高数学习课件之函数

高数学习课件之函数目录CONTENTS•函数的基本概念•函数的分类•函数的运算•函数的极限•函数的导数•函数的积分01函数的基本概念函数的定义总结词函数的定义是描述两个集合之间关系的方式详细描述函数是数学中描述两个集合之间关系的一种方式，它表示每个输入值唯一对应一个输出值在函数的定义中，输入集合被称为定义域，输出集合被称为值域函数的表示方法总结词函数的表示方法有多种，包括解析法、表格法和图象法详细描述解析法是通过数学表达式来表示函数，例如$fx=x^2$；表格法是通过表格列出输入值和对应的输出值来表示函数；图象法是通过绘制函数图像来表示函数，图像上的点表示输入值和对应的输出值函数的性质总结词函数的性质包括奇偶性、单调性、周期性和有界性等详细描述奇偶性是指函数是否关于原点对称，可以分为奇函数和偶函数；单调性是指函数在某个区间内的增减性，可以分为递增函数和递减函数；周期性是指函数是否具有周期性变化，即存在一个非零常数$T$，使得对于定义域内的任意$x$，都有$fx+T=fx$；有界性是指函数在定义域内的取值范围是否有限02函数的分类有界函数与无界函数有界函数函数在其定义域内有上界和下界，即对于定义域内的任意x，函数值y都满足一个最大值和最小值例如，正弦函数sinx在[-π,π]区间内是有界的无界函数函数在其定义域内没有上界或下界，即对于定义域内的某些x，函数值y可以无限增大或无限减小例如，指数函数y=e^x在全体实数域R上是无界的连续函数与不连续函数连续函数在定义域内的任意一点x0，函数值fx0+和fx0-都存在且相等连续函数在图形上表现为没有间断点的曲线例如，多项式函数fx=x^2在R上是连续的不连续函数在定义域内的某些点上，函数值fx0+和fx0-不相等不连续函数在图形上表现为有间断点的曲线例如，分式函数fx=1/x在x=0处是不连续的单调函数与非单调函数单调函数非单调函数对于定义域内的任意两点x1和x2，如果在定义域内的某些区间内，函数的值不是x1x2，则fx1=fx2（或单调增加或减少的例如，二次函数fx1=fx2）单调递增函数和单调递VS fx=ax^2+bx+c（a≠0）的图像是一个减函数都是单调函数的特例例如，一抛物线，其形状取决于a的正负，因此是次函数fx=kx+b（k0）是单调递增的非单调的03函数的运算函数的四则运算加法运算减法运算函数加法是指将两个函数的对应点相加，得到一个新的函函数减法是指将一个函数的对应点减去另一个函数的对应数例如，函数fx=x和gx=2x相加得到新的函数点，得到一个新的函数例如，函数fx=x和gx=2x相hx=x+2x=3x减得到新的函数hx=x-2x=-x乘法运算除法运算函数乘法是指将一个函数的对应点乘以另一个函数的对应函数除法是指将一个函数的对应点除以另一个函数的对应点，得到一个新的函数例如，函数fx=x和gx=2x相点，得到一个新的函数例如，函数fx=x和gx=2x相乘得到新的函数hx=x*2x=2x^2除得到新的函数hx=x/2x=1/2复合函数定义复合函数是指由两个或两个以上的函数通过复合运算得到的函数性质复合函数的性质包括单调性、奇偶性、周期性等，这些性质可以通过分析复合函数的内部函数和外部函数的性质来得出求导复合函数的求导法则包括链式法则和乘积法则等，这些法则可以帮助我们求出复合函数的导数反函数定义01反函数是指将一个函数的对应点反方向映射到另一个函数的对应点的函数性质02反函数的性质包括单调性、奇偶性、周期性等，这些性质可以通过分析原函数和反函数的图像来得出求反03求反函数的方法包括代数法和图像法等，这些方法可以帮助我们求出给定函数的反函数04函数的极限极限的定义极限的描述性定义极限的精确定义当自变量趋近某一值时，函数值无限接近于对于任意小的正数$varepsilon$，存在一个某一常数，称该常数为函数的极限正数$delta$，当$0|x-x_0|delta$时，有$|fx-L|varepsilon$，其中$x_0$是自变量的某一值，$L$是函数的极限极限的性质局部保号性若函数在某点的极限非零，有界性则在该点附近函数值必然与极限值同号函数在某点的极限存在时，唯一性其附近的函数值必定是有界的对于任意函数，其极限值是唯一的无穷小量与无穷大量无穷小量在自变量趋于某点或无穷时，函数值趋于零的量无穷大量在自变量趋于某点或无穷时，函数值趋于无穷大的量05函数的导数导数的定义总结词详细描述导数是函数在某一点的变化率，表示函数在导数定义为函数在某一点附近的小范围内变该点的切线斜率化时，其增量与自变量增量的比值在自变量增量趋于0时的极限导数描述了函数在某一点处的变化趋势，即切线的斜率导数的几何意义总结词详细描述导数的几何意义是函数图像上某一点的切线斜率导数在几何上表示函数图像上某一点的切线斜率对于可导函数，其图像在该点的切线斜率等于该点的导数值导数的几何意义有助于理解函数在某点的变化趋势和曲线的弯曲程度导数的计算要点一要点二总结词详细描述导数的计算方法包括多项式函数的导数、复合函数的导数、多项式函数的导数可以通过求系数的方法来求解；复合函隐函数的导数等数的导数根据链式法则进行计算；隐函数的导数则通过对方程进行微分来求解掌握这些计算方法对于理解和应用导数至关重要06函数的积分定积分的定义定积分定义计算公式∫bafxdx=limn→∞∑i=0n−1fξiΔx定积分是积分的一种，是函数在区间i，其中fx是给定的函数，a和b是积上积分和的极限分区间的端点，ξi是区间内的任意点，Δxi是小区间的长度几何意义定积分的值在几何上表示曲线与x轴所夹的面积，即曲线下方的面积定积分的性质线性性质积分常数倍性质∫bafxdx+∫bafxdx=∫bafx∫bafxkdx=k∫bafxdx，其中dx+∫bafxdx k是常数区间可加性积分区间可伸缩性质∫bafxdx=∫cafxdx+∫bcfx∫bafxdx=∫cafxdx，当acdx时；∫bafxdx=∫cafxdx，当ac时定积分的计算微积分基本定理分部积分法定积分可以通过被积函数的原函数来计算，即对于两个函数的乘积的积分，可以采用分部积分∫bafxdx=Fb-Fa，其中Fx是fx的原函数法，即∫bafxgxdx=∫baf′xgxdx+∫bafxg′xdx换元积分法牛顿-莱布尼兹公式对于被积函数或积分区间具有某种特定性质的定牛顿-莱布尼兹公式是计算定积分的常用方法，即积分，可以采用换元积分法简化计算例如，对∫bafxdx=Fb-Fa，其中Fx是fx的一个原函于形如∫bafsin xdx的定积分，可以令t=sin x进数行换元感谢您的观看THANKS。