高数课件数列的极限

高数课件数列的极限•数列极限的定义CONTENTS目录•极限的运算性质•极限存在准则•连续性与可导性•极限的应用CHAPTER01数列极限的定义定义及性质定义数列的极限是指当项数趋于无穷时，数列的项趋于某一固定值性质极限具有唯一性、有界性、局部保序性等性质收敛与发散收敛如果一个数列的极限存在，则称该数列收敛发散如果一个数列的极限不存在，则称该数列发散收敛数列的性质唯一性有界性局部保序性一个收敛数列只能有一个极限收敛数列是有界的，即存在一个对于任意两个收敛数列{a_n}和正数M，使得对于所有n，有{b_n}，如果a_n≤b_n（对所有|a_n|≤M n成立），则它们的极限也满足lima_n≤limb_nCHAPTER02极限的运算性质极限的四则运算极限的四则运算法则对于两个函数的极限，我们可以进行加、减、乘、除等运算，得到新的函数的极限运算性质的应用在求解数列或函数的极限时，我们可以利用四则运算法则进行化简和求解极限的基本性质010203唯一性有界性局部保号性对于任意给定的正数，存数列的极限值总是存在一如果一个数列的极限大于在唯一的数列的极限值与个范围，即它是有界的0，则在一定范围内数列之对应的值也大于0无穷小量与无穷大量无穷小量在一定条件下，一个变量趋于0，被称为无穷小量无穷大量与无穷小量相反，一个变量趋于无穷大，被称为无穷大量无穷小量与无穷大量的关系在一定条件下，无穷小量和无穷大量可以相互转化CHAPTER03极限存在准则单调有界准则总结词单调有界准则是指如果一个数列在某区间内单调递增或递减，并且存在上界或下界，则该数列在此区间内有极限详细描述单调有界准则的证明基于实数的完备性，即实数具有完备性，因此如果一个数列在某区间内单调递增或递减，并且存在上界或下界，则该数列在此区间内有极限柯西收敛准则总结词柯西收敛准则是指如果一个数列的任意两个相邻项之间的差值都足够小，则该数列有极限详细描述柯西收敛准则的证明基于实数的完备性，即实数具有完备性，因此如果一个数列的任意两个相邻项之间的差值都足够小，则该数列有极限区间套定理与有限覆盖定理总结词区间套定理是指如果一个数列的极限点在某个区间内，则存在一个子数列收敛于该极限点，并且这个子数列的项都落在该区间内有限覆盖定理是指如果一个集合被有限个闭区间覆盖，则该集合是闭集详细描述区间套定理和有限覆盖定理在高数的极限理论中非常重要区间套定理可以帮助我们找到收敛于某个极限点的子数列，而有限覆盖定理则可以帮助我们证明某些集合是闭集这些定理在高数的许多其他部分也有应用，例如函数的连续性和可微性等CHAPTER04连续性与可导性连续性的定义与性质连续性的定义如果函数在某一点的极限值等于该点的函数值，则函数在该点连续连续性的性质如果函数在区间内连续，则函数在该区间内可导，且导数在该区间内连续导数的定义与性质导数的定义函数在某一点的导数是该函数在该点的切线的斜率导数的性质导数具有线性性、可加性、可乘性和链式法则等性质导数的几何意义导数的几何意义导数表示函数图像上某一点的切线的斜率导数与函数增减性的关系当导数大于0时，函数在该区间内单调增加；当导数小于0时，函数在该区间内单调减少CHAPTER05极限的应用利用极限求不定积分总结词详细描述通过极限的性质和不定积分的定义，利在不定积分中，有些函数无法直接求解，用极限来求解不定积分但可以通过极限的方法，将不定积分转化VS为可求解的形式例如，对于某些无法直接求解的不定积分，可以通过极限的方法将其转化为可求解的形式利用极限证明等式或不等式总结词详细描述利用极限的性质和等式或不等式的性质，通在证明等式或不等式时，有时可以通过证明过证明极限的方式证明等式或不等式其极限相等或无穷小的方式来进行证明例如，对于某些等式或不等式，可以通过证明其左右两侧的极限相等或无穷小来证明该等式或不等式利用极限求函数的极值总结词详细描述利用极限的性质和函数的极值定义，通过求在求函数的极值时，有时可以通过求其导数极限的方式求函数的极值并令其为零的方式求解，但有些函数无法通过此方法求解此时，可以利用极限的性质和函数的极值定义，通过求极限的方式求函数的极值例如，对于某些函数，可以通过求其左右两侧的极限并比较其大小关系来求解该函数的极值。