《复合函数的导数》课件

复合函数的导数•复合函数简介•复合函数的导数•复合函数导数的计算•复合函数导数的应用目•习题与答案录contents01CATALOGUE复合函数简介复合函数的定义复合函数是由两个或多个函数通过复合运算得到的函数设$u=fx$是一个函数，$y=gu$是另一个函数，则复合函数$y=gfx$是由$fx$和$gu$复合而成复合函数的性质复合函数具有连续性，即如果$fx$复合函数具有可导性，即如果$fx$和$gu$都是连续的，则复合函数和$gu$都是可导的，则复合函数$y$y=gfx$也是连续的=gfx$也是可导的VS复合函数的例子$y=sinx^2$是一个复合函数，其中$u=$y=e^{3x+1}$是一个复合函数，其中x^2$和$y=sin u$$u=3x+1$和$y=e^u$02CATALOGUE复合函数的导数导数的定义导数的符号表示用符号d表示自变量的增量，用符号fx表示导数的定义函数在x处的导数导数是函数在某一点的变化率，表示函数值随自变量变化的速率导数定义为函数在某导数的几何意义一点处的切线的斜率导数在几何上表示函数图像在某一点处的切线斜率导数的计算方法链式法则链式法则是复合函数求导的基本法则，用于计算复合函数的导数链式法则乘积法则是将复合函数的导数分解为多个简单函数的导数乘积乘积法则用于计算两个函数的乘积的导数，即uv=uv+uv商的导数公式高阶导数商的导数公式用于计算两个函数的商的导数，即u/v=u/v-uv/v^2高阶导数是导数的更高次幂，表示函数值随自变量变化的更复杂速率高阶导数的计算需要使用归纳法进行推导导数的几何意义导数的几何意义导数与函数增减性导数与曲线的凹凸性导数在几何上表示函数图像在某当导数大于零时，函数在该区间当导数大于零时，曲线在该区间一点处的切线斜率当函数在某内单调递增；当导数小于零时，内是凹的；当导数小于零时，曲点可导时，该点处的切线与函数函数在该区间内单调递减因此，线在该区间内是凸的因此，导图像在该点处的切线重合导数的符号决定了函数的增减性数的符号也决定了曲线的凹凸性03CATALOGUE复合函数导数的计算链式法则总结词链式法则是复合函数求导的核心，它描述了函数内部自变量对外部自变量的导数关系详细描述链式法则指出，如果一个函数y是另一个函数u的复合函数，即y=fu，那么dy/dx等于dy/du乘以du/dx具体地，假设y=fu和u=gx，则dy/dx=dy/du*du/dx乘积法则总结词乘积法则是计算两个函数的乘积的导数的方法详细描述乘积法则指出，如果两个函数相乘，则它们的乘积的导数等于每个函数的导数的乘积加上另一个函数的导数乘以第一个函数的值的导数具体地，假设y=fx和u=gx，则yu=y*u+y*u商式法则总结词详细描述商式法则是计算两个函数的商的导数的方法商式法则指出，如果两个函数相除，则它们的商的导数等于被除数的导数乘以除数的倒数减去除数的导数乘以被除数的倒数，再取结果的倒数具体地，假设y=fx和u=gx，则y/u=y*u-y*u/u^204CATALOGUE复合函数导数的应用复合函数导数的应用利用导数研究函数的单调性总结词通过求导数，可以判断函数的单调性，进而研究函数的性质详细描述导数大于0的区间内，函数单调递增；导数小于0的区间内，函数单调递减因此，通过求导并分析导数的符号，可以确定函数的单调性复合函数导数的应用利用导数研究函数的单调性要点一要点二总结词详细描述利用导数研究函数的极值函数的极值点处导数为0或不存在，通过求导并找到导数为0的点，可以确定函数的极值点此外，还可以通过分析导数在极值点附近的符号变化，判断极值点的性质（极大值或极小值）复合函数导数的应用利用导数研究函数的单调性总结词详细描述利用导数解决实际问题许多实际问题中，需要用到导数的概念和性质来解决例如，在经济学中，通过求导可以分析边际成本、边际收益等经济指标；在物理学中，通过求导可以分析速度、加速度等物理量此外，导数在优化问题、控制论等领域也有广泛的应用复合函数导数的应用利用导数研究函数的单调性总结词详细描述利用导数研究曲线的凹凸性通过求二阶导数并分析其符号，可以判断曲线的凹凸性二阶导数大于0的区间内，曲线为凹；二阶导数小于0的区间内，曲线为凸这一性质在几何和工程领域中有重要的应用05CATALOGUE习题与答案习题已知函数$fx=x^3+2x^2+x$，求其导数计算复合函数$fx=$fx$x^2+1x+3$的导数A BC D求函数$fx=sinx^2$计算函数$fx=在$x=frac{pi}{2}$处的lnx^2$在$x=e$处的导数值导数值答案$fx=4xx+3+2x$ffrac{pi}{2}=+2x+3=4x^2+cosfrac{pi}{2}cdot14x+6$frac{pi}{2}=0$$fx=3x^2+4x+1$$fe=frac{2}{e}$THANKS感谢观看。