《高等代数实验》课件

《高等代数实验》ppt课件目录•实验一矩阵运算与线性方程组•实验二线性空间与线性变换•实验三多项式与多项式函数•实验四矩阵分解与相似性•实验五二次型与二次曲线实验一矩阵运算与线性方程Part01组矩阵的加法、数乘和乘法矩阵加法矩阵加法是指将两个矩阵的对应元素相加，得到一个新的矩阵规则是，对于任意两个矩阵A和B，其和记作A+B，满足A+B=a11+b11,a12+b12,...,an1+bn1,an2+bn2数乘数乘是指将一个标量与一个矩阵相乘，得到一个新的矩阵规则是，对于任意一个标量k和一个矩阵A，数乘记作kA，满足kA=ka11,ka12,...,kan1,kan2矩阵乘法矩阵乘法是指将两个矩阵相乘，得到一个新的矩阵规则是，对于任意两个矩阵A和B，其乘积记作AB，满足AB=a11b11+a12b21,a11b12+a12b22,...,an1b1n+an2b2n矩阵的逆与行列式逆矩阵逆矩阵是指与原矩阵乘积为E的矩阵如果存在一个矩阵A的逆矩阵A-1，满足A*A-1=E，则称A是可逆的行列式行列式是指由一个n阶方阵的元素按照一定的排列顺序构成的代数式行列式的值可以用来判断一个矩阵是否可逆线性方程组的解法高斯消元法高斯消元法是一种求解线性方程组的方法，通过消元和回代的过程求解未知数迭代法迭代法是一种求解线性方程组的方法，通过不断迭代逼近解的过程求解未知数Part实验二线性空间与线性变换02线性空间的定义与性质线性空间的定义线性空间是一个由向量和标量通过有限线性组合构成的集合，其中标量之间可以相乘并满足加法和数乘的封闭性、结合性、交换性和分配性线性空间的性质线性空间具有加法的可交换性和可结合性，数乘满足分配律，且存在零元素和负元素线性变换的定义与性质线性变换的定义线性变换是在线性空间中保持向量加法和数乘不变的映射线性变换的性质线性变换具有加法的可交换性和可结合性，满足数乘的分配律，且存在零元素和负元素特征值与特征向量特征值的定义01特征值是线性变换在某个向量上作用后，该向量变为零向量或与其成比例的标量特征向量的定义02特征向量是线性变换在某个向量上作用后，该向量变为零向量或与其成比例的非零向量特征值与特征向量的性质03特征值和特征向量具有唯一性，且特征值与特征向量之间存在一一对应关系Part实验三多项式与多项式函数03多项式的定义与性质多项式的定义由有限个变量和有限次幂通过四则运算得到的代数式多项式的系数多项式中各个单项式前的系数多项式的次数多项式中次数最高的单项式的次数多项式的根使多项式等于零的数多项式的导数与极值导数的计算导数的定义2通过多项式的导数公式进1行计算表示函数在某一点的切线斜率极值的判定极值的计算3根据导数的正负判断函数4的增减性，进而确定极值在极值点处将函数值代入点计算多项式函数的图像与性质作图方法单调性分析根据导数的正负判断函数的增减通过描点法或函数绘图软件绘制区间周期性与对称性拐点分析根据多项式的系数和次数判断导数为零的点或导数不存在的点Part实验四矩阵分解与相似性04矩阵的三角分解总结词三角分解是一种将一个矩阵分解为一个下三角矩阵和一个上三角矩阵之和的方法详细描述三角分解也称为LU分解，它将一个矩阵$A$分解为一个下三角矩阵$L$和一个上三角矩阵$U$之和，即$A=LU$这种分解在解决线性方程组、计算行列式和矩阵的逆等方面有广泛应用矩阵的QR分解总结词QR分解是一种将一个矩阵分解为一个正交矩阵和一个上三角矩阵之积的方法详细描述QR分解将一个矩阵$A$分解为一个正交矩阵$Q$和一个上三角矩阵$R$之积，即$A=QR$这种分解在计算矩阵的范数、解决最小二乘问题等方面有重要应用矩阵的相似性总结词详细描述矩阵的相似性是指两个矩阵可以通过相如果存在一个可逆矩阵$P$，使得$P^{-似变换相互转化1}AP=B$，则称矩阵$A$和$B$相似VS相似矩阵具有相同的特征多项式、行列式和迹等性质判断两个矩阵是否相似以及如何进行相似变换是矩阵理论中的重要问题Part实验五二次型与二次曲线05二次型的定义与性质二次型的定义一个n元二次型是一个可以表示为$fx_1,x_2,...,x_n=sum_{i=1}^{n}sum_{j=1}^{n}a_{ij}x_i x_j$的数学对象，其中$a_{ij}$是实数二次型的性质二次型具有对称性，即$a_{ij}=a_{ji}$；二次型的矩阵是半正定的，即其所有特征值都大于或等于0二次曲线的标准形式二次曲线的标准形式二次曲线的分类二次曲线的一般形式是$Ax^2+By^2+根据A、B、C的值，二次曲线可以分为椭圆Cxy+Dx+Ey+F=0$，其中A、B、C、型、双曲线型和抛物线型D、E和F是常数二次曲线的分类与性质椭圆曲线的性质抛物线曲线的性质椭圆曲线是封闭的，即它们会回到起抛物线曲线有一个焦点和一条准线；点；椭圆曲线具有对称性，即它们关抛物线曲线是无限延伸的，没有起点于x轴和y轴对称或终点双曲线曲线的性质双曲线曲线是无限延伸的，没有起点或终点；双曲线曲线具有反称性，即它们关于x轴和y轴反称THANKS感谢您的观看。