线性代数课件第02章

线性代数课件第02章•线性方程组•向量空间•行列式CATALOGUE•矩阵目录•特征值与特征向量01线性方程组线性方程组的定义线性方程组由有限个线性方程组成的方程组，其中每个方程包含一个或多个未知数未知数需要求解的变量线性方程未知数的代数方程，其中未知数和常数项之间通过线性运算关系相联系线性方程组的解法010203高斯消元法迭代法共轭梯度法通过行变换将系数矩阵化通过迭代过程逐步逼近方基于共轭方向和梯度下降为阶梯形矩阵，从而求解程组的解原理的迭代算法，用于求未知数的值解大规模稀疏线性方程组线性方程组的应用物理问题工程问题经济问题描述物理现象的数学模型在机械、航空、化工等领在经济学中，线性方程组通常可以转化为线性方程域中，线性方程组广泛应用于描述经济系统的关系，组，如弹性力学、流体力用于描述工程问题，如结如投入产出分析、供需平学等构分析、控制系统等衡等02向量空间向量空间的定义线性组合标量乘法向量加法向量空间是由满足线性组合封闭标量乘法是指实数与向量的乘法，向量加法是指向量的同维向量通性的向量构成的集合线性组合结果仍为向量标量乘法满足结过对应分量相加得到的向量向是指向量空间中任意两个向量通合律、交换律和分配律量加法满足结合律和交换律过标量乘法和加法得到的向量向量空间的性质零向量子空间如果一个向量空间的非空子集满足向向量空间中存在一个零向量，满足与量的线性组合、标量乘法和向量加法任何向量的线性组合结果为零向量的封闭性，则该子集构成一个子空间负向量对于任意向量，存在一个与其方向相反的负向量，满足与原向量的线性组合结果为零向量向量空间的维数基向量空间中线性无关的向量称为基，基的个数称为向量空间的维数维数不变定理如果两个有限维向量空间之间存在线性映射，则它们的维数相等03行列式行列式的定义总结词行列式是n阶方阵所有可能的二阶子方阵的行列式的乘积与1的差的乘积的绝对值详细描述行列式是由n阶方阵A的所有可能的二阶子方阵的行列式组成的，这些二阶子方阵可以是主对角线上的元素构成的，也可以是副对角线上的元素构成的行列式的值是一个标量，通常用大写的英文字母D表示行列式的性质总结词详细描述行列式具有交换律、结合律、代数余子式等行列式的一个重要的性质是交换律，即交换性质两行或两列，行列式的值不变结合律是指行列式中三行或三列的线性组合的行列式等于这三个行列式的线性组合的行列式代数余子式是指去掉一个元素所在的行和列后，剩下的元素构成的n-1阶行列式乘以-1的i+j次方，其中i和j分别是该元素的行号和列号行列式的计算方法总结词行列式的计算方法包括展开法、递推法、归纳法等详细描述展开法是最基本的计算行列式的方法，通过展开法可以将一个n阶行列式转化为两个n-1阶行列式的乘积递推法是通过将一个n阶行列式转化为一个n-1阶行列式和一个2阶行列式的乘积，再利用2阶行列式的计算公式进行计算归纳法是通过归纳和总结n阶行列式的计算规律，利用已知的n-1阶行列式的计算公式推导出n阶行列式的计算公式04矩阵矩阵的定义总结词矩阵是线性代数中的基本概念，由行和列组成，表示为矩形阵列详细描述矩阵是一个由数字组成的矩形阵列，行数和列数可以不同矩阵通常用大写字母表示，例如A、B等矩阵的行数和列数表示为m和n矩阵的运算总结词矩阵的运算包括加法、减法、数乘、乘法等基本运算详细描述矩阵的加法是将两个矩阵的对应元素相加，结果是一个新的矩阵数乘是指一个数与矩阵中的每个元素相乘矩阵的乘法不是所有矩阵都可以进行的，只有满足一定条件的两个矩阵才能相乘矩阵的逆与转置总结词详细描述矩阵的逆是矩阵的一种重要运算，表示矩阵的逆是唯一存在的，当且仅当矩阵是为A^-1，满足AA^-1=I的条件矩可逆的可逆矩阵是指存在一个逆矩阵，阵的转置是将矩阵的行变为列，列变为VS满足AA^-1=I的条件如果一个矩阵存行在逆矩阵，则称该矩阵是可逆的转置矩阵是将原矩阵的行变为列，列变为行，用符号表示例如，如果A是一个m×n矩阵，则A的转置是一个n×m矩阵，记为AT05特征值与特征向量特征值与特征向量的定义特征值对于给定的矩阵A，如果存在一个数λ和相应的非零向量x，使得Ax=λx成立，则称λ为矩阵A的特征值，x为矩阵A的对应于λ的特征向量特征向量与特征值λ对应的非零向量x称为矩阵A的对应于λ的特征向量特征值与特征向量的性质特征值和特征向量具有可加性和数乘性，即如果Ax=λx，那么对于任意实数k，有kλx=kAx和Ax+y=λx+y特征值和特征向量的定义具有非唯一性，即如果Ax=λx，那么对于任意常数k，有kAx=kλx特征值和特征向量的定义具有线性无关性，即如果Ax=λx，那么对于任意常数k，有kAx=kλx特征值与特征向量的计算方法相似变换法通过相似变换将矩阵A化为对角矩定义法阵，对角线上的元素即为特征值，对应的非零列向量即为特征向量根据特征值和特征向量的定义，通过解方程组Ax=λx来求解特征值和特征向量幂法通过反复计算矩阵A的幂来逼近特征值和特征向量，当A的幂趋于零时，对应的非零向量即为特征向量THANKS感谢观看。