多元函数的极值课件

多元函数的极值目录•引言•多元函数极值的基本概念•多元函数极值的求法•多元函数极值的性质•多元函数极值的应用•多元函数极值的扩展知识01引言极值的定义极值在一定区域内，一元函数取得最大值或最小值的1点局部极值函数在某点的附近取得最大值或最小值2整体极值函数在整个定义域内取得最大值或最小值3极值在数学和实际生活中的应用数学建模工程设计极值理论在数学建模中有着广在工程设计中，极值理论可以泛的应用，例如最优化问题、用于优化设计方案，例如桥梁、曲线拟合等建筑等结构的稳定性分析经济决策数据分析在经济学中，极值理论可以用在数据分析中，极值理论可以于分析成本最小化、利润最大用于异常值检测、趋势预测等，化等问题，为经济决策提供依提高数据的质量和可靠性据02多元函数极值的基本概念多元函数的极值定义极值定义设函数$fx,y$在点$x_{0},y_{0}$的某邻域内有定义，如果对于该邻域内任意点$x,y$都有$fx,yleq fx_{0},y_{0}$（或$fx,y geqfx_{0},y_{0}$），则称$fx,y$在点$x_{0},y_{0}$处取得极大值（或极小值），点$x_{0},y_{0}$称为极大值点（或极小值点）极值的判定要判定一个点是否为极值点，需要满足两个条件，一是该点的一阶导数必须为零，二是该点的二阶导数不能为负极值的必要条件必要条件一必要条件二如果函数$fx,y$在点$x_{0},y_{0}$处如果函数$fx,y$在点$x_{0},y_{0}$处取取得极值，则$f^{prime}x_{0},y_{0}=得极值，则$f^{primeprime}x_{0},y_{0}0$VS geq0$（或$f^{primeprime}x_{0},y_{0}leq0$）极值的充分条件充分条件一如果函数$fx,y$在点$x_{0},y_{0}$处的二阶导数$f^{primeprime}x_{0},y_{0}$等于零，且在点$x_{0},y_{0}$处的三阶导数$f^{primeprimeprime}x_{0},y_{0}$不等于零，则函数在点$x_{0},y_{0}$处取得极值充分条件二如果函数$fx,y$在点$x_{0},y_{0}$处的二阶导数$f^{primeprime}x_{0},y_{0}$等于零，且在该点的所有高阶导数都等于零，则函数在点$x_{0},y_{0}$处取得极值03多元函数极值的求法二阶导数测试法总结词通过判断二阶导数的符号变化，确定一阶导数是否改变符号，从而确定极值点详细描述二阶导数测试法是通过计算多元函数的二阶导数来判断一阶导数是否改变符号的方法如果二阶导数在某点处为零，且在这一点的一阶导数改变符号，则该点为极值点边界点和内部点测试法总结词详细描述分别在多元函数的边界点和内部点处计算函边界点测试法是在多元函数的边界点处计算数值，比较大小，确定极值点函数值，并与内部点的函数值进行比较，确定极值点内部点测试法是在多元函数的内部点处计算函数值，并与边界点的函数值进行比较，确定极值点约束极值问题总结词详细描述通过约束条件限制变量的取值范围，求解满约束极值问题是在给定约束条件下求解多元足约束条件的极值点函数的极值点的问题约束条件可以是等式或不等式形式，通过求解满足约束条件的极值点，可以得到实际问题的最优解04多元函数极值的性质极值的连续性01极值点是函数图像上连续的点，即函数在极值点附近是连续的02在极值点附近，函数值的变化率较小，即函数的一阶导数在极值点附近为零03极值点是函数图像上相对平坦的区域，即函数在极值点附近的一阶导数变化较小极值的可微性010203多元函数的极值点必须是可微在极值点处，函数的二阶导数在极值点处，函数的二阶导数的，即函数在极值点处存在切矩阵是半正定的，即函数的二矩阵的所有特征值都大于等于线阶导数矩阵的所有主子式都大零，即函数的二阶导数矩阵的于等于零所有特征值都为非负数极值的稳定性01极值点是函数图像上相对稳定的点，即函数在极值点附近的变化率较小02在极值点附近，函数的二阶导数变化较小，即函数的二阶导数在极值点附近是连续的03极值点是函数图像上相对平坦的区域，即函数在极值点附近的三阶导数变化较小05多元函数极值的应用在优化问题中的应用最小化成本01在生产、运输、采购等过程中，常常需要最小化成本函数，而多元函数的极值可以帮助我们找到最小化成本的解最大化收益02在市场营销、投资等领域，最大化收益是关键，多元函数的极值可以用来找到最大化收益的解资源分配03在资源有限的情况下，如何合理分配资源以达到最优效果，可以通过多元函数的极值来求解在经济问题中的应用供需平衡在市场经济中，供需关系是决定价格的重要因素，而供需平衡点可以通过多元函数的极值来找到效用最大化消费者在购买商品时，希望最大化自己的效用，而效用函数可以通过多元函数的极值来求解投资组合优化投资者在选择投资组合时，希望最大化收益并最小化风险，多元函数的极值可以帮助投资者找到最优的投资组合在物理问题中的应用010203弹性力学流体动力学电磁学在弹性力学中，物体的形变和受在流体动力学中，流体运动的状在电磁学中，电磁场的分布和变力之间的关系可以通过多元函数态可以通过多元函数的极值来描化可以通过多元函数的极值来描的极值来描述述述06多元函数极值的扩展知识多重极值定义判断方法应用在多元函数中，如果存在至少两个点，通过求导数并令其为零，解出所有可在优化问题、经济模型和工程设计中，它们都达到函数的最大或最小值，则能的临界点，然后检查临界点附近的多重极值的概念具有重要意义称该函数具有多重极值函数值，确定是否为极值点极大值和极小值定理极大值定理极小值定理应用如果函数在某区域内的导数存在如果函数在某区域内的导数存在极大值和极小值定理是研究多元且连续，那么在区间内至少存在且连续，那么在区间内至少存在函数性质的重要工具，广泛应用一个极大值点一个极小值点于数学、物理和工程领域凸函数的极值定义如果对于凸函数中的任意两点，连接它们的线段都在函数图像之下，则称该函数为凸函数极值性质凸函数的极小值点一定是其全局最小值点，极大值点不一定是全局最大值点应用凸函数的极值在优化理论、经济模型和工程设计中具有重要应用价值感谢您的观看THANKS。