线性代数课件第二章

线性代数课件第二章•线性方程组目录•向量空间•矩阵Contents•行列式•特征值与特征向量01线性方程组线性方程组的定义线性方程组由一组线性方程组成，其中每个方程包含一个或多个未知数，并且未知数的次数为一次线性方程组的一般形式a_1x_1+a_2x_2+...+a_nx_n=b线性方程组的解满足所有方程的未知数的值线性方程组的解法高斯-约旦消元法矩阵除法通过行变换将系数矩阵变为单利用矩阵运算来求解线性方程位矩阵，从而求解线性方程组组，通过左除或右除来求解克拉默法则迭代法基于线性方程组系数和常数项通过迭代的方式逐步逼近方程行列式的值，求解线性方程组的解，常用的迭代法有雅可比的方法迭代法和SOR方法线性方程组的应用几何应用物理应用线性方程组可用于解决几何问题，如在物理问题中，线性方程组可用于描求直线交点、平面交线等述物理现象和规律，如力学、电磁学等工程应用经济学应用在工程领域，线性方程组广泛应用于在经济学中，线性方程组可用于描述解决各种实际问题，如优化问题、控经济关系和规律，如投入产出分析、制问题等市场供求关系等02向量空间向量空间的定义010203向量空间的定义封闭性基底和维数向量空间是一个由向量构在向量空间中，向量的加向量空间中可以找到一组成的集合，满足加法和标法和标量乘法运算的结果线性独立的向量，称为基量乘法的封闭性仍在该空间中底，其个数称为向量空间的维数向量空间的性质线性组合线性无关子空间向量空间中的任意两个向一组向量称为线性无关，一个向量空间的非空子集量可以线性组合成一个新如果它们不能被其他向量也是一个向量空间，称为向量，且该向量仍在该空线性表示原空间的子空间间中向量空间的维数线性变换一个线性变换将一个向量空间映射基底与维数到另一个向量空间，其矩阵表示的行数或列数等于原空间的维数一个向量空间中基底的个数等于该空间的维数子空间的维数一个子空间的维数等于其基底的个数，且不大于原空间的维数03矩阵矩阵的定义矩阵是一个由数字组成的矩形矩阵的行数和列数称为矩阵的矩阵中的每个元素都有其行标阵列，行数和列数可以不同阶数，通常表示为n阶矩阵和列标，表示为aij，其中i表示行标，j表示列标矩阵的运算加法数乘乘法转置两个同阶矩阵的加法是将对应数乘是将矩阵中的每个元素乘两个矩阵相乘的前提是第一个转置是将矩阵的行列互换，得位置的元素相加以一个常数矩阵的列数等于第二个矩阵的到一个新的矩阵行数乘法的结果是一个新的矩阵，其元素是原来两个矩阵对应元素乘积的和矩阵的逆逆矩阵的定义对于一个n阶可逆矩阵A，存在一个n阶矩阵B，使得AB=BA=I，其中I为单位矩阵这个矩阵B就是A的逆矩阵逆矩阵的性质一个矩阵A是可逆的当且仅当它的行列式值不为0可逆矩阵的逆矩阵唯一逆矩阵的求法高斯消元法、LU分解法等04行列式行列式的定义总结词行列式是n阶方阵所有行和列的代数余子式的乘积之和或差的代数表达式详细描述行列式是由n阶方阵的行和列的代数余子式构成的，它是n阶方阵的一种数值表现形式，用于描述矩阵的线性变换性质行列式的大小和符号取决于方阵的行和列的排列顺序行列式的性质总结词行列式具有一些基本的性质，如交换律、结合律、分配律等详细描述行列式的交换律是指行列式的行和列可以交换，不会改变行列式的值结合律是指行列式的行和列的组合方式不影响行列式的值分配律是指行列式的一行或一列与一个标量相乘，等于将该标量分别与这一行或一列的每个元素相乘，再将所得的各个积相加这些性质是行列式计算和推导的重要依据行列式的计算方法总结词详细描述行列式的计算方法包括展开法、递推法、展开法是直接利用行列式的定义进行计算归纳法等的方法，适用于较小的n阶方阵递推法VS是将n阶方阵的行列式表示为较低阶方阵的行列式，通过递推关系简化计算归纳法则是利用数学归纳法证明行列式的性质和计算公式的方法，适用于较大的n阶方阵这些计算方法在行列式的计算中具有广泛的应用05特征值与特征向量特征值与特征向量的定义特征值对于给定的矩阵A，如果存在一个非零向量x和实数λ，使得Ax=λx成立，则称λ为矩阵A的特征值，x为矩阵A对应于λ的特征向量特征向量与特征值λ对应的非零向量x称为矩阵A对应于λ的特征向量特征值与特征向量的性质特征值和特征向量的定义具有非唯一性，即如果Ax=λx成立，那么对于任意常数k，有Akx=λkx特征值和特征向量的定义具有线性性质，即如果Ax=λx和By=μy成立，那么有Aβx+γy=βλx+γμy特征值和特征向量的定义具有数乘性质，即如果Ax=λx成立，那么有kAx=kλx特征值与特征向量的计算方法定义法幂法根据特征值和特征向量的定义，通过解线通过不断迭代矩阵的幂来逼近特征值和特性方程组来计算特征值和特征向量征向量的一种方法共轭法谱分解法通过寻找矩阵共轭元素之间的关系来计算将矩阵分解为一个或多个特征值和特征向特征值和特征向量的一种方法量的线性组合，从而直接得到特征值和特征向量的一种方法。