平面向量教学课件

平面向量教学课件•平面向量的基本概念CONTENTS目录•平面向量的基本运算•平面向量的数量积•平面向量的向量积•平面向量的混合积CHAPTER01平面向量的基本概念向量的定义总结词平面向量是一种具有大小和方向的量，表示为矢量或箭头详细描述在二维平面中，向量可以用有方向的线段来表示，起点为零点，终点为任意点向量的大小表示其长度或模，方向表示其指向向量的表示方法总结词平面向量可以用有方向的线段或箭头的图形表示，也可以用坐标形式表示详细描述向量的图形表示是在二维坐标系中，用有方向的线段来表示向量向量的坐标表示则是用有序对来表示，例如向量$overset{longrightarrow}{AB}$可以表示为$x_2-x_1,y_2-y_1$向量的模总结词向量的模表示向量的大小，计算公式为$left|overset{longrightarrow}{AB}right|=sqrt{x_2-x_1^2+y_2-y_1^2}$详细描述向量的模也称为向量的长度或大小，表示向量的大小向量的模是非负实数，表示向量从起点到终点的距离CHAPTER02平面向量的基本运算向量的加法总结词详细描述向量加法是平面向量中最基本的运算之向量加法是通过平行四边形法则或三角形一，它遵循平行四边形法则或三角形法法则进行的给定两个向量则VS$overset{longrightarrow}{AB}$和$overset{longrightarrow}{CD}$，它们可以按照平行四边形法则或三角形法则相加，得到新的向量$overset{longrightarrow}{AD}$向量的数乘总结词数乘是平面向量中的一种运算，它通过与实数相乘来改变向量的长度和方向详细描述数乘运算可以通过将向量与实数相乘来改变向量的长度和方向如果实数为正数，则向量的大小和方向都会相应地增加；如果实数为负数，则向量的大小和方向都会相应地减小向量的减法总结词向量减法是通过将一个向量的起点平移到另一个向量的终点，然后进行加法运算来实现的详细描述向量减法是通过将一个向量的起点平移到另一个向量的终点，然后进行加法运算来实现的给定两个向量$overset{longrightarrow}{AB}$和$overset{longrightarrow}{CD}$，它们可以按照三角形法则相减，得到新的向量$overset{longrightarrow}{CB}$向量的数乘（重复）总结词数乘是平面向量中的一种运算，它通过与实数相乘来改变向量的长度和方向详细描述数乘运算可以通过将向量与实数相乘来改变向量的长度和方向如果实数为正数，则向量的大小和方向都会相应地增加；如果实数为负数，则向量的大小和方向都会相应地减小CHAPTER03平面向量的数量积数量积的定义数量积的定义数量积的记法数量积的取值范围两个平面向量$mathbf{a}$和记作$mathbf{a}cdot$[-1,1]$，当两个向量垂直时，mathbf{b}$或$langle$mathbf{b}$的数量积定义为数量积为0；当两个向量同向mathbf{a},mathbf{b}$mathbf{a}cdot mathbf{b}时，数量积为1；当两个向量rangle$=|mathbf{a}|times反向时，数量积为-1|mathbf{b}|times cos theta$，其中$theta$是向量$mathbf{a}$和$mathbf{b}$之间的夹角数量积的几何意义投影长度01向量$mathbf{a}$在向量$mathbf{b}$上的投影长度等于$frac{mathbf{a}cdot mathbf{b}}{|mathbf{b}|}$向量夹角02两个向量的夹角等于向量$mathbf{a}$在向量$mathbf{b}$上的投影长度与向量$mathbf{b}$的模的比值，即$costheta=frac{mathbf{a}cdot mathbf{b}}{|mathbf{a}|times|mathbf{b}|}$向量长度03向量$mathbf{a}$的模等于向量$mathbf{a}$与单位向量的数量积的平方根，即$|mathbf{a}|=sqrt{mathbf{a}cdotfrac{mathbf{a}}{|mathbf{a}|}}$数量积的运算律分配律$lambdamathbf{a}cdot交换律mathbf{b}=lambdamathbf{a}cdot mathbf{b}=mathbf{a}$mathbf{a}cdot mathbf{b}=cdot lambdamathbf{b}$mathbf{b}cdot mathbf{a}$结合律$mathbf{a}+mathbf{b}cdotmathbf{c}=mathbf{a}cdotmathbf{c}+mathbf{b}cdotmathbf{c}$CHAPTER04平面向量的向量积向量积的定义总结词平面向量的向量积是两个向量在平面上的一详细描述平面向量的向量积是由两个向量个新向量，其长度等于两个向量的模之积与它们夹角$overset{longrightarrow}{A}$和的正弦值的乘积，方向垂直于这两个向量所在的直线$overset{longrightarrow}{B}$所确定的其长度$|overset{longrightarrow}{A}timesoverset{longrightarrow}{B}|$等于$|overset{longrightarrow}{A}|cdot|overset{longrightarrow}{B}|cdot sintheta$，其中$theta$是$overset{longrightarrow}{A}$和$overset{longrightarrow}{B}$之间的夹角其方向垂直于$overset{longrightarrow}{A}$和$overset{longrightarrow}{B}$所在的直线，遵循右手定则向量积的几何意义总结词向量积表示两个向量在平面上的旋转或转动的角速度详细描述向量积的几何意义在于它表示两个向量在平面上的旋转或转动的角速度具体来说，如果一个物体在平面上受到两个力的作用，这两个力可以表示为向量$overset{longrightarrow}{A}$和$overset{longrightarrow}{B}$，那么物体旋转的角速度可以由这两个向量的向量积来表示向量积的运算律•总结词向量积满足交换律、结合律和分配律•详细描述向量积满足交换律，即$\overset{\longrightarrow}{A}\times\overset{\longrightarrow}{B}=\overset{\longrightarrow}{B}\times\overset{\longrightarrow}{A}$同时，向量积也满足结合律，即$\overset{\longrightarrow}{A}+\overset{\longrightarrow}{C}\times\overset{\longrightarrow}{B}=\overset{\longrightarrow}{A}\times\overset{\longrightarrow}{B}+\overset{\longrightarrow}{C}\times\overset{\longrightarrow}{B}$此外，向量积还满足分配律，即$\lambda\overset{\longrightarrow}{A}\times\overset{\longrightarrow}{B}=\lambda\overset{\longrightarrow}{A}\times\overset{\longrightarrow}{B}=\overset{\longrightarrow}{A}\times\lambda\overset{\longrightarrow}{B}$，其中$\lambda$为标量CHAPTER05平面向量的混合积混合积的定义要点一要点二总结词详细描述混合积是三个平面向量的有序积，表示为$mathbf{a}cdot混合积是三个平面向量的有序积，表示为$mathbf{a}mathbf{b}cdot mathbf{c}$cdot mathbf{b}cdot mathbf{c}$，其中$mathbf{a}$、$mathbf{b}$、$mathbf{c}$是平面向量混合积的符号遵循右手定则，即伸出右手，让拇指指向第一个向量的方向，食指指向第二个向量的方向，中指指向第三个向量的方向，如果三个向量按照这个顺序构成右手系，则混合积为正；如果构成左手系，则混合积为负混合积的几何意义总结词详细描述混合积的几何意义是表示以这三个向量为邻混合积的几何意义是表示以这三个向量为邻边的平行六面体的体积边的平行六面体的体积具体来说，如果$mathbf{a}$、$mathbf{b}$、$mathbf{c}$是平行六面体的三条棱，则混合积等于该平行六面体的体积混合积的运算律总结词详细描述混合积满足交换律、结合律和分配律混合积满足交换律，即$mathbf{a}cdot mathbf{b}cdot mathbf{c}=mathbf{a}cdot mathbf{c}cdotmathbf{b}$；混合积满足结合律，即$mathbf{a}+mathbf{b}cdot mathbf{c}=mathbf{a}cdotmathbf{c}+mathbf{b}cdot mathbf{c}$；混合积满足分配律，即$lambdamathbf{a}cdot mumathbf{b}=lambdamumathbf{a}cdot mathbf{b}$这些运算律表明混合积具有类似于标量乘法的性质。