《数学分析第七章》课件

数学分析第七章目录•引言•极限理论•导数与微分•导数的应用•不定积分•定积分•反常积分与含参变量积分01引言章节概述01本章主要介绍数学分析的基本概念和原理，包括极限、连续性、可微性、积分等02通过本章的学习，学生将掌握数学分析的基本思想和方法，为后续章节的学习打下坚实的基础学习目标理解数学分析的基本概念和原理，学会运用数学分析的方法解决实熟悉数学分析在各个领域的应用，掌握极限、连续性、可微性和积际问题，培养数学思维和解决问了解数学分析与其他学科的联系分的基本性质和计算方法题的能力和交叉02极限理论极限的定义010203极限的数轴表示法极限的描述性定义极限的ε-δ定义通过数轴上的趋近过程，将极限描述为当自变量无通过引入两个小量ε和δ，描述函数值无限接近某一限接近某一值时，函数值精确地定义了当自变量无特定值的过程的无限趋近状态限接近某一值时，函数值的趋近程度极限的性质极限的唯一性极限的局部有界性极限的局部保号性一个函数在某点的极限是函数在某点的极限存在时，函数在某点的极限存在时，唯一的该点附近一定有界该点附近函数值的符号保持不变无穷小量与无穷大量无穷小量随着自变量的趋近过程，函数值无限接近于0的量无穷大量随着自变量的趋近过程，函数值无限远离0的量无穷小量与无穷大量的关系两者之间存在密切的联系，无穷小量是无穷大量的极限状态，而无穷大量则是无穷小量的反面03导数与微分导数的定义总结词导数是函数在某一点的切线斜率详细描述导数描述了函数在某一点附近的变化率，即函数在该点的切线斜率如果一个函数在某一点的导数存在，则该点处的切线斜率等于该点的导数值导数的性质总结词导数具有一些重要的性质，如可加性、可乘性和链式法则等详细描述导数具有可加性，即两个函数在某点的导数之和等于它们和的导数；导数具有可乘性，即两个函数在某点的导数之积等于它们积的导数；链式法则是指复合函数的导数等于复合函数内部函数的导数乘以外部函数的导数微分的概念总结词微分是函数在某一点附近的小增量详细描述微分描述了函数在某一点附近的小变化量，即函数在该点附近的小增量如果一个函数在某一点的微分存在，则该点附近的小增量可以用该点的微分近似表示微分是导数的几何意义，它表示函数在某点附近的小切线段04导数的应用中值定理罗尔定理拉格朗日中值定理柯西中值定理如果函数$fx$在闭区间$[a,b]$如果函数$fx$在闭区间$[a,b]$如果函数$fx$和$gx$在闭区上连续，开区间$a,b$上可导，上连续，开区间$a,b$上可导，间$[a,b]$上连续，开区间$a,且$fa=fb$，则存在$c ina,则存在$c ina,b$，使得$fc b$上可导，且$gx neq0$，b$，使得$fc=0$=frac{fb-fa}{b-a}$则存在$c ina,b$，使得$frac{fc}{gc}=frac{fb-fa}{gb-ga}$洛必达法则洛必达法则洛必达法则的推广如果函数$fx$和$gx$在某点$x_0$的领域内可导，如果函数$fx$和$gx$在某点$x_0$的领域内可导，且$gx neq0$，当$x rightarrow x_0$时，且存在某个实数$alpha0$，使得当$x rightarrow$frac{fx}{gx}$的极限存在或为无穷大，则$lim_{x x_0^+$时，$frac{fx}{gx}rightarrow0$或rightarrow x_0}frac{fx}{gx}=lim_{x rightarrow$frac{fx}{gx}rightarrow infty$，则$lim_{xx_0}frac{fx}{gx}$rightarrowx_0^+}frac{d}{dx}frac{fx}{gx}^alpha=lim_{x rightarrowx_0^+}alpha frac{fx}{gx}^alphafrac{fx}{gx}^{alpha-1}$导数在几何上的应用导数与切线斜率函数$fx$在点$x_0$处的导数$fx_0$等于曲线$y=fx$在点$x_0,fx_0$处的切线的斜率导数与速度和加速度在物理中，导数可以用来描述物体的速度和加速度例如，物体在时刻$t$的速度可以由函数$vt$表示，其导数$vt$即为物体在该时刻的加速度导数与极值导数可以用来判断函数的极值如果函数在某点的导数为零，且该点两侧的导数符号相反，则该点为函数的极值点05不定积分不定积分的定义不定积分是微分的逆运算，即求一个原函数对于一个函数fx，如果存函数的原函数或不定积分在一个函数Fx，使得Fx=fx，则称Fx是fx的一个原函数不定积分对于一个函数fx，其不记作∫fxdx，其中∫表示积分符号，定积分就是fx所有原函数Fx+C的fx是要求积分的函数，dx表示对x进集合，其中C是任意常数行微分不定积分的性质线性性质∫[fx+gx]dx=∫fxdx+∫gxdx积分常数性质∫[a*fx]dx=a*∫fxdx，其中a为常数积分区间可加性∫fxdx在[a,b]上的值等于∫fxdx在[0,b]上的值减去∫fxdx在[0,a]上的值积分公式与积分法换元积分法当被积函数难以直接求解时，可以通过换元法将其转化为容易求解的形式具体步骤是先通过适当的变量替换将原函数转化为容易积分的形式，然后进行积分分部积分法当被积函数是一个两个函数的乘积时，可以通过分部积分法将其转化为容易求解的形式具体步骤是将两个函数分别进行不定积分，然后将结果相减06定积分定积分的定义积分区间定积分是积分区间上所有点的函数值的总和，通常表示为∫abfxdx，其中a和b是积分的下限和上限，fx是待积分的函数面积概念定积分可以理解为曲线与x轴所夹的面积，即对一个函数fx在区间[a,b]上的积分，可以理解为曲线y=fx与直线x=a、x=b及x轴所围成的曲边梯形的面积定积分的性质线性性质积分常数倍性质定积分具有线性性质，即对于两个函定积分具有积分常数倍性质，即对于数的和或差的积分，可以分别对每个任意常数k，有函数进行积分后再求和或求差∫abkfxdx=k∫abfxdx区间可加性定积分的区间可加性是指，对于任意两个区间[a,b]和[b,c]，有∫abcfxdx=∫abfxdx+∫bcfxdx定积分的计算微积分基本定理微积分基本定理是计算定积分的重要工具，它建立了定积分与不定积分之间的联系，即∫abfxdx=Fb-Fa，其中Fx是fx的一个原函数分部积分法分部积分法是一种计算定积分的技巧，通过将两个函数的乘积进行求导和积分，可以化简定积分的计算换元法换元法是一种通过变量替换简化定积分的计算的方法，常用的换元法有三角换元法和倒代换法等07反常积分与含参变量积分反常积分的概念与性质反常积分的概念01反常积分是定积分的扩展，包括无穷区间上的积分和无界函数的积分反常积分的性质02反常积分具有一些与定积分不同的性质，例如，无穷区间上的反常积分可能存在，而普通定积分则不可能反常积分收敛与发散03反常积分可以分为收敛和发散两类，收敛的反常积分具有类似于定积分的性质，而发散的反常积分则没有意义含参变量积分的概念与性质含参变量积分的概念含参变量积分是定积分的另一种形式，其中被积函数包含一个或多个参数含参变量积分的性质含参变量积分具有一些独特的性质，例如，参数的微小变化可能导致积分的值发生巨大变化含参变量积分的计算计算含参变量积分需要使用特定的方法和技巧，以处理参数对积分的影响反常积分与含参变量积分的计算反常积分的计算方法计算反常积分需要使用一些特殊的方法和技术，1例如部分分式分解和级数展开等含参变量积分的计算方法计算含参变量积分需要使用一些更复杂的方法和2技术，例如参数的分离和参数的微分等反常积分与含参变量积分的应用反常积分和含参变量积分在许多领域都有应用，3例如物理学、工程学和金融学等THANKS感谢观看。