同济大学高等数学课件D13函数的极限

同济大学高等数学课件D13函数的极限2CONTENTS•函数极限的定义•函数极限的运算性质目录•函数极限的应用•无穷小与无穷大•函数的连续性CHAPTER01函数极限的定义函数极限的描述性定义描述性定义当x趋近于某个值a时，函数fx的值趋近于一个常数L，即fx→Lx→a描述性定义的意义通过直观的方式描述了函数在某点的变化趋势，为后续精确定义奠定基础函数极限的精确定义精确定义对于任意给定的正数ε，存在一个正数δ，使得当|x-a|δ时，|fx-L|ε精确定义的意义通过数学语言对函数极限进行了精确描述，为后续研究函数的性质和变化规律提供了基础函数极限的性质唯一性若limx→afx=L1和limx→afx=L2，则必有L1=L2局部有界性若limx→afx=L，则存在一个正数M，使得当|x-a|δ时，|fx|M局部保号性若limx→afx=L0，则存在一个正数δ，使得当|x-a|δ时，fx0；若limx→afx=L0，则存在一个正数δ，使得当|x-a|δ时，fx0CHAPTER02函数极限的运算性质极限的四则运算性质加法定理乘法定理若limx→x0fx=A和limx→x0gx=若limx→x0fx=A和limx→x0gx=B，则limx→x0[fx±gx]=A±B B，则limx→x0[fx·gx]=A·B除法定理幂运算性质若limx→x0fx=A且B≠0，则若limx→x0fx=A，则limx→x0limx→x0[fx/gx]=A/B[fx^n]=A^n极限的复合运算性质复合函数极限设limx→x0gx=y0，又limy→y0fy=A，则limx→x0[f[gx]]=A复合函数极限存在定理若limx→x0gx=y0，且在点y0的某去心邻域内gy≠0，又limy→y0fy=A，则limx→x0[f[gx]/gy]=A/B复合函数极限运算性质若limx→∞fx=A和limy→∞gy=B，则limxy→∞[f[gxy]/g[fxy]]=A/B极限的商的运算性质商的极限定理若limx→∞f1x/f2x=A，且存在某个正数N，当|x|N时，f2x≠0，则limx→∞[f1[gx]/f2[gx]]=A*limy→∞gy商的运算性质若limx→∞f1x/f2x存在（不为∞），且lim y→∞g1y/g2y=B存在（不为∞），则lim xy→∞[f1[g1xy]*g2[f2xy]/f2[g1xy]*g2[f2xy]]=A*BCHAPTER03函数极限的应用利用函数极限求参数值总结词通过函数在某点的极限值，可以求解某些参数的值详细描述在某些数学问题中，函数的形式可能未知或复杂，但我们可以知道函数在某点的极限值利用这个极限值，我们可以求解某些参数的值，从而确定函数的表达式利用函数极限证明不等式总结词通过比较函数在不同点的极限值，可以证明某些不等式详细描述在证明不等式时，我们可以利用函数在不同点的极限值进行比较如果一个函数在某点的极限值大于另一个函数在该点的极限值，那么我们可以得出相应的函数值大小关系，从而证明不等式利用函数极限求函数的值总结词详细描述通过计算函数在某点的极限值，可以求在一些情况下，我们可能不知道函数在某得该点的函数值点的具体值，但知道该点的极限值通过VS计算该点的极限值，我们可以得到该点的函数值这种方法在解决一些数学问题时非常有用，尤其是在处理一些难以直接求解的复杂函数时CHAPTER04无穷小与无穷大无穷小的定义与性质定义无穷小是极限为0的变量性质无穷小具有可加性、可减性、可乘性和可除性应用无穷小在求极限、微积分等数学领域中有着广泛的应用无穷大的定义与性质定义性质无穷大是极限为无穷的变量无穷大具有可加性、可减性、可乘性和可除性应用无穷大在研究函数的极限、级数等数学领域中有着重要的应用无穷小与无穷大的关系无穷小与无穷大是相对的概念，一个无穷小与无穷大在研究函数的极限、变量是无穷小意味着它的极限为0，级数等数学领域中有着重要的应用，而一个变量是无穷大意味着它的极限它们是高等数学中重要的概念之一为无穷无穷小与无穷大之间存在密切的联系，例如在求极限的过程中，有时需要利用无穷小的性质来处理无穷大的情况CHAPTER05函数的连续性连续函数的定义总结词连续函数在某点的极限值等于函数值，即当自变量趋近于该点时，函数值无限接近于极限值详细描述连续函数在某一点处的极限值等于该点的函数值，即对于任意给定的正数$varepsilon$，存在一个正数$delta$，使得当$|x-x_0|delta$时，有$|fx-fx_0|varepsilon$连续函数的性质总结词详细描述连续函数具有一些重要的性质，如极限的四连续函数具有一些重要的性质，如极限的四则运算法则、复合函数的连续性、反函数的则运算法则，即两个连续函数的和、差、积、连续性等商（分母不为零）仍为连续函数；复合函数的连续性，即若函数$u=gx$和$y=fu$都连续，则复合函数$y=fgx$也连续；反函数的连续性，即反函数与原函数在各自定义域上都是连续的函数的间断点总结词详细描述函数的间断点是指函数在该点处不连续的点，函数的间断点是指函数在该点处不连续的点间断点分为第一类间断点和第二类间断点根据左右极限是否存在和是否相等，间断点分为第一类间断点和第二类间断点第一类间断点包括可去间断点和跳跃间断点，它们的左右极限存在且相等；第二类间断点包括无穷间断点和震荡间断点，它们的左右极限不存在或不相等THANKS[感谢观看]。