使得对于任意正整数假设数列${a_n}$不收敛，则存在某个$varepsilon$p,q pq$，有$frac{a_{q+1}}{a_q}frac{1+0$，对于任意正整数$N$，存在某个$pN,qp,r alpha}{1-alpha}$，则数列${a_n}$收敛q,sr,ts,ut,vu,wv,xw,05收敛准则的习题与解析习题一解析题目解析数列${a_{n}}$收敛，且$a_{n}geqslant0$，$forall由于数列${a_{n}}$收敛，根据收敛的定义，我们知道n in mathbf{N}^{*}$，若$lim_{n toinfty}a_{n}=数列的极限存在又因为$a_{n}geqslant0$，a$，则$a$的取值范围是____．$forall nin mathbf{N}^{*}$，所以数列${a_{n}}$是单调递增的根据单调有界数列的性质，我们知道数列${a_{n}}$是有界的，即存在一个正数$M$，使得$|a_{n}|leqslant M$，$forall nin mathbf{N}^{*}$因此，数列${a_{n}}$的极限$a=lim_{n toinfty}a_{n}leqslant M$由于$a_{n}geqslant0$，$forall ninmathbf{N}^{*}$，所以$a geqslant0$因此，$a$的取值范围是$[0,M]$习题二解析题目解析已知数列${a_{n}}$满足$a_{1}=1$，且$a_{n+1}=首先，我们观察到数列${a_{n}}$满足$a_{1}=1$，且a_{n}+frac{1}{nn+1}$，则数列${a_{n}}$的前$n$$a_{n+1}=a_{n}+frac{1}{nn+1}$我们可以将项和为____．这个递推关系式改写为$a_{n+1}-a_{n}=frac{1}{nn+1}$然后，我们利用裂项相消法进行求解具体来说，我们将$frac{1}{nn+1}$改写为$frac{1}{n}-frac{1}{n+1}$，于是有$a_{n+1}-a_{n}=frac{1}{n}-frac{1}{n+1}$这样，我们就可以将数列${a_{n}}$的前$n$项和表示为$a_{2}-a_{1}+a_{3}-a_{2}+ldots+a_{n}-a_{n-1}$由于每一项都可以相互抵消，所以数列${a_{n}}$的前$n$项和为$a_{n}-a_{1}=1-frac{1}{2}+frac{1}{3}+ldots+frac{1}{n}$最后，我们利用等差数列求和公式求出$frac{1}{2}+frac{1}{3}+ldots+frac{1}{n}$的和为$frac{1-1/2^{n}}{1-1/2}$，所以数列${a_{n}}$的前$n$项和为$2-frac{1}{2}^{n-1}$习题三解析题目解析已知数列${a_{n}}$满足$frac{a_{n+首先，我们观察到数列${a_{n}}$满足1}}{a_{n}}=frac{4}{3}$（常数），且数$frac{a_{n+1}}{a_{n}}=frac{4}{3}$列的前4项依次为VS（常数），且数列的前4项依次为$frac{5}{2},frac{5}{4},frac{5}{8},frac{5}$frac{5}{2},frac{5}{4},frac{5}{8},frac{5}{16}$，则此数列的第$n$项为____．{16}$根据等比数列的定义，我们知道数列${a_{n}}$是一个等比数列然后，我们利用等比数列的通项公式求出此数列的第$n$项具体来说，等比数列的通项公式为$a_n=a_1cdot q^{n-1}$将已知条件代入公式中，THANKS。