高等数学》上册第2章导数及微分

高等数学》上册课件全集第2章导数及微分•导数的概念•导数的计算•微分概念与运算•导数与微分的关系目•导数与微分的应用录contents01导数的概念导数的定义总结词导数是描述函数在某一点附近的变化率的重要概念详细描述导数定义为函数在某一点处的切线的斜率，即函数在该点附近的小变化量与自变量变化量的比值，当自变量变化量趋近于0时的极限值导数的几何意义总结词导数的几何意义是切线斜率，即函数图像在某一点的切线详细描述导数在几何上表示函数图像在某一点的切线斜率对于可导函数，其图像在每一点的切线斜率都等于该点的导数值导数的物理意义总结词导数的物理意义是描述物理量随时间变化的速率详细描述在物理学中，许多物理量都可以表示为时间或其他自变量的函数，导数可以用来描述这些物理量随时间或其他自变量变化的速率，例如速度、加速度等02导数的计算导数的基本公式常数导数幂函数导数对于常数c，其导数为0，即dc/dx=0对于形如x^n的幂函数，其导数为nx^n-1指数函数导数对数函数导数对于形如a^x的指数函数，其导数为对于形如lnx的对数函数，其导数为a^x*lna1/x导数的四则运算法则加法法则减法法则对于两个函数的和，其导数为两个函数导对于两个函数的差，其导数为被减函数导数的和数减去减函数的导数除法法则乘法法则对于两个函数的商，其导数为被除函数除对于两个函数的乘积，其导数为两个函数以除函数的平方的导数减去被除函数乘以导数的乘积加上被乘函数乘以第二个函数除函数的导数再除以除函数的平方的导数复合函数的导数链式法则对于复合函数y=fu，u=gx，其导数为fu*gx隐函数求导对于形如Fx,y=0的隐函数，可以通过对F分别关于x和y求偏导数来得到y和x的导数03微分概念与运算微分的定义微分定义微分是函数在某一点的变化率的近似值，用符号1“d”表示，计算公式为$dy=fxdx$微分与导数的关系微分是导数在实际问题中的应用，导数是微分的2数学表达微分的基本公式常见函数的微分公式包括$dx^n=nx^{n-31}dx$、$de^x=e^xdx$、$dln x=frac{1}{x}dx$等微分的几何意义切线斜率函数在某一点的微分等于该点切线的斜率函数增减性判断通过比较微分值正负，可以判断函数在该点的增减性曲线变化趋势微分值的大小可以反映曲线在该点的变化趋势，微分值越大，曲线在该点变化越快微分的运算性质线性性质$dax+by=adx+bdy$乘积法则$duv=uv dx+uvdy$商的微分公式$dfrac{u}{v}=frac{uv-uv}{v^2}dx$复合函数的微分法则如果$y=fu$和$u=gx$，则$dy=fudu=fugxdx$04导数与微分的关系导数与微分的关系导数是函数在某一点的变化率，而微分是函数在某一点的近似值导数是微分的线性部分，即当自变量改变很小时，微分的值近似等于导数的值导数和微分都是研究函数变化和可微性的重要工具高阶导数01高阶导数是函数在某一点的更高次变化率02通过高阶导数的计算，可以研究函数的极值、拐点、凸凹性等性质03高阶导数的计算需要使用链式法则和乘积法则等基本法则微分中值定理微分中值定理是微分学中的基本定理之一，它建立了01函数在某点的导数与该点附近的函数值之间的关系微分中值定理包括费马定理、罗尔定理、拉格朗日定02理和柯西定理等这些定理在研究函数的单调性、极值和不等式等问题03中有着广泛的应用05导数与微分的应用导数在几何上的应用010203切线斜率函数单调性极值问题导数可以用来求曲线在某一点的通过导数的符号，可以判断函数导数可以用来研究函数的极值问切线斜率，从而了解曲线的变化的单调性，进而研究函数的增减题，确定函数的最大值和最小值趋势性导数在物理上的应用速度与加速度导数可以用来描述物理中的速度和加速度，例如物体运动的速度和加速度斜率场导数可以用来描述物理中的斜率场，例如物体在重力场中的加速度弹性力学导数可以用来描述弹性力学中的应变和应力，例如弹性杆的弯曲程度导数在经济上的应用边际分析01导数可以用来进行边际分析，例如边际成本和边际收益的计算需求弹性02导数可以用来描述需求弹性，例如商品价格变动对需求量的影响程度最优化问题03导数可以用来解决最优化问题，例如最大利润和最小成本等问题的求解THANKS感谢观看。