概率统计简明教程同济版课件第4章

概率统计简明教程同济版课件第4章•概率论的基本概念•条件概率与独立性•随机变量及其分布•随机变量的数字特征目录•大数定律与中心极限定理contents01概率论的基本概念随机试验与随机事件随机事件随机试验中可能出现或不可能出现随机试验的结果在一定条件下进行的试验，其结果具有不确定性样本空间随机试验中所有可能结果的集合频率与概率频率随机事件发生的次数与总试验次数之比概率描述随机事件发生可能性的度量，通常表示为PA概率的取值范围0≤PA≤1古典概型与几何概型古典概型概率计算公式基于等可能性和互斥性两个条件的概在古典概型中，PA=m/n；在几何率模型概型中，PA=长度/总长度几何概型基于几何长度、面积、体积等度量来定义概率02条件概率与独立性条件概率010203定义计算公式条件概率的性质在事件B发生的情况下，$PA|B=frac{PA cap非负性、规范性、可加性事件A发生的概率称为条B}{PB}$件概率，记作PA|B事件的独立性定义独立性的性质独立性的应用如果两个事件A和B同时发生的概独立事件的交集仍然是独立的；在概率论和统计学中，事件的独率等于它们各自发生的概率的乘独立事件的并集不一定是独立的立性是一个非常重要的概念，它积，即$PA capB=PA可以帮助我们简化复杂事件的概times PB$，则称事件A和B是率计算独立的贝叶斯公式定义贝叶斯公式用于计算在已知其他相关事件发生的条件下，某一事件发生的概率计算公式$PA|B=frac{PB|A timesPA}{PB}$贝叶斯公式的应用贝叶斯公式在统计学、机器学习、决策理论等领域有广泛的应用，尤其是在处理不完全信息时，它可以提供一种有效的概率更新方法03随机变量及其分布随机变量的概念随机变量确定性事件随机事件在随机试验中，试验结果在一定条件下必然发生或在一定条件下可能发生也与实数之间的一种对应关必然不发生的事件可能不发生的事件系离散型随机变量的分布列离散型随机变量随机试验的结果可以一一列举出来，这种随机变量称为离散型随机变量分布列表示离散型随机变量取各个可能值的概率的表格分布律表示离散型随机变量取各个可能值的概率的函数连续型随机变量的概率密度函数连续型随机变量随机试验的结果不能一一列举出来，这种随机变1量称为连续型随机变量概率密度函数表示连续型随机变量取某个值的概率的函数2概率质量函数表示离散型随机变量取某个值的概率的函数304随机变量的数字特征期望01020304期望的数学定义期望的性质期望的计算期望的应用期望是随机变量所有可能取值期望具有线性性质，即期望可以通过概率分布表或概期望常用于估计未知参数，如的概率加权和，表示为EX EaX+b=aEX+b，其中a和率密度函数来计算平均值、中心趋势等b是常数方差方差的数学定义方差的性质方差是随机变量与其期望值之方差具有非负性，即DX=0差的平方的期望，表示为DX方差与标准差的联系方差的应用方差开平方根得到标准差，即方差用于衡量数据的离散程度σX=sqrtDX和稳定性协方差与相关系数协方差的数学定义协方差的性质协方差是两个随机变量同时取值的概率加协方差具有线性性质，即权和的期望，表示为CovX,Y CovaX+b,Y=aCovX,Y，其中a和b是常数相关系数的定义相关系数的性质相关系数是协方差与各自方差的比值，表相关系数的取值范围为[-1,1]，|ρX,Y|越接示为ρX,Y近1表示两变量越相关，|ρX,Y|越接近0表示两变量越不相关05大数定律与中心极限定理大数定律大数定律定义01在独立重复试验中，当试验次数趋于无穷时，事件A发生的频率趋于该事件发生的概率大数定律的数学表达式02lim n→∞PAn=PAlim_{n toinfty}frac{PA}{n}=⁡PAlimn→∞​nPA=PA大数定律的意义03大数定律揭示了频率的稳定性，即当试验次数足够多时，事件发生的频率将接近其真实的概率中心极限定理中心极限定理定义无论随机变量X1,X2,…,XnX_1,X_2,ldots,X_nX1​,X2​,…,Xn​的分布是什么，当n充分大时，它们的和近似服从正态分布中心极限定理的数学表达式lim n→∞1n∑i=1nXin=μlim_{n toinfty}⁡frac{1}{sqrt{n}}sum_{i=1}^{n}X_{i}simmulimn→∞​n1​i=1∑n​Xi​=μ中心极限定理的意义中心极限定理揭示了大量随机变量之和的分布规律，是概率论和统计学中的重要定理之一中心极限定理的应用在统计学中的应用中心极限定理是统计学中样本均值分布的基础，用于推断总体均值和总体比例的区间估计和假设检验在金融领域的应用中心极限定理用于分析金融市场的波动性和风险，例如股票价格的波动和收益率的分布在社会学中的应用中心极限定理用于研究社会现象，例如人口普查数据的统计分析、选举结果的预测等THANKS感谢观看。